1、2数 列 第 5 讲 数 学 归 纳 法【 知 识 点 归 纳 】1 对 于 用 不 完 全 归 纳 法 或 猜 想 得 到 的 某 些 与 自 然 数 有 关 的 数 学 命 题 ， 我 们 常 通 过 两 个 步骤 来 证 明 它 的 正 确 性 用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题 的 步 骤 是 ：(1)证 明 当 n取 第 一 值 0n ( 0n N*)时 命 题 成 立 ；(2)假 设 当 n k (k N*， 且 k 0n )时 命 题 成 立 ， 证 明 当 1n k 时 命 题 也 成 立 在 完 成 了 这 两 个 步 骤 以 后 ， 就 可 以 断 定 命 题 对 于
2、从 0n 开 始 的 所 有 自 然 数 n都 成 立 这 种 证 明 数 学 命 题 的 方 法 就 叫 做 数 学 归 纳 法 2 数 学 归 纳 法 可 以 从 如 下 方 面 去 理 解 ：(1)数 学 归 纳 法 研 究 的 对 象 仅 限 于 与 自 然 数 有 关 的 数 学 命 题 有 关 的 命 题 都 能 用 数 学 归纳 法 (2)运 用 数 学 归 纳 法 证 明 时 ， 两 个 步 骤 缺 一 不 可 缺 少 第 一 步 则 缺 少 了 递 推 的 基 础 ，但 仅 依 靠 第 一 步 还 不 能 说 明 结 论 的 普 遍 性 ； 证 明 了 第 二 步 就 获 得
3、 了 递 推 的 根 据 只 有 两 步结 论 合 在 一 起 才 能 得 出 命 题 正 确 的 普 遍 性 结 论 (3)在 第 一 步 中 ， 一 般 0n 1(4)在 由 归 纳 假 设 推 证 ， 1n k 命 题 成 立 过 程 中 ， 目 标 是 利 用 n=k 时 的 归 纳 假 设 “ 拼凑 ” 出 适 合 1n k 的 结 构 形 式 3 数 学 归 纳 法 适 用 于 证 明 某 些 与 自 然 数 有 关 的 数 学 命 题 ， 如 等 式 的 证 明 、 整 除 性 问 题 等等 【 例 题 讲 解 】1、 已 知 数 列 na 满 足 ： ,21 2 1221 nn
4、n aaaaa 且 问 是 否 存 在 常 数 p、 q， 使 得 对 一切 n N*都 有 ,12 nnn qapaa 并 说 明 理 由 .32、 设 *1 1 11 ( )2 3nS n Nn ， 证 明 ： 1 2 11 2 11 2 3 2n nS S nS Sn 。3、 证 明 ： 1 *4 6 5 9( )n n n N 能 被 20整 除 。4、 设 3403)( 12 nnF n ， 求 最 大 的 自 然 数 m ， 使 得 对 n N*,都 有 F(n)被 m 整 除 。45、 已 知 3 ( 1)( ) 2 1, ( ) ( ( 1) ( 2, )nf n n g n
5、f g n n n N ， 求 ( )g n6、 已 知 数 列 na ， 0na ， 前 n项 和 1 1( )2n n nS a a ， (1)求 1 2 3, ,a a a ； (2)猜 想 na ， 并 用 数学 归 纳 法 证 明 。7、 如 下 图 ， 设 P1， P2， P3， ， Pn， 是 曲 线 xy 上 的 点 列 ， Q1， Q2， Q3， ， Qn， 是 x轴 正 半 轴 上 的 点 列 ， 且 OQ1P1， Q1Q2P2， ， Qn 1QnPn， 都 是 正 三 角 形 ， 设 它 们 的边 长 为 , 21naaa 求 数 列 na 的 前 n 项 和 。 P 3P2P1Q3Q2Q1 f x = xoyx5【 考 题 赏 析 】1、 2014重 庆 卷 设 a1 1， an 1 a2n 2an 2 b(n N*)(1)若 b 1， 求 a2， a3及 数 列 an的 通 项 公 式 (2)若 b 1， 问 ： 是 否 存 在 实 数 c 使 得 a2nca2n 1对 所 有 n N*成 立 ？ 证 明 你 的 结 论
