1、已知椭圆 22:143xyE ， 左右焦点分别为 1 1,0F ， 2 1,0F ， 左 、 右顶点分别为 2,0A ， 2,0A ， 上 、 下定点为 0, 3B ， 0, 3B （ 1） 已知动点 P 在椭圆 E 上，另一动点 Q ， 满足 220QF PF， 121 20PF PFQP PF PF ，求动点 Q 的轨迹方程 （ 2） 已知动点 P 在椭圆 E 上，点 Q 为 12FPF 的内心，求动点 Q 的轨迹方程 （ 3） 已知动点 P 在椭圆 E 上，且 2 0PM FM， 求证：22OM PF是否为定值 （ 4） 已知动点 P 为椭圆 E 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M
2、 ，直线 PB 与 x 轴交于点 N 求证： AN BM 为定值 （） 已知动点 P 为椭圆 E 上一点 ，直线 PB 和 PB 分别与椭圆 E 交于两点 M ， N 证明：OM ON 为定值 （） 已知动 点 ,0P m n m 都在椭圆 E 上，和直线 BP 交 x 轴于点 M ，点 P 与点 P 关于 x轴对称，直线 BP 交 x 轴于点 N 问： y 轴上是否存在点 Q ，使得 OQM ONQ ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 （ 5） 已知动点 P 在椭圆 E 上， 两定点 31,2M， 31,2N，求 MPN 的面积的最大值 （ 6） 已知动点 P 在椭圆 E 上，
3、两定点 31,2M， 31,2N， 直线 MP 和 NP 分别与直线 3x交于点 C ， D ，问：是否存在点 P 使得 PMN 与 PCD 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 （ 7） 已知动点 P 在椭圆 E 上，点 Q 在直线 23y 上，且 OP OQ ， 求线段 PQ 长度的最小值 （ 8） 已知动点 P 在椭圆 E 上，点 Q 在直线 23y 上，且 OP OQ ，试判断直线 PQ 与圆223xy的位置关系，并证明你的结论 （ 9） 已知动点 P 在椭圆 E 上， 直线 :4lx 与 x 轴交于点 N ， PM l 于点 M （点 M ， N 不重合），试问
4、：在 x 轴上是否存在定点 T ，使得 PTN 的角平分线过 PM 中点？如果存在，求定点 T 的坐标；如果不存在， 说明理由 （ 10） 已知动点 M ， N 是椭圆 E 上位于 x 轴上方的两点，且直线 1MF 与直线 2NF 平行， 2MF与 1NF 交于点 P 求证： 12PF PF 是定值 （ 11） 已知动点 P 在椭圆 E 上 （异于 A ， A ） ， 证明： PA PAkk 为定值 （ 12） 已知动点 P 在椭圆 E 上， 过原点的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点， 证明 ： PM PNkk 为定值 （ 13） 已知动点 P 在椭圆 E 上， 在 点 P 的切线
5、l 斜率为 k ，证明 ： OPkk 为定值 （ 14） 已知动点 P 在椭圆 E 上， 在点 P 的切线 l 斜率为 k ，证明 ：1211PF PFk k k k为定值 （ 15） 已知动点 P 在椭圆 E 上， 在点 P 的切线为 l ，证明 ：两焦点 1 1,0F ， 2 1,0F 到 切线 l 的距离积 为定值 （ 16） 过点 1F 的光线 l 在椭圆 E 上一点 P 处反射 ，求证：反射光线必过右焦点 2F （）过点 1F 的光线 l 在椭圆 E 上一点 P 处反射 ，求证： 1PF 与 2PF 与点 P 处的切线的所成角相等 （ 17） 已知 ,NM 是椭圆 E 上的两个动点
6、，若 12/NFMF ，求直线 2MF 与 1NF 交点的轨迹方程 （ 18） 已知 ,NM 是 过点 2, 3P 的直线 l 与 椭圆 E 的 交 点，求 MN 中点的轨迹方程 （ 19） 已知 ,NM 是椭圆 E 上的两个动点 ，且 ,MN的中点为 P ， 证明 ： MN OPkk 为定值 （ ？ ） 点 M 为直线 12yx与该椭圆在第一象限内的交点，平行于 OM 的直线 l 交椭圆于 P ， Q 两点 求证：直线 MP ， MQ 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 . （ 20） 过点 1F 不与坐标轴垂直的直线与椭圆 E 相交于 M 、 N 两点， 且 MN 的 垂直平分线交x 轴于点
7、 ,0Pt ， 求 t 得取值范围 （ 21） 已知 ,NM 是椭圆 E 上的两个动点 ， 定点 31,2P满足 直线 PM 与 PN 垂直 ，证明 ： 直线 MN 过 定 点 （ 22） 已知 ,MN是椭圆 E 上的两个动点 ， 定点 31,2P满足 直线 PM 与 PN 的 倾 斜 角互补 ，证明 ： 直线 MN 的斜率为定值 （ 23）已知 ,NM 是 斜率为 12的 直线 l 与椭圆 E 的两个 交 点 ， 点 31,2P在直线 l 左上方 ，证明 ： PMN 的内切圆的圆心在一条定直线上 （ 24） 过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 E 分别交于 M ， N 两点，证明：点 O
8、 到直线MN 的距离为定值，并求出这个定值 （ 25） 过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 E 分别交 于 M ， N 两点，证明：点 O 在 直线MN 的 射影 P 的轨迹是圆 （ 26） 过 动点 00,Px y 与圆 22:1O x y相切的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点 ， 证明：MON 为定值 （ 27） 过点 1F 的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点 ，是否存在 点 P 使得 PMPN 为定值 （ 28）过定点 ,0Qt 的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点， 在 x 轴上是否存在 点 P ， 使得 PMPN为定值 （ 29） 过点 1F 的直线
9、l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，是否存在实常数 ，使11MN FM F N恒成立？并由此求 MN 的 最小值 （ 30） 过点 1F 的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点， MN 的中垂线交 x 轴 于 点 D ，是否存在实常数 ，使1MN FD恒成立？ （） 设直线 l 与椭圆 E 交于 ,MN两点，且以 MN 为直径的圆过椭圆的右顶点 A ，求 AMN 面积的最大值 （ 31） 过点 1F 的直线 1l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，直线 2:4lx 交 x 轴于点 G ， 点 M ， N 在直线 2l 上的投影分别是 P ， Q ，设直线 MQ ， NP 的交点为 D
10、，是否存在实常数 ，使1GD DF恒成立？ （ 32） 过点 1F 的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点， 动点 P 满足 PM MA ， PA AN ，试探究点 P 的轨迹 （ 33） 过点 1F 的直线 1l ， 2l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两点和 C ， D 两点，直线 l 分别过 MN 和CD 的中点，证明：直线 l 过定点 （ 34） 过点 1F 的直线 1l ， 2l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两点和 C ， D 两点，且 12ll ，是否存在实常数 ，使 M N CD M N CD 恒成立？并由此求四边形 MCND 面积的 最小值和最大值 （ 35） 过点
11、 1F 的直线 1l ， 2l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两点和 C ， D 两点，直线 3:4lx ，直线 MD 交直线 3l 于点 P ， 证明： P ， C ， N 三点共线 （ 36） 过点 1F 的直线 1l ， 2l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两点和 C ， D 两点，直线 3:4lx ，直线 MD 交直线 3l 于点 P ， 证明 11PFM PFC （ 37） 过点 1F 的直线 1l ， 2l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两点和 C ， D 两点，直线 MD 交直线 CN于点 P ， 证明 ： 点 P 的轨迹为直线 4x （ 38） 过 定 点 ,0Tt 的直
12、线 1l ， 2l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两点和 C ， D 两点，设直线 3l 过点 T 且 3lx 轴，交 MDl ， NCl 于点 P ， Q ， 证明 ： TP TQ （ 39） 过点 1F 的直线 l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，直线 l 与轴交于点 P ， 1PM MF ，1PN NF ， 证明： 为定值 （ 40） 过点 ,0Tt 的直线 1l ， 2l 分别 交椭圆 E 于 11,Mx y ， 22,Nx y 两点和 33,Cx y ， 44,Dx y 两点，设直线 3l 过点 ,0Tt 且 3lx 轴， 交 MDl ， NCl 于点 P ， Q ， 试证明：1
13、 3 2 4y y y y （ 41） 过点 1F ， 2F 的弦分别 与 椭圆 E 为 PS ， PT ，设 11PF FS ， 22PF FT ， 证明： 为定值 （） M ， N 为 椭圆 E 两点，且 34OM ONkk ， P 为椭圆 E 任意一点， 且 OP OM ON，证明： 22 为定值 （ 42） 过点 1F 的动直线 交椭圆 E 于 M ， N 两点， P 为椭圆 E 任意一点， 且 OP OM ON，证明： 22 为定值 （ 43）过点 1F 的动直线 交椭圆 E 于 M ， N 两点，点 P 满足 OP OM ON，且 221，证明： P 在椭圆 E 上 （ 44） 过
14、原点 (0,0)O ，点 3,4P 的直线 l 交椭圆 E 于点 N ，过点 P 做椭圆 E 的两条切线，分别切于点 C 和 D ，直线 OP 与交 CD 于点 Q ，求证： 2OQ OP ON （ 点 3,4P 可以为椭圆外任意定点 ） （ 45） 过原点 (0,0)O ，点 36 48,91 91Q的直线 l 交椭圆 E 于点 N ，过点 Q 的中点弦为 CD ，过C ， D 分 别作切线 1l ,2l 且交于点 P ，求证： 2OQ OP ON （ 46） 过点 3,4P 的任意直线 l 交椭圆 E 于点 M ， N ，过点 P 做椭圆 E 的两条切线，分别切于点 C 和 D ，直线 l
15、 与交 CD 于点 Q ，求证： 1 1 2PM PN PQ （ 点 3,4P 可以为椭圆外任意定点 ） （ 47） 过点 3,4P 的直线 l 交椭圆 E 于点 M ， N ，过点 P 做椭圆 E 的两条切线，分别切于点 C 和 D ，点 Q 在直线 l ，且满足 PN QM PM NQ ，求点 的轨迹方程 （ 点 3,4P可以为椭圆外任意定点 ） （ 48） 过点 1, 2Q 的直线 l 交椭圆 E 于点 M ， N ，点 P 在直线 l ，且 PN QM PM NQ ，求点 P 的轨迹方程 （ 49） 过原点 (0,0)O ，点 3,4P 的直线 l 交椭圆 E 于点 M ， N ，过点
16、 P 做椭圆 E 的两条切线，分别切于点 C 和 D 求证： M ， N 处的切线与 CD 平行 （ 50） 过点 1F 的直线 1l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两点，问是否在 x 轴上存在一点 P ，使得斜率 0PM PNkk （ 51） 过 定 点 ,0Qt 的直线 1l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，问是否在 x 轴上存在一点 P ，使得斜率 0PM PNkk （ 52） 过点 1F 的直线 1l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点 M ， 证明： 点 M ，N ， 4,0P 三点共线 （ 53） 过 定 点 ,0Qt 的直线 1l 分别交椭圆 E
17、于 M ， N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点 M ，证明： 点 M ， N ， 4,0Pt三点共线 （ 54）过点 1F 的直线 1l 交椭圆 E 于 11,Mx y ， 22,Nx y 两点，点 M 关于 x 轴的对称点 M ，直线 NM 与 x 轴交于点 P ，证明： 1OF OP 为定值 （ 1F 可换成 x 轴任何一点） （ 55）过点 ,0Qt 的直线 1l 分别交椭圆 E 于 M ， N 两 点，点 M 关于 x 轴的对称点 M ，直线 NM 与 x 轴交于点 P ，证明： OQ OP 为定值 （ 56）过点 P 作椭圆 E 的两条切线 1l ， 2l ，且 12ll ，求
18、P 的轨迹方程 （ 57）动点 P 在直线 2 4 0xy 上，由 P 引椭圆 E 的两 条切线， 分别切于点 C 和 D 证明：直线 CD 过定点 （ 58） 过 点 2, 3P 作 椭圆 E 的两条切线，分别切于点 C 和 D 求证： 12CPF DPF （ 59） 过 点 2, 3P 作椭圆 E 的两条切线，分别切于点 C 和 D 求证： 22CF P DF P （ 60） 过动 点 0,0Px 作 x 轴的垂线 交椭圆 E 于 M ， N 两点，求直线 AN 与 AM 交点的轨迹方程 （ 61）过动 点 0,0Px 作 x 轴的垂线 交椭圆 E 于 M ， N 两点，直线 :4lx 与
19、 x 轴交于 点 P ，直线 2MF 与直线 NP 交于点 Q ，求证：点 Q 恒在椭圆上 （ 62）过 点 4,0P 直线 交椭圆 E 于 M ， N 两点，设 1PM PN，过点 M 作 x 轴垂线与椭圆 E 交于另一点 Q ，证明： 22FQ FN （ 63） 过点 2F 的直线 1l 交椭圆 E 异于点 31,2P的 M ， N 两点，且与直线 2:4lx 交于点 Q ，求证： 2PM PN PQk k k （ 64） 过点 1F 的直线 1l 交椭圆 E 于 11,Mx y ， 22,Nx y 两点， 04,yP 为直线 :4lx 上任意一点 ，证明：12PM PN PFk k k
20、（ 65） 过点 ,0Qt 的直线 1l 交椭圆 E 于 11,Mx y ， 22,Nx y 两点，04,yP t为直线 4:lxt上任意一点 ，证明： 2PM PN PQk k k （ ,0Qt 为 x 轴任意一点） （ 66） 过点 2,1P 的直线 l 交椭圆 E 于 11,Mx y ， 22,Nx y 两点，过点 N 作斜率为 32的直线交椭圆 E 与另一点 Q ，求证：直线 MQ 过定点 （ 67） 椭圆 E 内两条相交弦 MN ， PQ ，若 MN ， PQ 倾斜角互补，证明： M ， P ， N ， Q四个端点共圆 （ 68） 过点 0, 2A 的直线 l 与 椭圆 E 相交于
21、M ， N 两点， 当 OMN 的面积最大时，求 l 的方程 （ 69） 不过原点 O 的直线 l 与 椭圆 E 相交于 M ， N 两点，过原点 O 和点 2,1P 的直线 1l 垂直平分线段 MN ， 当 PMN 的面积最大时，求 l 的方程 （去掉： 1l 垂直 ） （ 70） 直线 l 与 椭圆 E 相交于 11,Mx y ， 22,Nx y 两点，已知 112 , 3m x y， 222 , 3n x y，若 mn ，证明： MON 的面积为定值 （改为： 11,2 3xym ， 22,2 3xyn 或 113 ,2m x y， 223 ,2n x y ） （ 71） 点 P 为直线
22、 4x 上不同于点 4,0 的任意一点，若直线 PA ， PA 分别 与椭圆 E 交于 M ，N 两点 证明：点 A 在以 MN 为直径的圆内 （） 点 P 为直线 4x 上不同于点 4,0 的任意一点，若直线 PA ， PA 分别 与椭圆 E 交于 M ，N 两点 证明： MN 垂直 x 轴 （ 72） 直 线 :l y kx m交椭圆 E 于 M ， N 两点（ M ， N 不是左、右顶点），且以 MN 为直径的圆过椭圆的右顶点 求证：直线 l 过定点 （ 73） 过椭圆外一点 00,Px y 的直线 PA ， PA 分别 与椭圆 E 交于 M ， N 两点 ，直线 MN 与x 轴交于点
23、Q ，证明： OPOQ 为定值 （ 74） 过椭圆 E 上异于顶 点的任意一点 00,Px y 的直线 PA ， PA 分别 与 y 轴交于 M ， N 两点 ，证明： OMON 为定值 （ 75） 过点 0, 3B 的直线 l 与椭圆 E 交于另一点 D ，并与 x 轴交于点 P ，直线 BA 与直线BD 交于点 Q 当点 P 异于点 B 时，求证： OPOQ 为定值 （ BD 改为 AD ） （ 76） 过点 ,0 0 2Q t t的直线 1l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，过 M ， N 向直线 4:lxt作垂线，垂足 分别为 1M ， 1N ，记 1QMM ， 11QMN ， 1Q
24、NN 的面积分别为 1S ， 2S ， 3S ，是否存在 ，使得对任意的 02t ，都有 22 1 3S SS 成立 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 （ 77） 过点 ,0 0 2Q t t的直线 1l 交椭圆 E 于 M ， N 两点，交定直线 4xt于 P 点，设1PM MQ ， 2PN NQ ，证明： 12 为定值 （ 78） 过椭圆的右焦点 F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 ,AC和 ,BD，设线段 ,ACBD的中点分别为 ,PQ，求证：直线 PQ 恒过一个定点 由已知可得： 1,0F 当直线 AC 斜率不存在时， :1ACx ， :0BDy ， 所以 1,0P ， 0,
25、0Q ， PQ 为 x 轴； 当 AC 斜率存在时，设 : 1 , 0AC y k x k ，则 1:1BD y xk ， 设 1 1 2 2, , ,A x y C x y，联立方程可得： 2 2 2 2221 4 3 8 4 1 2 03 4 1 2y k x k x k x kxy ， 212 2843kxx k 1 2 1 2 1 2 261 1 2 43ky y k x k x k x x k k 21 2 1 22243,2 2 4 3 4 3x x y y kkP kk 同理，联立 221 13 4 12yxkxy ，可得： 222 22114343,3 4 4 3114 3 4
26、 3kkkQkkkk ， 222 22233 74 3 4 344414 3 3 4PQkk kkkk kkkk ， PQ 的方程为： 2223 7 44 3 4 341kkyxk ，整理可得： 224 7 4 4 0 4 4 7 4 0y k x k y y k k x ， 470xy 时，直线方程对 kR 均成立， 直线 PQ 恒过定点 4,07， 而 AC 斜率不存在时，直线 PQ 也过 4,07， 直线 PQ 过定点 4,07 若 C ， D 是椭圆 E 上关于 y 轴对称的两个不同的点，直线 AC ， BD 与 x 轴分别交于点 M ，N 判断以为 MN 直径的圆是否过点 A ，并说明理由
