1、竞 赛 与 自 主 招 生 专 题第 八 讲 数 列 的 通 项 与 递 推 数 列在 近 年 自 主 招 生 试 题 中 ， 数 列 是 自 主 招 生 必 考 的 一 个 重 要 内 容 之 一 ， 数 列考 得 较 多 的 知 识 点 有 :极 限 、 数 学 归 纳 法 、 递 推 数 列 、 等 差 等 比 数 列 、 及 数 列 的应 用 等 。一 、 知 识 精 讲一 等 差 数 列 ：1.通 项 公 式 ： *1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N ；2.前 n项 和 公 式 ： 1( )2 nn n a as 1 ( 1)2n nna d .二 等 比
2、数 列 ：1.通 项 公 式 ： 1 *11 ( )n nn aa a q q n Nq ；2.前 n项 和 公 式 ： 1 1(1 ) 11 1nn a q qS qna q , 或 1 1 , 11, 1nn a a q qqs na q .三 数 列 的 通 项 公 式 与 前 n项 的 和 的 关 系 ： 1 1, 1, 2n n nS na S s n ( nS 为 数 列 na 的前 n项 的 和 为 ).四 常 见 数 列 的 前 n项 和 公 式 ： ( 1)1 2 3 2n nn 21 3 5 7 (2 1)n n 2 4 6 8 2 ( 1)n n n 2 2 2 2 (
3、1)(2 1)1 2 3 6n n nn 3 3 3 3 2( 1)1 2 3 2n nn 【 知 识 拓 展 】一 对 于 数 列 na ， 若 存 在 正 整 数 k 及 一 个 将 n ka 与 前 面 k 项 1 2, ,n k n k na a a 联系 起 来 的 方 程1( , , ) 0, 1,2,n k n k nf a a a n ， 则 称 数 列 na 是 k 阶 递 推 数 列 ， 此 方 程 为 递 推方 程 。由 （ *） 得 出 1 2( , , )n k n k n k na g a a a ， 称 为 数 列 na 的 递 推 关 系 。一 般 说 来 ，
4、确 定 一 个 k 阶 递 推 数 列 需 要 知 道 k 阶 初 始 值 ： 1 2, ka a a。二 求 通 项 问 题 的 主 要 类 型 ：1 转 化 法 ： 某 些 数 列 虽 然 不 是 等 差 等 比 数 列 ， 但 可 以 通 过 对 递 推 公 式 变 形 ， 重新 构 造 新 的 数 列 ， 而 这 些 数 列 为 等 差 数 列 或 等 比 数 列 ， 进 一 步 通 过 对 新 数 列 的 通项 公 式 求 出 原 数 列 的 通 项 。2.累 加 法 ： 1 ( )n na a f n 方 法 ： 利 用 叠 加 法 ，12 1 3 2 1 1 1(1), (2),
5、 ( 1), ( )nn n n ka a f a a f a a f n a a f k 。3.累 积 法 ： 1 ( )n na a f n 方 法 ： 利 用 迭 代 法 ， 12 1 3 2 1 1 1(1), (2), ( 1), ( )nn n n ka a f a a f a a f n a a f k 。4.待 定 系 数 法 ： 1n na pa q （ ,p q为 常 数 且 0,1p ， 0q ）方 法 ： 用 待 定 系 数 法 ， 构 造 一 个 公 比 为 p 的 等 比 数 列 ， 令 1 ( )n na p a ，1qp ， 从 而1n qa p 是 一 个 公
6、 比 为 p 的 等 比 数 列 。5. 1 ( )n na pa f n （ p为 非 零 常 数 且 1p ）方 法 ： 上 式 两 边 同 时 除 以 1np ， 11 ( )n nn n na a f np p p ， 令 n nna bp ， 有 1 1( )n n nf nb b p ，转 化 为 第 一 种 类 型 ， 用 叠 加 法 解 决 。6.特 征 根 法 ： 1 1n n na pa qa （ 2n ） （ ,p q为 常 数 ）方 法 ： 可 用 下 面 的 定 理 求 解 。 令 , 为 相 应 的 二 次 方 程 2 0x px q 的 两 根（ 此 方 程 又
7、称 为 特 征 方 程 ） ；（ 1） 当 时 ， 其 通 项 公 式 为 ：n nna A B ；（ 2） 时 ， 其 通 项 公 式 为 ： 1( ) nna A Bn ，其 中 ,A B分 别 由 初 始 条 件 1 2,a a 所 得 的 方 程 组 12 2 2,A B aA B a 和 1 2,( 2 )A B aA B a 唯 一 确 定 。更 一 般 地 ， 对 于 常 系 数 线 性 递 推 数 列 1 1 2 2n k n k n k k na c a c a c a ， 其 特征 方 程 1 21 2 1k k k k kx c x c x c x c 的 根 （ 互 不
8、 相 同 ） 有 s个 ， 分 别 为 1 2, , sx x x， 且ix 是 it 重 根 ， 1s ii t k ， 则 1 ( )s nn i iia f n x ， 其 中 ( )if n 是 关 于 n的 1it 次 多 项 式 ，其 系 数 由 初 始 值 决 定 。7.不 动 点 法 ： 形 如 1 nn na a ba c a d （ 0c ， 0ad bc 且 1 2a a ） ， 21 2 nn na a ba a a c 的 递 推 数 列 的 通 项 问 题 常 用 不 动 点 法 解 决 .类 型 I： 1 nn na a ba c a d （ 0c ， 0ad b
9、c 且 1 2a a ） ， 令 ( ) ax bf x cx d .（ 1） 若 ( )f x x 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 1 2x x、 ， 则 1 1 11 2 2n nn na x a xAa x a x （ 其 中12a cxA a cx ） ， 即 数 列 12nna xa x 成 等 比 数 列 ， 公 比 为 A， 则 可 求 na .（ 2） 若 ( )f x x 有 两 个 相 等 的 实 数 根0x ， 则 1 0 01 1n n Aa x a x （ 其 中2cA a d ） ， 即 数 列 01na x 成 等 差 数 列 ， 公 差 为 A， 则 可
10、 求 na .（ 拓 展 ） 类 型 II： 21 2 nn na a ba a a c ， 令 2( ) 2ax bf x ax c .（ 1） 若 ( )f x x 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 1 2x x、 ， 即 211 12ax bx ax c 、 222 22ax bx ax c ，从 而 有21 1 0ax cx b 、 22 2 0ax cx b ， 所 以22 1 1 111 1 11 22 2 nn nax b ax a x cax ba x xax c a a c 2 2 21 1 12 ( )2 2n n nn na a ax a ax a a xa a c
11、 a a c . 同 理 可 得 221 2 ( )2 nn na a xa x a a c .所 以 ， 两 式 相 除 ， 得 21 1 11 2 2( )n nn na x a xa x a x ， 令 12nn na xb a x ， 则 21n nb b ， 两 边 取 对数 ， 不 难 得 到 nb 的 通 项 公 式 ， 从 而 可 得 na .（ 2） 若 ( )f x x 有 两 个 相 等 的 实 数 根 0x ， 则 可 得 0 2cx a ， 2 4 0c ab .由21 2 2 nn na a bca a a a c ， 令 2n n cb a a ， 化 简 可 得
12、 12 n nb b ， 因 此 nb 是 等 比 数列 .三 周 期 数 列 ：对 于 数 列 na ， 如 果 存 在 一 个 常 数 T（ *T N ） ， 使 得 对 任 意 的 正 整 数 0n n ，恒 有 n T na a 成 立 ， 则 称 数 列 na 是 从 第 0n 项 起 的 周 期 为 T 的 周 期 数 列 。 若0 1n ， 则 称 数 列 na 为 纯 周 期 数 列 ， 若 0 2n ， 则 称 数 列 na 为 混 周 期 数 列 ， T的 最 小 值 称 为 最 小 正 周 期 ， 简 称 周 期 。 周 期 数 列 主 要 有 以 下 性 质 ： 周 期
13、 数 列 是 无 穷 数 列 ， 其 值 域 是 有 限 集 ； 周 期 数 列 必 有 最 小 正 周 期 （ 这 一 点 与 周 期 函 数 不 同 ） ； 如 果 T 是 数 列 na 的 周 期 ， 则 对 于 任 意 的 *k N ， kT 也 是 数 列 na 的 周 期 ； 如 果 T 是 数 列 na 的 最 小 正 周 期 ， M 是 数 列 na 的 任 一 周 期 ， 则 必 有 |T M ，即 M kT ， *k N ； 已 知 数 列 na 满 足 n t na a （ , *n t N ， t为 常 数 ） ， ,n nS T 分 别 为 na 的 前 n项的 和
14、与 积 ， 若 n qt r ， 0 r t ， , *q r N ， 则 n t rS qS S ， ( )qn t rT T T ； 设 数 列 na 是 整 数 数 列 ， m 是 某 个 取 定 大 于 1的 自 然 数 ， 若 nb 是 na 除 以 m后的 余 数 ， 即 (mod )n nb a m ， 且 0,1,2, 1nb m ， 则 称 数 列 nb 是 na 关 于 m的模 数 列 ， 记 作 (mod )na m 。 若 模 数 列 (mod )na m 是 周 期 的 ， 则 称 na 是 关 于 模 m的 周 期 数 列 。 任 意 k 阶 齐 次 线 性 递 归
15、 数 列 都 是 模 m的 周 期 数 列 。四 阶 差 数 列 ：对 于 一 个 给 定 的 数 列 na ， 把 它 的 连 续 两 项 1na 与 na 的 差 1n na a 记 为 nb ，得 到 一 个 新 数 列 nb ， 把 数 列 nb 称 为 原 数 列 na 的 一 阶 差 数 列 ； 如 果1n n nc b b ， 则 称 数 列 nc 是 数 列 nb 的 一 阶 差 数 列 ， nc 是 na 的 二 阶 差 数 列 ；依 此 类 推 ， 可 以 得 到 数 列 na 的 p 阶 差 数 列 ， 其 中 *p N 。如 果 某 一 数 列 的 p 阶 差 数 列
16、是 一 非 零 常 数 列 ， 则 称 该 数 列 为 p阶 等 差 数 列 。其 实 一 阶 等 差 数 列 就 是 我 们 通 常 说 的 等 差 数 列 ； 高 阶 等 差 数 列 是 二 阶 或 二 阶 以 上等 差 数 列 的 统 称 。高 阶 等 差 数 列 具 有 以 下 性 质 ： 如 果 数 列 na 是 p 阶 等 差 数 列 ， 则 它 的 一 阶 差 数 列 是 1p 阶 等 差 数 列 ； 数 列 na 是 p 阶 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 ： 数 列 na 的 通 项 是 关 于 n的 p 次多 项 式 ； 如 果 数 列 na 是 p 阶 等 差 数
17、 列 ， 则 其 前 n项 之 和 nS 是 关 于 n的 1p 次 多 项式 。三 、 典 例 精 讲四 、例 1 （ 2011复 旦 ） 设 1 0x ， 1 3(1 )3 nn nxx x ， 1,2,3,n ， 那 么 （ ）（ A） 数 列 nx 是 单 调 增 的 （ B） 数 列 nx 是 单 调 减 的（ C） 数 列 nx 或 是 单 调 增 的 ， 或 是 单 调 减 的 （ D） 数 列 nx 既 非 单 调 增 的 ，也 非 单 调 减 的 。例 2 （ 2010复 旦 ） 设 0 10, 1x x ， 11 2n nn x xx ， 则 数 列 nx 的 极 限 为
18、（ ）（ A） 23 （ B） 13 （ C） 22 （ D） 12例 3 （ 2008武 大 ） 在 数 列 na 中 ， 1 12, 4 3 1, *n na a a n n N 。（ 1） 求 证 ： 数 列 na n 是 等 比 数 列 ；（ 2） 求 数 列 na 的 前 n项 和 nS 。例 4 已 知 数 列 na 满 足 ),0(0253, 1221 Nnnaaabaaa nnn ， 求 数列 na 的 通 项 公 式 。例 5（ 2003上 海 交 大 ） 数 列 na 满 足 ： 1 2 2 11, 3,3 2n n na a a a a ， 求 na 和 lim nn a
19、 。例 6 已 知 数 列 na 满 足 性 质 ： 对 于 1 4N, ,2 3nn nan a a 且 ,31 a 求 na 的 通 项公 式 .练 习 1： 已 知 数 列 na 满 足 ： 对 于 ,Nn 都 有 .325131 nnn aaa（ 1） 若 ,51 a 求 ;na（ 2） 若 ,31 a 求 ;na（ 3） 若 ,61 a 求 ;na（ 4） 当 1a 取 哪 些 值 时 ， 无 穷 数 列 na 不 存 在 ？例 7 （ 2011“ 卓 越 联 盟 ” ） 设 数 列 na 满 足 1 2 2 1, ,2 n n na a a b a a a 。（ 1） 设 1n n
20、 nb a a ， 证 明 ： 若 a b ， 则 nb 是 等 比 数 列 ；（ 2） 若 1 2lim( ) 4nn a a a ， 求 ,a b的 值 。例 8 （ 2010 五 校 联 考 ） 设 函 数 ( ) 1x mf x x ， 且 存 在 函 数 ( )s t at b （ 1 , 02t a ） ， 满 足2 1 2 1t sf t s 。（ 1） 证 明 ： 存 在 函 数 ( ) ( 0)t s cs d s ， 满 足 2 1 2 1s tf s t ；（ 2） 设 1 13, ( ), 1,2n nx x f x n 证 明 ： 11| 2| 3n nx 。五 、
21、真 题 训 练1 （ 2006复 旦 ） na 是 正 数 列 ， 其 前 n项 和 为 nS ， 满 足 ： 对 一 切 n Z ， na 和 2的 等 差 中 项 等 于 nS 和 2的 等 比 中 项 ， 则 lim nn an （ ） 。（ A） 0 （ B） 4 （ C） 12 （ D） 1002 （ 2008复 旦 ） 设 na 是 正 数 数 列 ， 其 前 n项 和 为 nS ， 满 足 ： 对 所 有 正 整 数 n，na 与 2的 等 差 中 项 等 于 nS 与 2的 等 比 中 项 ， 则 2lim 4n nn S an （ ）（ A） 0 （ B） 1 （ C） 12
22、 （ D） 143（ 2009复 旦 ） 设 数 列 na 、 nb 满 足 1, 1,2,3n n nb a a n ， 如 果 0 0a ， 1 1a ，且 nb 是 公 比 为 2的 等 比 数 列 ， 又 设 1 2n nS a a a ， 则 lim nn nSa （ ）（ A） 0 （ B） 12 （ C） 1 （ D） 24 （ 2007复 旦 ） 已 知 数 列 na 满 足 13 4n na a （ 1n ） ， 且 1 9a ， 其 前 n项 之和 为 nS ， 则 满 足 不 等 式 1| 6| 125nS n 的 最 小 整 数 n是 （ ） 。（ A） 6 （ B）
23、7 （ C） 8 （ D） 95 （ 2001上 海 交 大 ） 数 列 1,3,2,中 ， 2 1n n na a a ， 则 1001 ii a 。6 （ 2004 上 海 交 大 ） 已 知 数 列 na 满 足 1 21, 2,a a 且 2 13 2n n na a a ， 则2004a 。7 （ 2004上 海 交 大 ） 已 知 nb 为 公 差 为 6的 等 差 数 列 ， 1 ( *)n n nb a a n N 。（ 1） 用 1 1, ,a b n 表 示 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 若 1 1 , 27,33a b a a ， 求 na 的 最 小 值
24、 及 取 最 小 值 时 n的 值 。8 （ 2000上 海 交 大 ） 在 na 中 ， 1 14, 6n na a a 。（ 1） 求 证 ： 11| 3| | 3|3n na a ；（ 2） 求 lim nn a 。9（ 2010浙 大 ） 如 图 ， y x 下 有 一 系 列 正 三 角 形 ， 求 第 n个 正 三 角 形 的 边 长 na 。xyO10.（ 2004 复 旦 ） 已 知 数 列 , n na b 满 足 1 2n n na a b ， 且 1 6 6n n nb a b ， 又1 12, 4a b 。 求 ：（ 1） ,n na b ；（ 2） lim nn nab 。
