1、江苏高考数学研究性讲义 1 二轮专题突破 第1章 数列 1.2 求通项、求和深入问题 目标：1学会数列中求通项或求和中较为复杂的一些题型； 2培养学生分析、解决问题的能力 【案例引导】 例1已知数列na 满足 1a a *0,a a N ，1 2 1 0n na a a pa *0, 1,p p n N ，求数列 na 的通项公式 na 例2已知非零数列na 满足 1 1a ， 1 12n n n naa a a *nN （1）求证：数列 11na 是等比数列； （2）若关于n的不等式2 2 21 21 1 1 31 1 1log 1 log 1 log 1nmn n na a a 有解，求整
2、数m的最小值 第1章 数列【1.2 求通项、求和深入问题】 2 摒弃浮华，沉淀思想 例3设数列na 的前n项和为 nS ，且满足 2 1n na S An Bn *0,A n N （1）设 n nb a n ，若 1 32a ， 2 94a 求实数 ,AB的值，并判定数列nb 是否为等比数列； （2）若数列na 是等差数列，求 1BA 的值 【课外作业】 1设数列na 满足： 1 1a ， 2 2a ， 212 211n nnna aaa *1,n nN ，令 11nnnnaba a求证：数列nb 是常数列 江苏高考数学研究性讲义 3 二轮专题突破 2对给定数列nc ，如果存在实常数 ,p q
3、使得 1n nc pc q 对任意 *nN都成立，我们称数列nc 是“线性数列”； （1）若 2na n ， 3 2nnb ， *nN，数列na ， nb 是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数p和q，若不是，请说明理由； （2）求证：若数列na 是“线性数列”，则数列1n na a 也是“线性数列”； （3）若数列 na 满足 1 2a ， 1 3 2nn na a t *nN ，t为常数，求数列na 的前n项的和 第1章 数列【1.2 求通项、求和深入问题】 4 摒弃浮华，沉淀思想 3已知数列na 的前n项和 nS 满足： 1n n nS t S a （t为常数，且 0, 1t t
4、） （1）证明： na 成等比数列； （2）设 2n n n nb a S a ，若数列nb 为等比数列，求t的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设 4 1n nc a ，数列nc 的前n项和为 nT，若不等式 12 2 74nk nn T 对任意的 *nN恒成立，求实数k的取值范围 江苏高考数学研究性讲义 5 二轮专题突破 第1章 数列 1.2 求通项、求和深入问题 目标：1学会数列中求通项或求和中较为复杂的一些题型； 2培养学生分析、解决问题的能力 【案例引导】 例1（2015 密卷四20）已知数列na 满足 1a a *0,a a N ， 1 2 1 0n na a a pa *0,
5、 1,p p n N ，求数列na 的通项公式 na 例2已知非零数列na 满足 1 1a ， 1 12n n n naa a a *nN （1）求证：数列 11na 是等比数列； （2）若关于n的不等式2 2 21 21 1 1 31 1 1log 1 log 1 log 1nmn n na a a 有解，求整数m的最小值 解：由 1 12n n n naa a a ，得11 2 1n na a ，即11 11 2 1n na a ，2分 所以数列 11na 是首项为2，公比为2的等比数列；4分 由可得，1 1 2nna ，故 1 1 1 31 2 mn n n n ，5分 设 1 1 11
6、 2f n n n n n ， 则 1 1 1 1 11 02 1 2 2 1 2 1 2 2f n f n n n n n n ， 所以 f n 单调递增， 8分 则 min 11 2f n f ，于是1 32 m ，即 72m ， 故整数m的最小值为4， 10分 第1章 数列【1.2 求通项、求和深入问题】 6 摒弃浮华，沉淀思想 例3（2015密卷六20）设数列na 的前n项和为 nS ，且满足 2 1n na S An Bn *0,A n N （1）设 n nb a n ，若 1 32a ， 2 94a 求实数 ,AB的值，并判定数列nb 是否为等比数列； （2）若数列na 是等差数列
7、，求 1BA 的值 【课外作业】 1（2015 密卷十20）设数列na 满足： 1 1a ， 2 2a ， 212 211n nnna aaa *1,n nN ，令11nnnnaba a求证：数列 nb 是常数列 2对给定数列nc ，如果存在实常数 ,p q使得 1n nc pc q 对任意 *nN都成立，我们称数列nc 是“线性数列”； （1）若 2na n ， 3 2nnb ， *nN，数列na ， nb 是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数p和q，若不是，请说明理由； （2）求证：若数列na 是“线性数列”，则数列1n na a 也是“线性数列”； （3）若数列 na 满足 1
8、2a ， 1 3 2nn na a t *nN ，t为常数，求数列na 的前n项的和 解析：（1）本小题的思路是：紧扣定义 2na n ， 1 2n na a ，( *)n N ； 数列 na 是“线性数列”，对应的实常数分别为1，2； 2分 3 2nnb ， 1 2n nb b ，( *)n N ； 数列 nb 是“线性数列”，对应的实常数分别为2，0 4分 （2）本小题的思路依旧是：紧扣定义 数列 na 是“线性数列”，存在实常数p q、 ，使得 1n na pa q 对任意 *n N 恒成立； 再进一步有： 2 1n na pa q 对任意 *n N 恒成立； 有 1 2 1( ) (
9、) 2n n n na a p a a q 对任意 *n N 都成立， 数列 1 n na a 也是“线性数列”，对应的实常数分别为 2p q、 10分 （3）本小题的思路是：成对出现，奇偶分清 当n是偶数时， 3 11 2 3 4 1( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2nn n nS a a a a a a t t t 江苏高考数学研究性讲义 7 二轮专题突破 23 1 12(1 4 )3(2 2 2 ) 3 2 21 4nn nt t t t ； 13分 当n是奇数时， 2 4 11 2 3 4 5 1( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2nn n nS a a a
10、a a a a t t t 122 4 1 14(1 4 )2 3(2 2 2 ) 2 3 2 4 21 4nn nt t t t ； 故 112 2, 2 4 2, nn nt t nS t t n 为偶数为奇数 16分 3已知数列na 的前n项和 nS 满足： 1n n nS t S a （t为常数，且 0, 1t t ） （1）证明： na 成等比数列； （2）设 2n n n nb a S a ，若数列nb 为等比数列，求t的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设 4 1n nc a ，数列nc 的前n项和为 nT，若不等式 12 2 74nk nn T 对任意的 *nN恒成立，求实
11、数k的取值范围 19 解（1）当 1n 时， 1 1 1( 1)S t S a ，得 1a t 当 2n 时， ( 1)n n nS t S a ，即(1 ) n nt S ta t ， 1 1(1 ) n nt S ta t ， 所以 1n na ta ，故 na 成等比数列；5分 （2）由（1）知 na 成等比数列且公比是t， nna t 故 2 (1 )( ) 1 nn nn t tb t tt ，即2 1 2 121n n nnt t tbt 7分 若数列 nb 是等比数列，则有 22 1 3b b b ，而 2 3 4 21 2 32 , (2 1), (2 1)b t b t t
12、b t t t 故 3 2 2 4 2 (2 1) (2 ) (2 1)t t t t t t ，解得 12t ，再将 12t 代入 nb 得 12nnb 由 1 12nnbb 知nb 为等比数列，所以12t 10分 （3）由 12t ，知 12nna ，14 12nnc ，1 1(1 ) 42 24 41 21 2nn nT n n 由不等式 12 2 74nk nn T 恒成立，得2 732nnk ，12分 由 1 1 12 5 2 7 2 92 2 2n n n n nn n nd d ，当 4n 时， 1n nd d ，当 4n 时， 1n nd d ，14分 而 4 5 4 51 3, ,16 32d d d d 33 32k ， 132k -16分
