1、第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 集合与集合的运算对应学生用书起始页码 考点一 集合与集合的关系（课标全国 ，分）已知集合 ， ，则（ ） 答案 化简或，而 ，所以 或 ，项错误； ，项正确；与没有包含关系，项与项均错误故选（山东，分）已知集合 ，则集合 ， 中元素的个数是（ ） 答案 当 时， ，此时的值分别为，；当时，此时的值分别为，；当时，此时的值分别为，综上可知，的可能取值为，共个，故选（江西，分）若集合，则集合， ， 中的元素的个数为（ ） 答案 集合， ， ，故选（湖南，分）设集合，则“ ”是“ ”的（ ）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分又不必
2、要条件答案 当时，则“ ”成立，所以“”是充分条件；当 时， 或 ，得或 ，所以“”不是必要条件，故选（浙江，分）设，则（ ） 答案 ， ，故选（福建，分）对于复数 ，若集合，具有性质“对任意， ，必有 ”，则当， ， 时，等于（ ） 答案 ，由集合中元素的互异性可知当时， ， 又“对任意， 必有 ”知 ，即 ， （），故选 本题考查了集合中元素的互异性及复数的基本运算，同时考查了学生的创新能力，属于中等难度题（江苏，分）集合，共有 个子集答案 解析 集合 ，的子集有 ， ， ， ，共个 本题考查子集的概念，忽视是学生出错的主要原因以下为教师用书专用（）（湖南，分）已知集合，则（ ） ， ，答
3、案 由韦恩图可知 ，评析 本题主要考查集合运算，较容易，利用图示解决本题较直观考点二 集合的基本运算（浙江，分）设全集 ，集合 ，则 （ ） ，答案 ， ，故选（课标 ，分）设集合，则 （ ） ， ，答案 由已知得 ， ， ，故选（课标 ，分）已知集合 ， ，则 （ ）， ，） ， ，）答案 由不等式 解得 或 ，因此集合 或 ，又集合 ，所以 ，故选（广东，分）已知集合，则 （ ）， ， ，答案 由集合的并集运算可得， ，故选（四川，分）已知集合 ，集合为整数集，则 （ ）， ， （教师用书）， ，答案 ，故集合中的整数为，所以 ，（北京，分）已知集合，则 （ ） ， ， ，答案 ， ，故选
4、（陕西，分）设集合 ， ， ，则 （ ）， ，） （， （，）答案 （，）， ，），故选（大纲全国，分）设集合 ， ，则 （ ）（， ，） ，） （，答案 ，则 故选（辽宁，分）已知全集， ，则集合（ ） （ ） 答案 或 ，因此（ ） 故选（天津，分）已知集合 ， ，则 （ ）（， ， ，答案 易知 ，故 故选 本题主要考查集合的运算及绝对值不等式的解法，重点考查运算能力（课标全国 ，分）已知集合 （） ，则 （ ）， ， ，答案 化简得，所以 ，故选（浙江，分）设集合， ，则（） （ ）（， （，（， ，）答案 ，又 ，故（） ，选（浙江，分）设集合，集合 ，则 （） （ ）（，） （，）
5、（，） （，） （，）答案 ， （） ，故选（湖南，分）设集合， ，则 （ ） ， ， ，答案 ， ， ，故选（辽宁，分）已知，为集合的非空真子集，且，不相等，若 ，则 （ ） 答案 ， ，又 ， ， 故选（江苏，分）已知集合，则 答案 ，解析 由集合的交集定义知 ，（重庆，分）设全集 ， ，则（） 答案 ，解析 ， ，又 ， （） ，（四川，分）设全集，集合，则（） （） 答案 ，解析 ， （） （） ，（天津，分）已知集合 ， ， （，） ，则集合 答案 解析 由 得 ， 或， 或 ， ， 又当时， ，当且仅当 时取等号， ，故 本题考查了用零点分区间法解含绝对值的不等式、用均值定理求值域
6、，属中等难度题（江苏，分）设集合， ， ，则实数的值为 答案 解析 由，得检验此时， ，满足题意 本题考查集合定义和交集运算，属容易题以下为教师用书专用（ ）（重庆，分）已知全集，集合，则（ ） （ ）， ， 答案 ，（ ） 故选（北京，分）已知集合， ，则 （ ） ， ，答案 ， ， ，故选（广东，分）设集合， ， ，则 （ ） ， ， ，答案 化简两个集合，得，则 ，故选 （ 湖北， ， 分）已知全集为，集合 第一章 集合与常用逻辑用语 ( ) ， ，则 （ ） 或 或 答案 由( ) 得 ，即 ， ），又 ，故（，） （，）， ，） （，）（四川，分）设集合，集合 ，则 （ ） ， 答案
7、 由已知得 ， ，则 ， 故选（辽宁，分）已知集合，则 （ ）（，） （， （，） （，答案 ， （，故选（北京，分）已知集合 ，（）（），则 （ ）（，） ， ( ) ，( ) （，）答案 ，或， ，故选评析 本题主要考查解不等式及集合的运算（广东，分）设集合，则 （ ） ， ， ，答案 ，故选评析 本题考查集合补集的运算，考查学生的运算求解能力（陕西，分）集合 ， ，则 （ ）（，） ，） （， ，答案 ， ，则 （，故选评析 本题考查了集合的运算、对数不等式以及一元二次不等式的解法（山东，分）设集合 ， ，则 （ ），） ， （， ，答案 ， ， 评析 本题主要考查二次不等式的解法和集合
8、的运算，属容易题（北京，分）已知集合 ，若，则的取值范围是（ ）（， ，）， （， ，）答案 由 ，得 ， ， ，故选评析 本题考查集合的运算和性质以及解不等式，解题关键是把 转化为 ，属容易题（安徽，分）设集合，则满足 且 的集合的个数是（ ） 答案 由 且 可知：元素，中至少有一个是中的元素中的其余元素是从，中选个，个，个或不选故的个数为（） ，故选评析 本题考查集合的基本概念和基本运算，解题的关键是中至少含有，中的一个元素，属于中等难度题（陕西，分）设集合 ， ， ，为虚数单位， ，则 为（ ）（，） （， ，） ，答案 由题意得 ， （，）， ，）故选评析 本题考查了倍角公式与复数模的
9、运算，掌握倍角公式与复数模的运算是解题关键，属容易题（安徽，分）若集合 ，则（ ）（， ， ， （， ， ， 答案 ， ( )， ， ，故（， ， 评析 本题主要考查对数不等式的解法、对数函数的性质及集合的运算属容易题，考查运算能力（北京，分）集合 ， ，则 （ ）， ， 答案 ， ， ，故选（辽宁，分）已知，均为集合，的子集，且 ，（） ，则 （ ）， ， ， ，答案 ， ， ， ， ，又（） ， ， ，故选（湖北，分）设集合 （，） ， （，） ，则 的子集的个数是（ ） 答案 集合中的元素是椭圆 上的所有点，集合中的元素是指数函数图象上的所有点，作图可知 中有两个元素， 的子集的个数是
10、，故选 （教师用书）对应学生用书起始页码考点内容命题规律命题趋势一、集合与集合的关系了解集合的含义、元素与集合的属于关系能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集在具体情境中，了解全集与空集的含义二、集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单的集合的并集与交集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集能使用韦恩（）图表示集合的关系及运算热点预测：预计年高考对集合的考查以集合的运算为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值为分趋势分析：以集合为载体，考查函数、立体几何、解析几何、不等式等知识对
11、应学生用书起始页码元素与集合（）元素与集合的关系属于，记为 ，不属于，记为 （）集合中元素的特征确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如，组成的集合与，组成的集合是相同的集合这个特性通常被用来判断两个集合的关系（）集合的分类： 无限集 、 有限集 特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做 空集 ，记作
12、（）常用数集及其表示符号名称非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号 或 （）集合的表示方法： 列举法 、 描述法 、 图法 集合间的关系（）集合间的运算关系名称自然语言描述符号语言表示图表示子集如果集合中所有元素都是集合中的元素，则称集合为集合的子集 （或 ）真子集如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合是集合的真子集 （或 ） 续表名称自然语言描述符号语言表示图表示集合相等集合与集合中元素相同，那么就说集合与集合相等并集对于两个给定集合、，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合 ，或 交集对于两个给定集合、，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 ，且 补集对于一个集合，
13、由全集中所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 ，且 （）集合间的逻辑关系交集 并集 补集（） （） （） （）两个常用结论 ； 设有限集合，（） （ ），则（）的子集个数是 ；（）的真子集个数是 ；（）的非空子集个数是 ；（）的非空真子集个数是 第一章 集合与常用逻辑用语 【知识拓展】集合元素具有确定性、无序性和互异性在解决有关含参数的集合问题时，尤其要注意元素的互异性研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么集合（） （） （） （） （，）（）集合的意义方程（）的解集不等式（）的解集函
14、数（）的定义域函数 （）的值域函数 （）图象上的点集对应学生用书起始页码数轴与韦恩（）图在解题中的应用数轴和韦恩图是集合进行交、并、补运算的有力工具，数形结合是解答集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决例 （天津，分）已知集合 ，集合 （）（），且 （，），则 ， 解题思路 去掉绝对值由 （，）得 用数轴表示集合、 结论解析 ，由 （，）可知，则，画出数轴，可得，答案 ； （天津，分）设集合 ， ， ， 若 ，则实数，必满足（ ） 解析 集合化为，
15、，集合化为或， ，如图，则满足 或 ，因此有 或 ，即 故选答案 设为全集，、是的三个非空子集，且 ，则下面论断正确的是（ ）（） （ ） （） （）（） （） （） （） （） （）解析 解法一：令 ，依题意画出韦恩图，如图所示，则有 ，故（） （） （ ） ，所以（） （） （） （） 解法二： ， （ ） ， （ ） （） ， （） （） （） 解法三：令 ， ， ，则（） （） （） ， 这种方法称为“特值法”，是解答选择题的一种重要方法答案 利用分类讨论思想研究集合间的关系注意空集的特殊性，在解题中，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如 ，则有和 两种可能，此时应分类讨论在解含
16、参变量的有关集合问题时，有时需对参变量进行分类讨论同时在解题过程中，最易忽略集合元素的互异性，从而导致解题的失误因此求出参变量后，一定要代入检验分类讨论要注意分类标准的寻求和层次的划分，做到分类标准合理、自然，层次划分明确、清晰，对讨论的问题的分类做到不重不漏例 （大纲全国，分）已知集合， ， ，则 （ ）或 或 或 或解题思路 由 ，得 分类讨论，求出的值代入检验得结论解析 由 得 ，有 ，所以有 或，即或 或 ，又由集合中元素的互异性知，故选答案 例 （课标全国，分）已知集合，（，） ， ， ，则中所含元素的个数为（ ） 解题思路 思路一：由 ，得 ， 分类讨论列举出集合的元素个数思路二：
17、由 ， ， 得，为正整数，且用组合计数的方法得集合的元素个数解析 解法一：由 ，及，得，当时，可取，有个；当 时，可取，有个；当时，可取，有个；当 时，可取，有个故共有（个），选 （教师用书）解法二：因为中元素均为正整数，所以从中任取两个元素作为，满足的（，）即为集合中的元素，故共有 个，选答案 已知集合，（）， ， ，则实数 解析 由 ，得 （）若，则集合中有重复元素，与集合元素的互异性矛盾（）若（） ，得或当时，经检验符合题意当时，集合中有重复元素，与集合元素的互异性矛盾（）若，得或 由（）（）知，此种情况不满足题意，排除综上，答案 若集合， ，且 ，则实数的取值范围是 解析 依题意有：，
18、且 当时，有 ；当 时，若 ，则，此时，符合；若 ，则，此时，符合，所以当 ，且 时，此时综上，或答案 或与集合有关的新概念问题与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明它是集合命题的一个新方向常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型解此类题的一般思路：理解问题中的新公式、新运算、新法则的含义；利用学过的数学知识进行逻辑推理；对选项进行筛选、验证、定论例 （浙江，分）设，为实数， （） （） （），（） （）（ ）记集合 （）， ，（） ， 若，分别为集合，
19、的元素个数，则下列结论不可能 的是（ ） 且 且 且 且 解析 取，则 且 ，故有可能取，（ ），则（） （），故 ，此时（） （），则 ，故也有可能取 ， ， ，且 ，则 （ ） （ ） ( )，故 ，此时（） （） ( )， ， ，即有可能若 ，则（） 有三个不同的根 （ ），且 ， ， 从而（） 有根， ， ，此时 ， ， ，故 ，即不可能，故选答案 【方法点拨】 注意到方程 与 的判别式相同，且有可能为零，故集合的元素个数不会超过集合的元素个数遇到以集合为载体的新概念问题，关键在于对新概念的理解，将题中的信息有效地加以把握，从而达到信息迁移的目的 对于正实数，记为满足下述条件的函数（）构成的集合：对于任意的， ，有（ ）（）（）（）下列结论中正确的是（ ）若（） ，（） ，则（） （） 若（） ，（） 且（） ，则（）（） 若（） ，（） ，则（）（） 若（） ，（） ，且 ，则（） （） 解析 依题意，若（） ，（） ，则对任意， 且 ，有（ ） （） （ ） （ ），（）（）（）（）， （） （ ）（） （） （ ） （ ） （ ） （），即（）（）（）（）（）（）（） （），从而有（）（） 答案 定义集合运算： ，且 ，已知集合 ，
