1、 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 17 页） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、 选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1 2 3 4 5 6 C D C D D B 7 8 9 10 11 12 A B C C B D 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 14 14. 38 15. 72 16. 32 24 2 三、解答题 17. (本小题满分 12 分 ) 解： （ ） 2 1nS n n ， 令 1n ， 1 1a , 1 21n n na S S n ， 2n . -2 分 经检验： 1 1a 不能与 na 2n
2、 时合并 ， 112 1 2n na nn . -3 分 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 17 页） 又 数列 nb 为等比， 222ba， 5916ba, 352 8b qb ， 2q ， 12nnb . -6 分 （ ） 由（ 1）得： 11 1 1 12 1 2 2 1 2 2n nnnnc n n n n -7 分 设数列 nc 的前 n 项和为 nT , 231 2 1 2 3 1 2 1 2 nnTn 231 1 2 2 2 1 2 nn , -8 分 3 4 12 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2nnnT n n , -9 分 数学（理科）试题参考答案及
3、评分标准 第 3 页（共 17 页） 3 4 13 2 2 2 1 2nnnTn 32 12 1 23 1 212 n nn 213 8 2 1 1 2nnn 112 1 2 5nnn 12 2 5nn , 15 2 2 nnTn . 经 检验 1n 时 ，符合题意要求 . -12 分 18. (本小题满分 12 分 ) 解： （ ） 由 1 0 0 . 0 1 0 0 . 0 1 5 0 . 0 3 0 0 . 0 1 0 1a ，得 0.035a ， -1 分 平均数为 2 0 0 . 1 3 0 0 . 1 5 4 0 0 . 3 5 5 0 0 . 3 6 0 0 . 1 4 1 .
4、5 岁； -2 分 设中位数为 x ，则 1 0 0 . 0 1 0 1 0 0 . 0 1 5 3 5 0 . 0 3 5 0 . 5 ,x 42.1x 岁 . -3 分 （ ） 第 1,2,3 组的人数分别为 20 人 ,30 人 ,70 人，从第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 12 人， 则第 1,2,3 组抽取的人数分别为 2 人 ,3 人 ,7 人 . -5 分 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 17 页） 设从 12 人中随机抽取 3 人，第 1 组抽到 1 人为事件 A ，第 3 组抽到 2 人为事件 B ， 则 12273121 2 2 12 1 0
5、2 1 031221/.( ) 5 0CCP A B CP B AC C C CPAC -7 分 （ ） 从所有参与调查的人中任意选出 1 人，关注 “生态文明” 的概率为 4,5PX 的可能取值为 0,1,2,3， -8 分 303 4101 5 1 2 5P X C 1213 4 4 1 2115 5 1 2 5P X C 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 5 页（共 17 页） 2123 4 4 4 8215 5 1 2 5P X C 333 4 6 43 5 1 2 5P X C -10 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1125 12125 48125 6412
6、5 4 3, ,5XB 4 1 23.55E X np -12 分 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 6 页（共 17 页） 19. (本小题满分 12 分 ) 解： （ ） 取 PC 中点 M ，连接 MFDM, . FM, 分别是 PBPC, 中点 , CBMFCBMF 21,/ , E 为 DA 中点， ABCD 为矩形， CBDECBDE 21,/ , DEMFDEMF ,/ , 四边形 DEFM 为平行四边形 , / / .EF DM -3 EF 平面 PDC ， DM 平面 PDC ， /EF 平面 PDC .-4 MFECDABP数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 7
7、页（共 17 页） （ ） PA 平面 ABC ,且四边形 ABCD 是矩形， APABAD , 两两垂直，以 A 为原点， AP ， AB ， AD 所在直线为 zyx ,轴，建立空间直角坐标系 xyzA ， -5 则 ,0,0,1P ,1,1,0,1,0,0 CD 0,21,21,21,0,0 FE. -6 设平面 EFC 的 法向量为 1 1 1 1,n x y z ， 1,21,21,21,21,21 FCEF ， 则0011nFCnEF , 即 1 1 12 2 2011 022x y zx y z ，取 2,1,31 n .-8 zxyFECDA (O )BP数学（理科）试题参考答
8、案及评分标准 第 8 页（共 17 页） 设平面 PDC 的 法向量为 2 2 2 2,n x y z ， 1,1,1,1,0,1 PCPD ， 则0022nPCnPD , 即 222 2 20 0xzx y z , 取 1,0,12 n .-10 14 75214120113,c o s212121 nnnnnn ， -11平面 EFC 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值为 1475 .-12 20. (本小题满分 12 分 ) 解： （ ） 设动圆 C 的半径为 r ，由题意知 12| | 3 , | | 1C C r C C r ， -2 分 从而有 12| | | | 4CC CC，
9、 故 轨迹 E 为以 12,CC为焦点，长轴长为 4 的椭圆，并去除点 ( 2,0) ， 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 9 页（共 17 页） 从而 轨迹 E 的方程为 22 1( 2)43xy x . -5 分 （ ） 设 l 的方程为 1x my，联立 221431xyx my ， 消去 x 得 22(3 4 ) 6 9 0m y m y ， -6 分 设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，有1 2 1 22269,3 4 3 4my y y ymm -12 分 有 222221 2 1 1 2 (1 )| | 1 3 4 3 4mmA B m mm
10、 ， -8 分 点 ( 2,0)P 到直线 l 的距离为231 m ， 点 (2,0)Q 到直线 l 的距离为211 m ， 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 10 页（共 17 页） 从而 四边形 APBQ 的 面积 222221 1 2 ( 1 ) 4 2 4 12 3 4 3 41mmS mmm . -10 分 令 21 , 1t m t ，有224 24 131 3tSt t t ， 令 13 , 1h t t tt ， 则 21 3 0ht t ， 所以 由函数 13ytt在 1, ) 上单调递增 有 13 1 4tht ， 故22 4 2 4 6131 3tSt t t ，
11、当且仅当 1, 0tm时 ， “ 等号 ” 成立 ， 所以 四边形 APBQ 面积的最大值 为 6 . -12 分 （ 四边形的面积也可以通过 22 1 1 2 1 21 242S y y P Q y y y y 求得 ） 在 应用直线 方程为 斜截 式 直线 方程时，对斜率要进行分类讨论 21. (本小题满分 12 分 ) 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 11 页（共 17 页） 解： （ ） fx的定义域为 xR 且单调递增， 在 xR 上， 2 4 0xaf x x e 恒成立，即 42 xa x e . -2 分 设 42 xh x x e ， xR ， 22 xh x x e
12、 ， 当 ,1x 时 ， 0hx ， hx在 ,1x 上为增函数； 当 1,x 时 ， 0hx ， hx在 1,x 上为减函数， -4 分 函数 hx有 极大值， m ax 12h x h e. m ax42 xa x e, 2ae ，即 2,ae . -5 分 （ ） 2 45xxg x e f x x x e a ， 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 12 页（共 17 页） 且 12 2g x g x g m， 1,m ， 122 2 21 1 2 24 5 4 5 2 4 5 2xx mx x e a x x e a m m e a ， 122 2 21 1 2 24 5 4 5
13、 2 4 5xx mx x e x x e m m e ， -6 分 设 2 45 xx x x e ， xR ，则 12 2x x m ， 210xx x e ， x 在 xR 上递增 ， 且 10 . -7 分 令 1 ,xm ， 2 ,xm ， 设 F x m x m x ， 0, )x ， -8 分 211m x m xF x m x e m x e ， 当 0x 时 ， 0m x m xee， 221 1 2 2 2 0m x m x m x ， 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 13 页（共 17 页） 0Fx ， Fx在 0, )x 上递增， 02F x F m， -9 分
14、 2m x m x m ， 0,x ， 令 1x m x， 11 2m m x m m x m ， 即 1122m x x m . -10 分 又 12 2x x m ， 122 2 2m x m x m ， 即 122m x. -11 分 1xm ， 2xm ， 12m x m， x 在 xR 上递增 ， 122m x x，即 122x x m . 得证 . -12 分 22. (本小题满分 10 分 ) 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 14 页（共 17 页） （ ） 联立 cos4 3cos， 23cos ， 2 分 20 ， 6 ， 32 . .4 分 交点坐标 6,32 .
15、. .5 分 （ ） 设 ,P , 00,Q 且 .cos4 00 2,00 . 6 分 由已知 ,32QPOQ 得00 52 ， .8 分 cos452 ，点 P 的极坐标方程为 2,0,c o s10 10 分 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 15 页（共 17 页） 23. (本小题满分 10 分 ) 解： （ ） 当 2m 时， 4 1 032 2 3 - 2 = 1 023452xxf x x x xxx 当 4 1 30xx 时 ， 解得 12x0 ； 当 3 0 1 32 x 时 ，恒成立 ； 当 4 5 332xx 时 ， 解得 32x -2 ， 此不等式的解集为 1-
16、22，. .4 分 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 16 页（共 17 页） （分三部分分别解 f(x)3，每部分解对给一分）（ ） 4 3 + 032 2 3 = 3 023432x m xf x x x m m xx m x 当 ,0x 时 ， 33022 2 3 =3432mxf x x x mx m x ； 当 3 02 x 时 ， =3+f x m ， 当 32x 时 ， 当 3 = 4 32x f x x m ， 单调递减， 数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 17 页（共 17 页） 函数 f(x)在 3 ,0)2 内 都有最小值，且 最小值为 3+m. .6 分设 2 0g x x xx . 当 20 , 2 2xx x ， 当且仅当 2=x x 时，取 “ 等号 ” ， 2 -2 2,x x 即 2x=- 时， g(x)取得最大值 -22 . .8 分 因为 32 , 0)2x ， 结合两个 函数 的 图象， 要使 2f x x x 恒成立，只需 3 2 2m ，即 2 2-3m . 10 分
