1、2/232 0 1 7 高 三 二 模 汇 编 数 列 与 数 学 归 纳 法一 、 填 空 题（ 2017 宝 山 长 宁 金 山 青 浦 二 模 9） 设 多 项 式 2 31 (1 ) (1 ) (1 ) nx x x x （ *0x n N ， ） 的 展 开 式 中 x项 的 系 数 为 nT ， 则 2nn Tlim n 【 参 考 答 案 】 12（ 2 0 1 7 普 陀 二 模 1 ） 计 算 ： 311lim nn .【 参 考 答 案 】 1（ 2 0 1 7 奉 贤 二 模 3 ） 已 知 na 为 等 差 数 列 ， 若 1 6a ， 3 5 0a a ， 则 数 列
2、 na 的 通 项 公式 为 _【 参 考 答 案 】 na =8 2n ；（ 2 0 1 7 虹 口 二 模 3 ） 已 知 首 项 为 1 公 差 为 2 的 等 差 数 列 na ， 其 前 n项 和 为 nS ， 则2( )lim nn naS 【 参 考 答 案 】 4（ 2 0 1 7 嘉 定 二 模 4 ） nn nnn 32 32lim 11 _【 参 考 答 案 】 3（ 2 0 1 7 嘉 定 二 模 6 ） 设 等 差 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ， 若 3535 aa ， 则 35SS _【 参 考 答 案 】 25（ 2 0 1 7 静 安 二 模 7
3、） 各 项 均 不 为 零 的 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS 对 任 意 *Nn ，)2,( 11 nnnn aaam 都 是 直 线 kxy 的 法 向 量 若 nn Slim 存 在 ， 则 实 数 k的 取 值 范 围 是_【 参 考 答 案 】 ,01, ；（ 2017 徐 汇 二 模 4） 设 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 若 *21 ( )3n nS a n N ， 则3/23lim nn S =_【 参 考 答 案 】 1（ 2017徐 汇 二 模 5） 若 *1( ) ( 4, )2 nx n n Nx 的 二 项 展 开 式 中 前 三 项 的
4、 系 数 依 次 成 等 差数 列 ， 则 n_【 参 考 答 案 】 8（ 2 0 1 7 崇 明 二 模 8 ） 数 列 na 是 等 比 数 列 ， 前 n 项 和 为 nS ， 若 1 2 2a a ， 2 3 1a a ， 则lim nn S 【 参 考 答 案 】 ： 83（ 2 0 1 7 浦 东 二 模 9 ） 已 知 等 差 数 列 na 的 公 差 为 2 ， 前 n 项 和 为 nS ， 则1lim nn n nSa a =_【 参 考 答 案 】 14（ 2 0 1 7 虹 口 二 模 1 2 ） 无 穷 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 若 对 任 意
5、的 正 整 数 n 都 有 1 2 3 10, , , ,nS k k k k ， 则 10a 的 可 能 取 值 最 多 有 个 【 参 考 答 案 】 9 1（ 2 0 1 7 黄 浦 二 模 1 2 ） 对 于 数 列 na ， 若 存 在 正 整 数 T ， 对 于 任 意 正 整 数 n都 有 n T na a 成立 ， 则 称 数 列 na 是 以 T 为 周 期 的 周 期 数 列 设 1 (0 1)b m m ， 对 任 意 正 整 数 n 都 有1 1 1)1 (0 1) (n nn nnb bb bb ， ， 若 数 列 nb 是 以 5 为 周 期 的 周 期 数 列 ，
6、 则 m 的 值 可 以是 (只 要 求 填 写 满 足 条 件 的 一 个 m 值 即 可 )【 参 考 答 案 】 5 2 （ 或 3 12 ， 或 3 1 ） （ 2 0 1 7 嘉 定 二 模 1 1 ） 设 等 差 数 列 na 的 各 项 都 是 正 数 ， 前 n项 和 为 nS ， 公 差 为 d 若 数4/23列 nS 也 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 则 na 的 通 项 公 式 为 na _【 参 考 答 案 】 4 12 n（ 2 0 1 7 静 安 二 模 1 1 ） 已 知 xxxf 11)( ， 数 列 na 满 足 211 a ， 对 于 任 意
7、*Nn 都 满 足)(2 nn afa ， 且 0na ， 若 1820 aa ， 则 20172016 aa 的 值 为 _【 参 考 答 案 】 212 （ 2 0 1 7 闵 行 二 模 1 2 ） 已 知 递 增 数 列 na 共 有 2017项 ， 且 各 项 均 不 为 零 ， 2017 1a ， 如 果从 na 中 任 取 两 项 ,i ja a ， 当 i j 时 ， j ia a 仍 是 数 列 na 中 的 项 ， 则 数 列 na 的 各 项 和2017S _【 参 考 答 案 】 1009（ 2 0 1 7 浦 东 二 模 1 1 ） 已 知 各 项 均 为 正 数 的
8、 数 列 na 满 足 ： 1 12 1 0 Nn n n na a a a n ，且 1 10a a ,则 首 项 1a 所 有 可 能 取 值 中 的 最 大 值 为 _【 参 考 答 案 】 1 6（ 2 0 1 7 松 江 二 模 1 2 ） 已 知 递 增 数 列 na 共 有 2017 项 ， 且 各 项 均 不 为 零 ， 2017 1a ， 如 果从 na 中 任 取 两 项 ,i ja a ， 当 i j 时 ， j ia a 仍 是 数 列 na 中 的 项 ， 则 数 列 na 的 各 项 和2017S 【 参 考 答 案 】 1009二 、 选 择 题（ 2 0 1 7
9、 崇 明 二 模 1 5 ） 若 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q， 则 关 于 ,x y的 二 元 一 次 方 程 组1 32 4 21a x a ya x a y 的 解 的 情 况 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）(A)对 任 意 ( 0)q R q ， 方 程 组 都 有 唯 一 解 (B)对 任 意 ( 0)q R q ， 方 程 组 都 无 解(C)当 且 仅 当 12q 时 ， 方 程 组 有 无 穷 多 解 (D)当 且 仅 当 12q 时 ， 方 程 组 无 解【 参 考 答 案 】 ： C（ 2 0 1 7 奉 贤 二 模 1 5 ） 矩 形 纸 片 ABCD
10、 中 ， AB 1 0 cm， BC 8 cm 将 其 按 图 （ 1 ） 的 方 法 分 割 ，并 按 图 （ 2 ） 的 方 法 焊 接 成 扇 形 ； 按 图 （ 3 ） 的 方 法 将 宽 BC 2等 分 ， 把 图 （ 3 ） 中 的 每个 小 矩 形 按 图 （ 1 ） 分 割 并 把 4 个 小 扇 形 焊 接 成 一 个 大 扇 形 ； 按 图 （ 4 ） 的 方 法 将 宽 BC3等 分 ， 把 图 （ 4 ） 中 的 每 个 小 矩 形 按 图 （ 1 ） 分 割 并 把 6 个 小 扇 形 焊 接 成 一 个 大 扇 形 ； ；5/23依 次 将 宽 BC n 等 分 ，
11、 每 个 小 矩 形 按 图 （ 1 ） 分 割 并 把 n2 个 小 扇 形 焊 接 成 一 个 大 扇 形 当n 时 ， 最 后 拼 成 的 大 扇 形 的 圆 心 角 的 大 小 为（ ）A 小 于 2 B 等 于 2 C 大 于 2 D 大 于 6.1【 参 考 答 案 】 C（ 2 0 1 7 虹 口 二 模 1 3 ） 已 知 a， b， c都 是 实 数 ， 则 “ a， b， c成 等 比 数 列 ” 是 “ 2b a c 的 （ ）.A 充 分 不 必 要 条 件 .B 必 要 不 充 分 条 件 .C 充 要 条 件 .D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 参 考
12、答 案 】 A（ 2 0 1 7 浦 东 二 模 1 6 ） 已 知 等 比 数 列 1 2 3 4, , ,a a a a 满 足 1 0,1a ， 2 1,2a ， 3 2,4a ，则 4a 的 取 值 范 围是 （ ）A、 3,8 ； B、 2,16 ； C、 4,8 ； D、 2 2,16 【 参 考 答 案 】 D（ 2017徐 汇 二 模 14） 九 章 算 术 是 我 国 古 代 数 学 著 作 ， 书 中 有如 下 问 题 ： “ 今 有 委 米 依 垣 内 角 ， 下 周 八 尺 ， 高 五 尺 ， 问 ： 积 及 米 几何 ？ ” 其 意 思 为 ： “ 在 屋 内 墙 角
13、 处 堆 放 米 （ 如 图 ， 米 堆 为 一 个 圆 锥 的四 分 之 一 ） ， 米 堆 底 部 的 弧 长 为 8尺 ， 米 堆 的 高 为 5尺 ， 问 米 堆 的 体积 及 堆 放 的 米 各 为 多 少 ？ ” 已 知 一 斛 米 的 体 积 约 为 1.62立 方 尺 ， 由此 估 算 出 堆 放 的 米 约 有 （ ）（ A） 21斛 （ B） 34斛 （ C） 55斛 （ D） 63斛【 参 考 答 案 】 A（ 2 0 1 7 杨 浦 二 模 1 4 ） 设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d , 0d . 若 na 的 前 10项 之 和 大 于 其前 21项 之
14、 和 , 则 ( )(A) 0d (B) 0d (C) 16 0a (D) 16 0a 【 参 考 答 案 】 CB D（ 1 ） CA PQ （ 4 ） CDBA （ 3 ）BA CDB P（ 2 ）A(D) C(Q)6/23三 、 解 答 题（ 2017 宝 山 二 模 20）数 列 na 中 ， 已 知 1 2 1 21 ( )n n na a a a k a a ， ， 对 任 意 *n N 都 成 立 ， 数 列 na的 前 n项 和 为 nS （ 这 里 a k， 均 为 实 数 ）（ 1） 若 na 是 等 差 数 列 ， 求 k的 值 ；（ 2） 若 11 2a k ， ， 求
15、 nS ；（ 3） 是 否 存 在 实 数 k ， 使 数 列 na 是 公 比 不 为 1的 等 比 数 列 ， 且 任 意 相 邻 三 项 1 2m m ma a a ， ，按 某 顺 序 排 列 后 成 等 差 数 列 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有 k的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 【 参 考 答 案 】 （ 1） 若 na 是 等 差 数 列 ， 则 对 任 意 *n N ， 有 1 22 n n na a a ， 2/即 1 21 ( )2n n na a a ， 3 /故 12k 4 /（ 2 ） 当 12k 时 ， 1 21 ( )2n n na a a
16、 ， 即 1 22 n n na a a ， 2 1 1( )n n n na a a a ，故 3 2 2 1 1( )n n n n n na a a a a a 5/所 以 ， 当 n 是 偶 数 时 ，1 2 3 4 1 1 2( ) (1 1)2 2n n n n nS a a a a a a a a n ； 7 /当 n是 奇 数 时 ， 2 3 1 2( ) 2a a a a ， 1 2 3 4 1n n nS a a a a a a 1 2 3 4 5 1( ) ( ) ( )n na a a a a a a 11 ( 2) 22n n 9/综 上 ， 2 2 12n n n
17、kS n n k （ *k N ） 1 0 /（ 3 ） 若 na 是 等 比 数 列 ， 则 公 比 aaaq 12 ， 由 题 意 1a ， 故 1 mm aa ， mm aa 1 ，12 mm aa 1 1 /1 若 1ma 为 等 差 中 项 ， 则 1 22 m m ma a a ， 即 1 12 m m ma a a 22 1a a ， 解 得1a （ 舍 去 ） ； 12/7/232 若 ma 为 等 差 中 项 ， 则 1 22 m m ma a a ， 即 1 12 m m ma a a 22 a a ， 因 1a ，故 解 得 ，2a ， 1 1 1 22 21 5mm m
18、 mm ma a ak a a a a a ； 1 4 /3 若 2ma 为 等 差 中 项 ， 则 2 12 m m ma a a ， 即 1 1 22 2 1m m ma a a a a ，因 为 1a ， 解 得21 22 1 5aa k a ， 1 5 /综 上 ， 存 在 实 数 k 满 足 题 意 ，25k 1 6/（ 2 0 1 7 崇 明 二 模 2 1 ）已 知 数 列 na 满 足 1 11, , *nn na a a p n N （ 1） 若 1p ， 写 出 4a 所 有 可 能 的 值 ；（ 2） 若 数 列 na 是 递 增 数 列 ， 且 1 2 3, 2 , 3
19、a a a 成 等 差 数 列 ， 求 p 的 值 ；（ 3） 若 12p ， 且 2 1na 是 递 增 数 列 ， 2na 是 递 减 数 列 ， 求 数 列 na 的 通 项 公 式 【 参 考 答 案 】 ： （ 1 ） 4a 有 可 能 的 值 为 -2 0 2 4， ， ， .4 分（ 2 ） 因 为 数 列 na 是 递 增 数 列 ， 所 以 1 1 .nn n n na a a a p 而 1 1a ， 所 以 22 31, 1a p a p p .6 分又 1 2 3,2 ,3a a a 成 等 差 数 列 ， 所 以 2 1 34 3a a a .8 分所 以 23 0p
20、 p .解 得 13p 或 0p 当 0p 时 ， 1n na a ， 这 与 na 是 递 增 数 列 矛 盾 ， 所 以 13p .1 0 分（ 3 ） 因 为 2 1na 是 递 增 数 列 ， 所 以 2 +1 2 1 0n na a ，所 以 2 +1 2 2 2 1 0n n n na a a a 但 2 2 11 12 2n n ， 所 以 2 +1 2 2 2 1n n n na a a a 8/23由 ， 知 ， 2 2 1 0n na a ， 所 以 22 12 2 1 2 1112 2 nnn n na a 1 3 分因 为 2na 是 递 减 数 列 ， 同 理 可 得
21、 2 1 2 0n na a 所 以 2 122 1 2 2112 2 nnn n na a 由 ， 知 ， 11 12 nn n na a .1 6 分所 以 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a 112 1111 11 1 1 4 121 1 12 2 2 2 3 3 21 2nn nnn n 所 以 数 列 na 的 通 项 公 式 为 114 13 3 2 nn na .1 8 分（ 2 0 1 7 奉 贤 二 模 2 0 ） 已 知 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ， 且 2 2n nS a （ *n N ） （ 1 ） 求
22、na 的 通 项 公 式 ；（ 2 ） 设 11 22 nnn bb ， 81 b ， nT 是 数 列 nb 的 前 n项 和 ， 求 正 整 数 k， 使 得 对 任意 *n N 均 有 k nT T 恒 成 立 ；（ 3 ） 设 1 1(1 )(1 )nn n nac a a ， nR 是 数 列 nc 的 前 n项 和 ， 若 对 任 意 *n N 均 有 nR 恒 成 立 ， 求 的 最 小 值 【 参 考 答 案 】 （ 1 ） 由 2 2n nS a ， 得 1 12 2n nS a 两 式 相 减 ， 得 1 12 2n n na a a 1 2n na a 2 分数 列 na
23、 为 等 比 数 列 ， 公 比 2q 又 1 12 2S a ， 得 1 12 2a a ， 1 2a 2nna 2 分（ 2 ） 11 22 nnn bb 11 12 2n nn nb b 1 分 11 1 12 2nnb b n ， 2 5nnb n 2 分方 法 一 当 5n 时 ， 2 5nnb n 0 1 分因 此 ， 1 2 3 4T T T T 65 TT 1 分 对 任 意 *n N 均 有 4 5 nT T T ， 故 4k 或 5。 1 分方 法 二 （ 1 2 34 2 3 2 2 2 (5 ) 2 ,(1)nnT n 9/232 3 4 12 4 2 3 2 2 2
24、(6 ) 2 (5 ) 2 ,(2)n nnT n n 两 式 相 减 ， 得 2 3 4 18 (2 2 2 2 ) (5 ) 2 ,n nnT n 2 1 12 (1 2 )8 (5 ) 21 2n nnT n = 1(6 ) 2 12nn ， 1 分2 1 11 (5 ) 2 (6 ) 2 2 (4 )n n nn nT T n n n ， 1 分当 11 4, n nn T T ， 当 4 54,n T T ， 当 4n 时 ， 1n nT T ，综 上 ， 当 且 仅 当 4k 或 5 时 ， 均 有 k nT T 1 分（ 3 ） 11 1 11 2 1 12( )(1 )(1 )
25、 (1 2 )(1 2 ) 2 1 2 1nnn n n n nn nac a a 1 分 12 112 1915151312 1nnnR 12 1312 1n 2 分 对 任 意 *n N 均 有 23nR 成 立 ， 23 ，所 以 的 最 小 值 为 23 3 分（ 2 0 1 7 虹 口 二 模 1 9 ） （ 本 题 满 分 1 4 分 .第 （ 1 ） 小 题 6 分 ， 第 （ 2 ） 小 题 8 分 .）已 知 数 列 na 是 首 项 等 于 116 且 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列 ， nS 是 它 的 前 n项 和 ， 满 足3 2 54 16S S （ 1 ）
26、 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ 2 ） 设 logn a nb a ( 0a 且 1)a ， 求 数 列 nb 的 前 n项 和 nT 的 最 值 【 参 考 答 案 】 （ 1 4 分 ） 解 ： （ 1 ） 3 2 54 16S S ， 1q ，3 21 1(1 ) (1 ) 541 1 16a q a qq q . 2 分整 理 得 2 3 2 0q q ， 解 得 2q 或 1q （ 舍 去 ） . 4 分10/231 51 2n nna a q . 6 分（ 2 ） log ( 5)log 2n a n ab a n . 8 分1 ） 当 1a 时 ， 有 log 2
27、0,a 数 列 nb 是 以 log 2a 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 此 数 列 是 首 项 为 负的 递 增 的 等 差 数 列 .由 0nb ， 得 5n .所 以 min 4 5( ) 10log 2n aT T T . nT 的 没 有 最 大 值 . 1 1 分2 ） 当 0 1a 时 ， 有 log 2 0a ， 数 列 nb 是 以 log 2a 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 此 数 列 是 首 项为 正 的 递 减 的 等 差 数 列 .0nb ， 得 5n ， max 4 5( ) 10log 2n aT T T . nT 的 没 有 最 小 值 . 1 4
28、分（ 2 0 1 7 黄 浦 二 模 1 9 ）如 果 一 条 信 息 有 n 1, )n n N（ 种 可 能 的 情 形 （ 各 种 情 形 之 间 互 不 相 容 ） ， 且 这 些 情 形 发生 的 概 率 分 别 为 1 2, , , np p p ， 则 称 H 1 2( ) ( ) ( )nf p f p f p （ 其 中( )f x log ,ax x (0,1)x ） 为 该 条 信 息 的 信 息 熵 已 知 1 1( )2 2f （ 1） 若 某 班 共 有 3 2 名 学 生 ， 通 过 随 机 抽 签 的 方 式 选 一 名 学 生 参 加 某 项 活 动 ， 试
29、求 “ 谁 被 选中 ” 的 信 息 熵 的 大 小 ；（ 2） 某 次 比 赛 共 有 n 位 选 手 （ 分 别 记 为 1 2, , , nA A A ） 参 加 ， 若 当 1,2,k , 1n 时 ， 选 手kA 获 得 冠 军 的 概 率 为 2 k ， 求 “ 谁 获 得 冠 军 ” 的 信 息 熵 H 关 于 n 的 表 达 式 【 参 考 答 案 】 解 ： （ 1） 由 1 1( )2 2f ， 可 得 1 1 1log2 2 2a ， 解 之 得 2a . 2 分由 3 2 种 情 形 等 可 能 ， 故 1 ( 1,2, ,32)32kP k ， 4 分所 以 21 1
30、32 ( log ) 532 32H ，答 ： “ 谁 被 选 中 ” 的 信 息 熵 为 5 6 分（ 2 ） nA 获 得 冠 军 的 概 率 为 1 1 11 1 1 1 11 + ) 1 (1 )2 4 2 2 2n n n ( ， 8 分当 1,2,k , 1n 时 ， 2( ) 2 log 2 2k kk kkf p ， 又 11( ) 2n nnf p ，故 1 11 2 3 1 12 4 8 2 2n nn nH ， 11 分11 1 2 2 1 1 +2 4 8 2 2 2n n nn n nH ，以 上 两 式 相 减 ， 可 得 1 11 1 1 1 1 1+ 12 2
31、4 8 2 2n nH ， 故 42 2nH ，答 ： “ 谁 获 得 冠 军 ” 的 信 息 熵 为 42 2n 14 分11/23（ 2 0 1 7 黄 浦 二 模 2 1 ）给 定 数 列 na ， 若 满 足 aa 1 （ 0a 且 1a ） ， 对 于 任 意 的 *, Nmn ， 都 有mnmn aaa ， 则 称 数 列 na 为 指 数 数 列 （ 1 ） 已 知 数 列 na ， nb 的 通 项 公 式 分 别 为 123 nna ， nnb 3 ， 试 判 断 na ， nb是 不 是 指 数 数 列 （ 需 说 明 理 由 ） ；（ 2 ） 若 数 列 na 满 足 ：
32、 21 a ， 42 a ， nnn aaa 23 12 ， 证 明 ： na 是 指 数 数列 ； （ 3 ） 若 数 列 na 是 指 数 数 列 ， 431 tta （ *Nt ） ， 证 明 ： 数 列 na 中 任 意 三 项 都 不能 构 成 等 差 数 列 【 参 考 答 案 】 （ 1 ） 对 于 数 列 na ， 31 a ， 62 a ， 123 a ， 因 为 21213 aaaa ， 所以 na 不 是 指 数 数列 （ 2 分 ）对 于 数 列 nb ， 对 任 意 *, Nmn ， 因 为 mnmnmnmn bbb 333 ， 所 以 nb 是 指 数数 列 （ 4
33、 分 ）（ 2 ） 由 题 意 ， )(2 112 nnnn aaaa ， 所 以 数 列 1 nn aa 是 首 项 为 212 aa ， 公比 为 2的 等 比 数 列 （ 2 分 ）所 以 nnn aa 21 所 以 ， 2222)()()( 21112211 nnnnnnn aaaaaaaa nn 2221 )21(2 1 ， 即 na 的 通 项 公 式 为 nna 2 （ *Nn ） （ 5 分 ）所 以 mnmnmnmn aaa 222 ， 故 na 是 指 数 数 列 （ 6 分 ）（ 3 ） 因 为 数 列 na 是 指 数 数 列 ， 故 对 于 任 意 的 *, Nmn
34、， 有 mnmn aaa ， 令 1m ，则 nnn attaaa 4311 ， 所 以 na 是 首 项 为 43tt ， 公 比 为 43tt 的 等 比 数 列 ， 所 以 ，nn tta 43 （ 2 分 ）假 设 数 列 na 中 存 在 三 项 ua ， va ， wa 构 成 等 差 数 列 ， 不 妨 设 wvu ，则 由 wuv aaa 2 ， 得 wuv tttttt 4343432 ，所 以 uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2 ， （ 3 分 ）12/23当 t为 偶 数 时 ， uvvw tt )3()4(2 是 偶 数 ， 而 uwt )4( 是
35、偶 数 ， uwt )3( 是 奇 数 ，故 uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2 不 能 成 立 ； （ 5 分 ）当 t为 奇 数 时 ， uvvw tt )3()4(2 是 偶 数 ， 而 uwt )4( 是 奇 数 ， uwt )3( 是 偶 数 ，故 uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2 也 不 能 成 立 （ 7 分 ）所 以 ， 对 任 意 *Nt ， uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2 不 能 成 立 ， 即 数 列 na的 任 意 三 项 都 不 成 构 成 等 差 数 列 （ 8 分 ）（ 另 证 ： 因 为 对 任
36、意 *Nt ， uvvw tt )3()4(2 一 定 是 偶 数 ， 而 4t 与 3t 为 一 奇 一 偶 ，故 uwt )4( 与 uwt )3( 也 为 一 奇 一 偶 ， 故 等 式 右 边 一 定 是 奇 数 ， 等 式 不 能 成 立 ）（ 2 0 1 7 静 安 二 模 2 0 ）已 知 等 差 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ， 91 a ， 2a 为 整 数 ， 且 对 任 意 *Nn 都 有5SSn （ 1 ） 求 na 的 通 项 公 式 ；（ 2 ） 设 341 b ， 为 偶 数为 奇 数nb nab nnnn ,)2( ,1 （ *Nn ） ， 求 nb
37、 的 前 n项 和 nT ；（ 3 ） 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 若 数 列 nc 满 足 )N()21()1( *5122 nbbc nannnn 是否 存 在 实 数 ， 使 得 数 列 nc 是 单 调 递 增 数 列 若 存 在 ， 求 出 的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ，说 明 理 由 【 参 考 答 案 】 解 ： （ 1 ） 设 na 的 公 差 为 d ， 由 题 意 得 0065aa ， ,4959 d 2分 22 dZa 1 分112 nan 1 分13/23（ 2 ） 当 n为 偶 数 时 ， nnnn bb 2)2(1 1 分 当 n为 奇 数 时
38、)3( n ， )()()( 154321 nnn bbbbbbbT 1421 222 nb 3241 )41(434 121 nn 当 1n 时 也 符 合 上 式 3 分 当 n为 偶 数 时 ， 1323232 11 nabTT nnnnnn 2 分 .13232 ,32 1 为 偶 数， 为 奇 数 ，nn nTnnn 1 分（ 3 ） 3)41()1(4 nnnnc 由 题 意 得 ， 0)41(80431 nnnn cc 对 任 意 *Nn 都 成 立 ，1 当 n为 奇 数 时 ， n24803 ，当 1n 时 ， 53)4803( max2 n ， 53 3 分2 当 n为 偶 数 时 ， n24803 ，当 n 2 时 ， 548)4803( min2 n ， 548 3 分综 上 ： )548,53( 1 分（ 2 0 1 7 闵 行 二 模 2 1 ）已 知 ( )y f x 是 R上 的 奇 函 数 ， ( 1) 1f ， 且 对 任 意 ,0x ， 1 1xf x fx x 都 成 立 (1 ) 求 12f 、 13f 的 值 ；(2 ) 设 1(
