1、极值点偏移问题（5）对数平均不等式（本质回归）杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)我们熟知： 为两正数 ， 的几何平均数， 为 ， 的算术平均数，并且abb2ab有 ，即为基本不等式本讲要给的对数平均不等式是对基本不等式的加细2对数平均不等式：对于正数 ， ，且 ，定义 为 ， 的对数平均数，alnab-且有，ln2b即几何平均数对数平均数算术平均数，简记为 ,GaLbAa先给出对数平均不等式的多种证法证法 1（对称化构造）：设 ，则0lnabk-=， l-llnkab-=-构造函数 ，则 由 ，得()fxx()ff()10kfx，且 在 上单增，在 上单减， 为
2、的极大值0fk=0,k,f点对数平均不等式即 ，等价于 ，这是两个常规的极值点偏2ab+ln2ab-+lnlaba-证法 4（积分形式的柯西不等式）：不妨设 ，则由2lnlnln22dd1aaaxxbbbeex得 ， ；221lbal由 22211ddaaabbbxx得 ， 2lnabalna证法 5（几何图示法）：如下左图，过 上一点 作切线，由曲1fx2,ab边梯形面积大于直角梯形面积，可得，即 ；1ln2abadbxAln2abxy fx()=1x2a+ba+b2 abOxy1a1bb afx()=1xO如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得，即 11lnlabdxa lnb由对
3、数平均不等式的证法 1、2 即可看出它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式解前面举过的例题再解例 1： 即 ， ，则12fxf12xxe12lnlx（正数 的对数平均数为 1） ，于是 ，得 ，12lnx12,x 1212x12x且 12再解例 2： 即 ；由2210xfxea210xea得 ，两式相减得120fxf 122x121212xeeax下面用反证法证明 ：若 ，则 ，12x12120xee，取对数得 ，则122xee12lnlnxx由对数平均不等式得212l1ln，12122 1212l lnl lxxx x 矛盾再解例 3：由 得 ， 12llxxm1lnx2
4、lmx， ，121212lnlnlxxx 121212lnlxx由对数平均不等式得，121212ln0,ln,l0lnmxx则 ，得 12l12e再解练习 1：由 得 ，由对数平均12lnlxax1210lnxae不等式得 ， ；2a12e，已证12 1212lnxexaxxa再解例 4：同本节例 1再解例 5：同本节例 1，得到 ，则 12x1212xx再解例 7（2）：易得 ，则 ，由对lnlnl0,aba 1lnab数平均不等式得 ， 1ab2再解例 8： ， ，得lnlnxxa1212lnxax，由对数平均不等式得 ， ，12lnxa12124121246xa再解练习 3： 即 ， ，
5、则0f21xeeln1xax22lna 得 ，则12112lln1xxx（正数 ， 的对数平均数为 1） ，12lnl12于是 ，得 ，且 1212xx12x124x得 ，所以 ，1212lnlnaa12lna由此可得 0fx解练习 4 选项 D： 即 ，则12ffx12lnlx， ，1212lnxx1212lnx所以 211121244x顺带地，也有 21221212x xx极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，用对数平均不等式解题的关键有以下几步：（1）根据 建立等量关系；120fxf（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；（3）通过恒等变形转化出
6、对数平均数（的值或仍用 ， 表示） ，代入对数平均不等1x2式求解细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例 6，读者可尝试） ，其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键最后再举一例例 10 设函数 的两个零点是 ， ，求 证：2lnfxax1x2120xf证法 1：首先易知 ，且 在 上递增，在 上递减，不妨设afx10,a1,a， 构造函数120x121212xf xA可证Fffa证法 2：由题意得 ，两式相减得2112ln0xax，121112l 0ax即 ， ，所121212lnxxax1212lna以 21211212 0axaxax121212120f
