1、极值点偏移问题（3）变更结论（操作细节）杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)不知细心的读者是否发现，在前面所举的诸例中，求证结论只有两种类型：和 ，不妨称为常规类型如果求证结论是关于 的其他120xx2120x 12,x不等式呢？别慌，本讲就教你变“不常规”为“常规” 例 5 已知函数 ，若两相异正实数 满足 ，求证：lnf12,x12ff120fxf分析： ，则 所证结1fx1212120ffxxx论不常规怎么办？可以尝试如下两种处理方法解法 1（换元法）：通过换元将不常规的结论变更为常规结论令 ， ，即证 即 ，10ax2bx2ab12fxf12lnlxx，记函
2、数 ，则 ，原问题变更为：lnl1lnggb已知函数 ，若两相异正实数 满足 ，求证：lngx,ag2ab这是第一讲中处理过的常规问题，交给读者解法 2（加强命题）：试图证明更强的结论 12x而这是例 4 第（4）问已证过的结论，由基本不等式得 1212x注 1：在用换元法变更结论时，选取的函数也要变更其实是将原问题（不常规）变更为另一个问题（常规） 注 2：加强命题只是一种充分性的尝试，可能会面临失败即使尝试失败，即不成立，也不影响所证结论 的正确性，只是方法不合适而已1x12x例 6 已知函数 ，若方程 有两个不相等的实根 ，求证：2lnfxfm12,x21xe解：用换元法证令 ， ，则
3、即 ，21ax2b12fxf21lnlxx， 记函数 ，则 ，即证221lnlxxlnlablngxgab，这是常规问题，交给读者abe例 7 已知 ，且 求证：（1） ；（2）0llnab1；（3） 212ab证明：（1） 记函l lnllnl abb数 ，则 求导得 ，知 在 上单增，xfff2lxff0,1在 上单减，又 ，当 时， ；当 时，1,10fexf，故 的图象如下，由图知 ，所以 ，展开即0fxfx1abe10ababxyba11O（2）构造函数 ，则2Fxffx， 2222lnlnlxxxff 当 时， 的符号如何判定？0,12lnlxx尝试变更结论：证明更强的结论 1ab
4、构造函数 ，则Fffx， 2221ln1ln1lxxxff A当 时， ，得 在 上单增，有 ，即010Fx0,0Fx10fxfx因为 ，故 ，又 ， ， 在 上单a1ffbfab1afx1,减，故 ， 1b由基本不等式知 2ab（3）用换元法做令 ， ，则 ， 即为1x2b210xlnlbab， 原问题变更为：21212lnlx1122lnln已知函数 ，两相异正实数 满足 ，求证：lfxx12,x12fxf12x这是常规问题，交给读者例 8 已知函数 ，若 是 的两个零点，证明：2lnfxax122,xfx1203xf分析： ，则 ，即证 ，所fax1212603xf ax126xa证结论
5、不常规，怎么办呢？证明： ，若 ，则 ， 在 上单增，至20faff,多只有一个零点，舍去；故必有 ，可得 在 上单增，在 上单减，fx20,a2,a需有 由 可设 220faae12ff12x法 1： 构造函数1 12221633xxfxffaa，则Fffa， 1321432 622x aFxffaaxx当 时， ， ， ，得0a86xA406F在 上单增，有 ，即 ，代Fx2,20Fa32xfxfaa入 即得证1证法 2：由 知，可尝试证明 ，这是常规问题，交给读者幸运的是，xa124xa这个更强的结论是成立的，这样就有 1246xa剧透：下一讲中我们还会给出这道题的第三种证法练习 3 设函数 ，其图象与 轴交于点 ， ，证明：xfea1,0Ax2,B120fx
