1、对高考 能力题的研究与思考 苏州市教育科学研究院 陈兆华 能力题 体现在考试说明中的 C 级( 8 个)以及 B 级( 36个)中,近几年 , 填空题 主要体现在:三角计算,直线与圆,平面向量基本定理与数量积,基本不等式,数列综合,函数综合 等 解答题主要体现在:应用题,解析几何,数列综合,函数综合等 填空能力题 向量问题 10 1 在 单位圆上取一定点 A,作两条弦 AB, AC,若 BAC 60,则 ABAC 的取值范围是_ 答:( 0, 3) 10 2 已知向量 a, b, c 满足 | a | | b | | c | 1, 0ab ,则 ( ) ( ) a c b c 的最小值为 _
2、答: 1 2 10 3 已知向量 a, b, c 满足 在 ABCD 中, AB 5, AD 4,点 P 在 BCD 内(包括周界),设 AP x AB y AD,则一切点( x, y)形成区域的面积为 _ 答: 12 说明: 0 x 1, 0 y 1, xy 1,围成面积为 12 数列问题 11 1 将数列 2, 6, 10, 14, 按顺序分成第一组( 2, 6),第二组( 10, 14, , 30), ,第k 组有 4k2 项,则 2010 属于第 _组 答: 16 说明: 前 k 组共 2k2个数, 2010 是第 503 个数,由 503 2k2, k N 得 k 16,即在第 16
3、 组 11 2 设正整数数列 a1, a2, a3, a4是等比数列,其公比 q 不是整数,且 q 1,则这样的数列中a4 可取到的最小值为 _ 答: 27 说明:公比为有理数,设公比 mqn,( m, n) 1, n 2, m 3, 则 3413maan, a1 kn3, a4 km3, k 最小为 1, m 最小为 3,则 a4可取到的最小值为 27,此时 a1 8, a1 12, a1 18, a4 27 不等式问题 12 1 已知 不等式 2222a b k a b 对一切正实数 a, b 恒成立,则 k 的最小值为 _ 答: 3 PD CBA12 2 已知 x, y, z 0,且 x
4、2 y2 z2 1,则 2( 1)zxyz的最小值为 _ 答: 6 4 2 小应用题 13 1 侧棱长为 l 的正四棱锥,体积的最大值为 _ 答: 34327l说明: 设 底边长为 2x,则 V 2 2 21 423 x l x 以下改写很重要: V 2 2 2 24 ( 2 )3 l x x x 理科方法:三元均值不等式法文科方法:令 x2 t, 22( 2 )y l t t ,即 2 2 32y l t t,求导, 练习 1:侧棱长为 l 的正三棱锥,体积的最大值为 _ 练习 2:剪出一个面积为 的扇形,把它围成一个圆锥的侧面,则当扇形半径为 _,该圆锥的 体积最大 42 13 2 在一个
5、底与高均为 4dm 的等腰梯形木板 ABCD 中,若切出一个半径为 1dm 的圆恰好与上底与腰都相切,则 等腰梯形的底角 的正切值为_ 答: 6 2 33 函数问题 14 1 如图,在 Rt ABC 中, AB a, B 90, A ( 0 60) ,正方形 DEFG 的一边 EF 在 AC 上,设正方形 DEFG 的面积与 ABC的面积比为 f(),当 变化时, f()的最大值为 _ 答: 49 说明: 设 正方形 DEFG 的边长为 x, 则 cossinx xa sin1 sin cosax 则 2222 s i n c o s() 1 (1 s i n c o s )t a n2xfa
6、 24sin2(2 sin2 ) 令 sin t,则 4() 44 ( )f tt 在 t( 0, 1是单调递增,当 t 1,即 45时, f()的最大值为49 14 2 已知 M max 3 2x, 4x 2y, 1 6y ,则 M 的最小值为 _ 答: 1910 说明:最值的最值,一般方法为图象法与不等式法 A B C D E F G a A B C D 14 3 已知函数 2( cos 3) siny a x x的最小值为 3,则实数 a 的取值范围是 _ 答: 3 ,122说明:令 sinx t,当 t 1 时,函数值为 3则只要 2(1 ) 3at t t 3 恒成立, 即 (1 )
7、 (1 ) 3 0t at t 恒成立 只要当 t 1, 1)时, (1 ) 3 0at t ( *)恒成立 当 t 1 或 0 时,( *)成立; 当 t( 1, 0)时, 1(1 ) ,0)4tt , 3(1 )a tt恒成立 a 12 当 t( 0, 1)时, (1 ) (0,2)tt , 3(1 )a tt恒成立 a 32 总之, a 的取值范围为 3 ,122 解答 能力题 一、 应用问题 一般 方法: ( 1) 读 题 3 遍,弄清题意;( 2)准确列式,审查条件;( 3)分离系数,寻找核心; ( 4) 合理 构思,选择 方法( 最值问题用 基本不等式法或求导法) ; ( 5)有效
8、取舍,答是所问 1、 基本思路: 函数问题 一般先表达式,再求最值 ;三角问题一般 利用 正 、 余弦定理 2、 基本类型: ( 1) 三角 型: 17 1 如图,货轮在海上以 40 nmile/h 的速度由 B 向 C 航行,航行的方位角 NBC 150,A 处有灯塔,在 B 处测得其方位角 NBA 120,在 C 处观察灯塔 A 的 方位角 N CA 30,由 B到 C 需航行 0.5 h ( 1)求 C 到灯塔 A 的距离 ; ( 2)若在线段 AC 的中点 M 处有一快艇,与货轮同时出发,以80 nmile/h 的速度,要与货轮在 BC 航线上相遇,求快艇所用的最短时间 解:( 1)
9、ABC 30, ACB 30 30 60, BC 20, AC 12BC 10( nmile ) ( 2)设快艇所用的最短时间为 t,在 BC 上的 D 处同时到达, 则 DC 20 40t, CM 5, MD 80t, DCM 60, 由余弦定理,得 2 2 2( 8 0 ) ( 2 0 4 0 ) 5 2 5 ( 2 0 4 0 ) c o s 6 0t t t B N C M A . N 即 223 8 7 8 13 0tt , 2 2 227 8 7 8 4 1 3 3 82 3 8t 205748( h ) 答:( 1) C 到灯塔 A 的距离为 10 nmile ( 2)快艇所用的
10、最短时间为 205748 h 17 2 如图, AB 是沿太湖南北方向道路 , P 为太湖中观光岛屿 , Q 为停车场, 5.2PQ km某旅游团游览完岛屿后, 乘游船回停车场 Q已知游船以 13 km/h 的速度沿方位角 q 的方向行驶,5sin 13q 游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖滨大道 M 处,然后乘出租汽车到点 Q( 设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车 ) 假设游客甲乘小船行驶的方位角是 a ,出租汽车的速度为 66 km/h ( 1)设 4sin5a,问小船的速度为多少 km/h
11、时,游客甲才能和游船同时到达点 Q; ( 2)设小船速度为 10 km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角是 a ,当角 a 余弦值的大小是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q 解:( 1) 如图,作 PN AB ,N 为垂足 ,P Q M P M Q q p a, 5sin 13q , 4sin 5a , 在 Rt PNQ 中, sinPN PQ q 55.2 213 (km), cosQN PQ q = 125.2 4.813 (km) 在 Rt PNM 中, 21. 54ta n3PNMN a (km) 设游船从 P 到 Q 所用时间为 1t h,游客甲从 P 经 M 到 Q 所用
12、时间为 2t h,小船的速度为 1v km/h,则 126 2513 13 5PQt (h), 2 1 1 12 . 5 3 . 3 5 14 8 6 6 2 2 0P M M Qt v v v ( h) 由已知得:21120tt,15 1 1 22 20 20 5v , 1 253v 小船的速度为 253 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q QPMBA(第 17 题) ( 2)在 Rt PMN 中, 2sin sinPNPM aa(km), 2 costan sinPNMN aaa(km) 2 c o s4 .8s inQ M Q N M N aa(km) 1 4 c o s1 0
13、6 6 5 s i n 5 5 3 3 s i nP M Q Mt aaa 1 33 5 cos 4165 sin 55aa 2221 5 s i n ( 3 3 5 c o s ) c o s 1 5 3 3 c o s1 6 5 s i n 1 6 5 s i nt a a a aaa, 令 0t 得: 5cos33a当 5cos33a时, 0t ;当 5cos33a时, 0t cosa 在 (0, )2pa上是减函数, 当 方位角是 a 满足 5cos33a时, t 最小,即 游客甲能按计划以最短时间到达 Q ( 2) 函数型: 17 3 光在某处的照度与光源的强度成正比,与光源距离的平
14、方成反比强度分别为 8, 1 的两个光源 A, B 间的距离为 6,在 线段 AB(除去端点)上有一点 P, PA x ( 1)求 x 的值,使光源 A 与光源 B 在点 P 产生相等的照度; ( 2)若 “ 总照度 ” 等于各照度之和 求出点 P 的 “ 总照度 ” I( x)的表达式; 求最小 “ 总照度 ” 与相应的 x 值 解 ( 1)由条件得: P 点受光源 A 的照度为28kx, P 点受光源 B 的照度为2(6 )kx, 其中 k 为比例常数 光源 A 与光源 B 在点 P 产生相等的照度, 28kx= 2(6 )kx 0 x 6, x 2 2(6 )x x 48 12 27 (
15、 2) 点 P 的 “ 总照度 ” I( x) 28kx2(6 )kx( 0 x 6) 由331 6 2() (6 )kkIx xx ,由 ()Ix 0,解得 x 4 当 0 x 4 时, ( ) 0Ix , I( x)在( 0, 4)上单调递减; 当 4 x 6 时, ( ) 0Ix , I( x)在( 4, 6)上单调递增 因此, x 4 时 I( x)取得最(极)小值为 34k 答:( 1)当 x 48 12 27时,光源 A 与光源 B 在点 P 产生相等的照度 ( 2)最小 “ 总照度 ” 为 34k ,相应的 x 4 ( 3)基本不等式型: 如苏锡常镇二模试题 多元的整体思想,单元
16、的函数思想。 二、 解析几何 问 题 : 1、 注意方法 18 1 椭圆 C: 22 1 ( 0 )xy abab 的左,右顶点为A, B,点 P 在直线 x t( t 为常数)上,线段 AP 与椭圆 C交于点 Q(异于点 A),设以 PQ 为直径的圆交直线 BQ 于点 M(异于点 Q),问直线 PM 是否恒过一个定点? 18 2 已知 12,FF是椭圆 22: 1 ( 0)xyC a bab 的左、右焦点,弦 AB 经过点 2F ,若 A 在 x 轴的下方,且 222AF FB ( 1)若 A 为椭圆的下顶点,求椭圆的离心率 e ; ( 2) 已知 211169AF BF a, 证明: 1A
17、B AF ; 若 P 是椭圆 C 上异于 ,AB的任意一点, PAB 的面积的最大值为 3 3 2 ,求椭圆 C 的方程 2、 增强远见 18 3 如图,已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的左,右焦点为 12,FF,点 P 为椭圆上动点,弦PA, PB 分别过点 12,FF ( 1)若 1( 3,0)F ,当 1 1 2PF FF 时,点 O 到 PF2 的距离为 2417 ,求椭圆的方程; ( 2)设 1 1 1PF FA , 2 2 2PF F B ,求证: 12 为定值 解:( 1)设 0( 3, )Py ,又 2(3,0)F ,则直线 2PF 方程为 006 3 0y x
18、y y 点 O 到 PF2 的距离0 20| 3 | 241736 yy ,解得 20 25625y 代入椭圆方程得229 256 125( 9)aa,解得 2 25a ,故 2 16b yxO F 2F 1BAPA P M O B x y Q 所求椭圆方程为 22125 16xy ( 2)设 00( , )Px y , 1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) , ( , 0 ) , ( , 0 )A x y B x y F c F c, 由 1 1 1PF FA 得 0 0 1 1 1( , ) ( , )c x y x c y , 即有 0 1 10 1 1( ),c x x c
19、yy ,解得0111011,x c cxyy , 代入椭圆方程 221xyab得 2 2 2 2 2 2 21 0 0 1()b c x c a y a b , 又 00( , )Px y 在椭圆上,即有 2 2 2 2 2 200a y a b b x,代入上式并化简得 2 2 2 2 21 0 1 02 ( ) 2 0b c x c a c c x 解得 22 01 2 2a c cxb 或 1 1 (舍) 同理由 2 2 2PF F B 可得 22 02 2 2a c cxb 12 2 2 2 2 2 2 2 2002 2 2 222 2 ( ) 2 ( 2 )a c c x a c c
20、 x a c a bb b b b 为定值 3、 训练运算 运算是硬道理 ( 1) 直线与椭圆交点问题:过椭圆上一点 P,作直线 l 交椭圆于另一点,求另一点的坐标 18 4 过椭圆 22116 4xy的上顶点 A 作两条直线分别交椭圆于点 B, C(不同于点 A),且它们的斜率分别为 k1, k2,若 k1k2 4,求证:直线 BC 恒过一个定点 B 2112216 2 8( , )1 4 1 4kk, C 2112264 64( , 2 )64 64kk,恒过定点 M( 0, 3017) 练习 :过椭圆 E: 2 2314x y上一点 P(1, 12),作斜率为 k 直线 l 交椭圆 E
21、于另一点为 Q,求出点 Q 的坐标 求交点坐标,是解几运算中最常见问题 又若切于点 P,则直线 l 的方程为 _ 距离最大问题:椭圆上找一点,使 它到直线的距离最大问题 18 5 已知 椭圆 G: 22 1 ( 0 )xy abab 过点 A( 0, 5),B( 8, 3), C, D 在椭圆 G 上, 直线 CD 过坐标原点 O,且在线段 AB 的右下侧求: ( 1)椭圆 G 的方程; ( 2)四边形 ABCD 的面积的最大值 弦长问题: 212| | 1x x k 18 6 如 图,椭圆 C: 22136 20xy的左顶点,右焦点分别为 A, F,直线 l 的方程为 x 9,点N 为 l
22、上位于 x 轴上方的一点 ( 1)若线段 AN 与椭圆交于点 M,且点 M 是线段 AN 的中点,求证: MA MF; ( 2)过三点 A, F, N 的圆与 y 轴交于 P, Q 两点,求线段 PQ 长 的取值范围 解: ( 1)由题意, a 6, b 25, c 4, A( 6, 0), F( 4, 0) 设 N( 9, t)( t 0),则 3( , )22tM M 在椭圆 C 上, 2944136 20t t 0, t 53则 N( 9, 53) 3 5 3( , )22M 15 5 3( , )22MA, 5 5 3( , )22MF 1 5 5 5 3 5 3( ) 02 2 2
23、2M A M F , MA MF ,则 MA MF ( 2)设 点 A, F, N 的 圆方程为 22 0x y D x E y F , 把 A, F, N 三点的坐标代入上式,得 23 6 6 0 ,1 6 4 0 ,8 1 9 0 .DFDFt D E t F 22,24,75.DFtEt 则圆的方程为: 222 752 2 4 0tx y x yt ( *) 在( *)式中,令 x 0,得 22 75 24 0tyyt 故 212 75| | 9 6P Q y y t t 2752 96 6 11tt 当且仅当 75tt,即 53t 时, PQ 取得最小值 则 PQ 的范围是 611 ,
24、 ) 让学生了解一些结论: ( 1) 过椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 上一点 P( x0, y0)的切线方程为 00221x x y yab,切线斜率为 _,法线斜率为 _ A l F O M N y x ( 2)过椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的中心作直线交椭圆于 A, B 两点,点 P 在椭圆上(异于点 A, B),则 22PA PB bkk a ( 3)作直线交椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 于 A, B两点,点 M为线段 AB中点,则 22AB OM bkk a 动圆问题 18 7 已知圆 2 2 22 2 2 4 0x y a x a y a a (
25、 0 a 4)的圆心为 C,直线 l: y x m ( 1)若 m 4,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; ( 2)若直线 l 是圆 C 的切线,且直线 l 在圆心 C 的下方,当 a 在( 0, 4 变化时,求 m 的取值范围 解: ( 1) 2 2 22 2 2 4 0x y a x a y a a , 22( ) ( ) 4x a y a a 圆心为 C( a, a),半径为 2ra 设 直线 l 被圆 C 所截得弦长为 2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d m 4 时,直线 l: x y 4 0 圆心 C 到直线 l 的距离 d 4 222| a a | | a | 2 2
26、 2 2( 2 ) 2 ( 2 ) 2 1 2 8t a a a a 22( 3) 10a 当 a 3 时,直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值为 210 ( 2)圆心 C 到直线 l 的距离 d |222| a a m | m a | 直线 l 是圆 C 的 切线, d r,即 |222m a| a 2 2 2m a a 直线 l 在圆心 C 的下方, 2 2 2m a a 2( 2 1) 1a (04a, , 1 8 4 2 m, 三、 数列问题: 1、 整体认识 等差数列问题: (设 d ) ( 1) an 是 n 的一次函数 , an dn c 则 an1 dn c1, an2 d2
27、n2 bn c2 ( 2) Sn 是 n 的二次函数, Sn An2 Bn C (C 时从第二项开始成等差数列 ),由此 形成各种方程 19 1 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 3122 aaa ,数列 nS 是公差为 d 的等差 数列 ( 1)求数列 na 的通项公式(用 dn, 表示); ( 2)设 c 为实数,对满足 m + n 3k 且 m n 的任意正整数 knm, ,不等式 knm cSSS 都成立求证: c 的最大值为 29 等比数列问题:(设 q ) ( 1) an 是指 数型函数, an cqn ( 2) Sn 仍是指数型函数, Sn c1 (qn
28、 1), Sn pan q 19 2 已知各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn,数列 an2的前 n 项和为 Tn,满足 a1 1,241()33nnT p S ( 1) 求 p 的值及数列 an的通项公式; ( 2) 问是否存在正整数 n, m, k( n m k),使得 an, am, ak成等差数列?若存在,指出 n, m, k 的关系,若不存在,请说明理由 若 an, 2xan1, 2yan2成等差数列,求 正整数 x, y 的值 解:( 1) n 1 时, 21141()33T p S ,即 2411 ( 1)33p p 0 或 2 当 p 0 时, 24133nnTS将
29、n 2 代入,得 22411 (1 )33aa a2 0 或 12与条件 an 0 矛盾 p 0 当 p 2 时, 241(2 )33nnTS 将 n 2 代入,得 22411 (1 )33aa a2 12,2112aa 由 ,得 21141(2 )33nnTS ,得 2 2 2111 ( 2 ) ( 2 ) 3n n na S S 则 21 1 13 ( 4 ) ( )n n n n na S S S S ,即 21 1 13 ( 4 )n n n na S S a an 0, an1 0则 1134n n na S S 则 2 2 134n n na S S ,得 2 1 1 233n n
30、 n na a a a 2112nnaa( n N ) 2112aa, 数列 an是等比数列则112n na ,符合题意 ( 2) 假设 存在正整数 n, m, k( n m k),使得 an, am, ak 成等差数列 则1 1 12 1 12 2 2m n k ,即 12 2 1k m k n 当且仅当 k n 0,且 k m 1 1 时成立 即 k m n 时取等号与 n m k 矛盾 假设不成立则不存在正整数 n, m, k( n m k),使得 an, am, ak 成等差数列 若 an, 2xan1, 2yan2成等差数列,即 an, an1x, an2y 成等差数列 由 知, 1
31、 x 0, 2 y 0, x 1, y 2 2、 得分方法 ( 1) 数列首先要 “列” , 做好前面 简单 问题 19 3 已知数列 an满足 a1 2,前 n 项和为 Sn,1 1, ( )2 , ( ) .nn np a n na a n n 为 奇 数 ,为 偶 数( 1)若数列 bn满足 bn a2n a2n1,试求数列 bn的前 n 项和 Tn; ( 2)若数列 cn满足 cn a2n,试判断数列 cn是否为等比数列,并说明理由; ( 3)当 p 12,问是否存在 n N ,使得 2 1 2( 10) 1nnSc ,若存在,求出所有的 n 值;若不存在,请说明理由 ( 2)先猜后证
32、 19 4 设数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 a1 = 1, a2 = 6, a3 = 11,且 1(5 8) (5 2 )nnn S n S = An B, n = 1, 2, 3, ,其中 A、 B 为常数 ( 1)求 A 与 B 的值; ( 2)证明数列 an 为等差数列; ( 3)证明不等式 51mn m na a a对任何正整数 m、 n 都成立 3、 Sn 与 an 关系 多次复制,利用方程组求解 如 1( 1)nn nSa nn 令 n 1,得 a1 0, 当 n 2 时,11 2( 1)nn nSa nn 相减,得1 32 ( 1) ( 1)nn naa n n n
33、1 ( 1 )2 ( )( 1 ) ( 1 )nnx n y x n yaan n n n 待定方式 4、 递推 与通项 19 5 已知数列 na , 对给定的 *kN,若对任意 , ( ), jiai j i j k a仍为 na 中的项,则称 na 为 “ k 项可除数列 ” ( 1)若 na 是首项为 1,公差 0d 的等差数列且 na 为 “ k 项可除数列 ” ,求 k 的最大值 ( 2) 已知数列 na 是递增数列, 1 1a , 求证: na 为 “ k 项可除数列 ” 的充要条件为对一切 n k,都有 12 ()nnna a a a 解:( 1) 1 1a , 当 2k 时,
34、221 a aa, 212a aana 为 “ 2 项可除数列 ” 当 3k 时, 0d ,则 333311 2 3 aaaaaa a a 322a aa 0d ,不符合题意 k 的最大值为 2 ( 2)充分性:若对一切 n k,都有 12 ()nnna a a a 则 121111, n nnnn n nnnaa a aa 即 1( 1) ln lnnnn a n a (或 1111nnaa , n 2) 当 1n 时, 11aa, 1 1a , a1 1 当 2n 时,有 1lnln 1 nna nan, 当 3n 时,有2ln 1ln 1na na , 12 ( 3)nna a n a1
35、, a2 适合上式, 1*2 ()nna a n N 对任 意 , ( ), jiai j i j k a= ( 1) 12 2 1 j i j i jia a a, na 为 “ k 项可除数列 ” 必要性:若 na 为 “ k 项可除数列 ” ,当12, , , ,n n nna a ai j n k a a a时 均为 na 中的项 na 是递增数列, 112 n n nnna a aaaa a a 1 2 11 2 1, , , , n n n nnn nna a a aa a a aa a a a 即 1 2 1 1, , , n n n n n na a a a a a a a a
36、 21()nnna a a 0na 12 () nnna a a a 四、 函数问题: 1、 分类讨论 20 1 已知函数 ( ) | |, ( )f x x x a a R ( 1)若 0a ,解关于 x 的不等式 ()f x x ; ( 2)若对 (0,1x ,都有 ( ) ( ,f x m m mR 是常数),求 a 的取值范围 2、 画 对应图 20 2 已知 aR ,函数 2( ) | |f x x x a ( 1)当 a 2 时,求使 ()f x x 成立的 x 的集合; ( 2)求函数 ()y f x 在区间 1, 2上的最小值 3、变量分离 20 3( 2011 浙江)设函数
37、2( ) ( ) ln ,f x x a x a R ( 1)若 x e 时 f(x)取得极值,求实数 a; ( 2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ( 0, 3e ,恒有 f(x) 4 2e 成立,注: e 为自然对数的底数 解:( 1) 2 1( ) 2 ( ) l n ( ) ( ) ( 2 l n 1 )af x x a x x a x a xxx (e) 0f , ea 0,或 2lne 1ea 0则 a e ,或 a 3e 经检验, a e ,或 a 3e 均符合题意 ( 2) 对任意的 x ( 0, 3e , f(x) 4 2e ,即 2( ) lnx a x 4 2e
38、 ( *) 若 x ( 0, 1,( *)式成立; 若 x ( 1, 3e ,( *)式即 22 4e()lnxa x 也即 2 e 2 eln lnx a xxx 恒成立 只要m a x m i n2 e 2 e( ) ( )ln lnx a xxx 函数 g(x) 2elnx x在 x ( 1, 3e 上是增函数, 当 x 3e 时,m a x 2e( ) ( 3 e) 3 e ln 3 eg x g 设 2e()lnh x x x,则32e( ) 1 (ln )hx xx (e) 0h , x ( 1, e )时, ()hx 0; x ( e , 3e )时, ()hx 0 当 x e
39、时, min( ) (e) 3eh x h 综上, 2e3e 3eln 3e a 4、 抽象研究 20 4 定义在 x 0 的函数 f(x) 同时满足以下两个条件: 存在 a 1,使得 f(a) 0; 对于任意实数 b,有 f(xb) = bf(x) ( 1)若 f(2) 1,解方程 f(x2 x) 2 ( 2)求证:对任意 x 2,不等式 f(x 1) f(x 1) f(x) 2 恒成立 解:( 1) x 0,令 x at,则 logatx , ( ) ( ) ( ) lo g ( )t af x f a t f a x f a f(x)是单调函数 f(2) 1, 2 2 f(2) 2 1(
40、2 ) ( )4ff 方程 f(x2 x) 2 即为 f(x2 x) 1()4f x2 x 14 122x 或 122x ( 2) x 2,原不等式化为 2 2 2l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ( ) l o g ( )a a ax x f a x f a , f(a) 0,即证 2lo g ( 1 ) lo g ( 1 ) lo ga a ax x x ( *) 22 2 2l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g22a a aa a ax x xx x x , 原不等式成立 20 5
41、已知函数 f(x),如果存在给定的实数对 (a, b),使得 f(a x)f(a x) b 恒成立,则称f(x)为 “ S函数 ” ( 1) 判断函数 f1(x) x, f2(x) 3x 是否是 “ S函数 ” ; ( 2) 若 f3(x) tanx 是一 个 “ S函数 ” ,求出所有满足条件的有序实数对 (a, b); ( 3) 若定义域为 R 的函数 )(xf 是 “ S函数 ” ,且存在满足条件的有序实数对 (0,1)和 (1,4),当 x 0,1时, f(x)的值域为 1, 2,求当 x 2012,2012 时函数 f(x)的值域 解:( 1) 若 xxf )(1 是“ S函数”,则存在常数 ),( ba ,使得 (ax)(ax)=b 即 x2=a2b 时,对 xR 恒成立 而 x2 = a2b 最多有两个解,矛盾, 因此 xxf )(1 不是“ S 函数” 若 xxf 3)(2 是“ S 函数”,则存在常数 a,b 使得 axaxa 2333 , 即存在常数对( a, 32a)满足 因此 xxf 3)(2 是“ S 函数” ( 2) xxf tan)(3 是一个“ S 函数”,设有序实数