1、第一章 特殊平行四边形11 菱形的性质与判定第 1 课时 菱形的性质01 基础题知识点 1 菱形的定义1如图，在ABCD 中，12，BCDC.ABCD 是菱形( 有一组邻边相等的平行四边形是菱形)(请在括号内填上理由)2如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在边 BC、AB、 CA 上，且 DECA，DFBA.小聪认为如果 AD 平分BAC，那么四边形 AEDF 是菱形，小聪的说法正确(填“正确”或“不正确”)知识点 2 菱形的性质3(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D)A两组对边分别平行 B两组对角分别相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直4(长沙中考)如图，已知菱形 ABC
2、D 的边长为 2，DAB60，则对角线 BD 的长是(C)A1 B. C2 D23 35(黔西南中考)如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AC8，BD6，则菱形的边长 AB 等于(D)A10 B. C6 D576如图，在菱形 ABCD 中，EFAB，对角线 AC 交 EF 于点 G，那么与BAC 相等的角的个数有(C)A3 个 B4 个C5 个 D6 个7(毕节中考)如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等于(A)A3.5 B4 C7 D148(广州中考)如图，四边形 ABCD 是菱
3、形，对角线 AC 与 BD 相交于点O，AB5，AO4，求 BD 的长解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD 且 BODO.在 Rt AOB 中，AB 5，AO 4，由勾股定理，得 BO3.BD6.9(济南中考)如图，在菱形 ABCD 中，CE CF.求证：AEAF.证明：四边形 ABCD 是菱形，ADAB，DB，DCBC.CECF ，DCCFBC CE.DFBE.ADF ABE.AEAF.02 中档题10(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，BAD60，则花坛对角线 AC 的长等于(A)A6 米 B6 米 C3 米 D3 米3 311(昆明中考)如图，在菱形 A
4、BCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论：ACBD ；OAOB ； ADBCDB；ABC 是等边三角形其中一定成立的是(D)A B C D12(烟台中考)如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AMCN，MN 与AC 交于点 O，连接 BO，若DAC 28，则OBC 的度数为(C)A28 B52 C62 D7213(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为 8，相邻两内角之比为 31，则菱形的高是 214如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至点 E，使 BEAB，连接 CE.(1)求证：BD EC；(2)若E50，求BAO 的大小解：(1)证明
5、：四边形 ABCD 是菱形，ABCD ，ABCD.又BEAB，BECD，BECD.四边形 BECD 是平行四边形BDEC.(2)四边形 BECD 是平行四边形，BDEC.ABOE50.又四边形 ABCD 是菱形，ACBD.BAO90ABO40.15(贵阳中考)已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 是 BC 上任意一点，连接 AF 交对角线BD 于点 E，连接 EC.(1)求证：AE EC；(2)当ABC60，CEF60时，点 F 在线段 BC 上的什么位置？说明理由解：(1)证明：连接 AC.BD 是菱形 ABCD 的对角线，BD 垂直平分 AC.AEEC.(2)点 F 是线段 BC 的中点理
6、由：四边形 ABCD 是菱形，ABCB.又ABC60，ABC 是等边三角形BAC60.AEEC，EACACE.CEF60，EAC30.AF 是ABC 的角平分线又ABC 是等边三角形，BFCF.点 F 是线段 BC 的中点03 综合题16(河南中考)如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0，0) ，B(2，2)，若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为(B)A(1，1)B(1，1)C( ，0)2D(0， )2第 2 课时 菱形的判定01 基础题知识点 1 有一组邻边相等的四边形是菱形1(钦州中考)如图，要使ABCD 成为菱形，下列添加的条件正
7、确的是 (B)AACAD BBABCCABC90 DACBD2(海南中考)如图，将ABC 沿 BC 方向平移得到DCE，连接 AD，下列条件中能够判定四边形 ACED 为菱形的是 (B)AABBC BACBCCB 60 DACB603(长春中考)如图，CE 是 ABC 外角ACD 的平分线， AFCD 交 CE 于点 F，FGAC交 CD 于点 G.求证：四边形 ACGF 是菱形证明：AFCD ，FGAC，四边形 ACGF 是平行四边形，FCGAFC.CE 平分ACD，ACF FCG.ACF AFC.AC AF.四边形 ACGF 是菱形知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形4(潍坊中考)
8、如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形， 且 OBOD ，请你添加一个适当的条件 OAOC 或 ADBC 或 ADBC 或 ABBC ，使 ABCD 成为菱形( 只需添加一个即可)5已知ABCD 两对角线 AC、BD 相交于点 O，AC12 cm，BD16 cm，AD 10 cm，则ABCD 为菱形6如图，在ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线分别与 AB、CD 的延长线交于点 E、F，当 AC 与 EF 满足什么条件时，四边形 AECF 是菱形？请给出证明解：当 ACEF 时，四边形 AECF 是菱形证明：在ABCD 中，AOCO，BODO，ABCD ，AEO C
9、FO.在EBO 与FDO 中， BEO DFO， EOB FOD，BO DO， )EBOFDO(AAS)EOFO.又AOCO，四边形 AECF 是平行四边形当 ACEF 时 ，四边形 AECF 是菱形知识点 3 四边相等的四边形是菱形7用直尺和圆规作一个以线段 AB 为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形 ABCD是菱形的依据是(B)A一组邻边相等的四边形是菱形B四边相等的四边形是菱形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形02 中档题8如图是一张平行四边形纸片 ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接 AC，作
10、 AC 的中垂线交 AD、BC 于 E、F，则四边形 AFCE 是菱形乙：分别作A 与B 的平分线 AE、BF，分别交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，则四边形ABEF 是菱形对于甲、乙两人的作法，可判断(C)A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确C甲、乙均正确 D甲、乙均错误9(十堰中考)如图，在ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E，F 分别在线段 AD 及其延长线上，且 DEDF. 给出下列条件：BEEC；BFCE；AB AC.从中选择一个条件使四边形 BECF 是菱形，你认为这个条件是( 只填写序号)10(荆门中考)已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E，F 为对角线
11、AC 上两点，且 AECF ，DFBE，AC 平分BAD.求证：四边形 ABCD 是菱形证明：ABCD，BAEDCF.DFBE，BEC DFA.AEBCFD.在AEB 和CFD 中， BAE DCF，AE CF， AEB CFD， )AEBCFD.ABCD.ABCD ，四边形 ABCD 是平行四边形AC 平分BAD，BAEDAF.BAEDCF，DAFDCF.DADC.四边形 ABCD 是菱形11(黔南中考改编)如图，已知ABC，直线 PQ 垂直平分 AC，与边 AB 交于 E，连接CE，过点 C 作 CF 平行于 BA 交 PQ 于点 F，连接 AF.求证：(1)AEDCFD；(2)四边形 A
12、ECF 是菱形证明：(1)PQ 为线段 AC 的垂直平分线，ADCD.CF AB，EAD FCD，AEDCFD.在AED 和 CFD 中， EAD FCD， AED CFD，AD CD， )AED CFD(AAS)(2)AEDCFD，DEDF ，AD CD.四边形 AECF 是平行四边形又EF 为线段 AC 的垂直平分线 ，EF AC.四边形 AECF 是菱形03 综合题12(泰安中考改编)如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，E 是 CD 上一点，BE交 AC 于点 F， 连接 DF.(1)求证：BACDAC，AFDCFE；(2)若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形证明：
13、(1)ABAD，CBCD，ACAC，ABCADC.BACDAC.ABAD，BAFDAF，AFAF，ABF ADF.AFB AFD.又CFEAFB ，AFDCFE.(2)AB CD，BAC ACD.又BACDAC ，DAC ACD.ADCD.又ABAD，CBCD，ABCBCDAD.四边形 ABCD 是菱形第 3 课时 菱形的性质与判定的运用01 基础题知识点 1 与菱形有关的计算1如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 的长分别是 8 和 6，则菱形的周长等于(C)A12 B16 C20 D242如图，在ABCD 中，AC 平分DAB，AB2，则ABCD 的周长为(C)A4 B6 C8
14、D123如图，菱形 ABCD 的周长为 16，ABC120，则 AC 的长为(A)A4 B4 C2 D23 34(枣庄中考)如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DH AB 于 H，则 DH 等于(A)A. B.245 125C5 D45如图，在ABC 中，ABBC，D 、E 、F 分别是 BC、 AC、AB 的中点(1)求证：四边形 BDEF 是菱形；(2)若 AB10 cm，求菱形 BDEF 的周长解：(1)证明：E、F 分别是 AC、AB 的中点，EF BC，EFCB.12又D、E 分别是 BC、AC 的中点，DE AB，DEAB.12四边形 BDEF 是平行四边形又ABBC，
15、EFDE.四边形 BDEF 是菱形(2)F 是 AB 的中点，BF AB.12又AB10 cm，BF5 cm.四边形 BDEF 是菱形，BDDEEFBF.四边形 BDEF 的周长为 4520(cm)知识点 2 菱形的判定6如图，添加下列条件仍然不能使ABCD 成为菱形的是(C)AABBC BACBDCABC90 D127如图，顺次连接四边形 ABCD 各边中点得四边形 EFGH，要使四边形 EFGH 为菱形，应添加的条件是(D)AABDC BABDCCACBD DACBD8如图，在ABC 中，ABBCAC，小华依下列方法作图： 作C 的平分线交 AB于点 D；作 CD 的中垂线，分别交 AC，
16、BC 于点 E，F；连接 DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(A)A四边形 CEDF 为菱形BDEDACDFCBDCDBD9如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，连接 EF，OE，OF，求证：四边形 AEOF 是菱形证明：四边形 ABCD 是菱形，ABAD，ACBD.AOBAOD90.点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，OE ABAE，OF ADAF，AE AF.12 12AEOE OFAF.四边形 AEOF 是菱形02 中档题10(兰州中考)如图，菱形 ABCD 中，AB4，B60，AEBC，AFCD，
17、垂足分别为 E、F，连接 EF，则AEF 的面积是(B)A4 B3 C2 D.3 3 3 311如图，在菱形 ABCD 中，过对角线 BD 上任一点 P，作 EFBC，GHAB，下列结论正确的是(填序号)图中共有 3 个菱形；BEPBGP；四边形 AEPH 的面积等于ABD 的面积的一半；四边形 AEPH 的周长等于四边形 GPFC 的周长12如图，在ABCD 中，EF 垂直平分 AC 交 BC 于 E，交 AD 于 F.(1)求证：四边形 AECF 为菱形；(2)若 ACCD，AB6，BC10，求四边形 AECF 的面积解：(1)证明：EF 垂直平分 AC，FAFC，EAEC.AFECFE，
18、AEFCEF.又四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC.AFECEFAEF.AFAE.AEECCFFA.四边形 AECF 是菱形(2)ACCD，ACEF，EFCD.又ABCD，ABEF.四边形 ABEF 为平行四边形EFAB6.ACCD，ABAC.在 RtABC 中，由勾股定理，得 AC8.四边形 AECF 的面积为 ACEF 6824.12 1203 综合题13(临沂中考)对一张长方形纸片 ABCD 进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，展开；第二步：再一次折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BE，同时，得到线
19、段 BA，EA ，展开，如图 1；第三步：再沿 EA所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，得到折痕 EF，同时得到线段 BF，展开，如图 2.求证：(1)ABE30；(2)四边形 BFBE 为菱形证明：(1)第二步折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕BE，AEBAEB.第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，得到折痕 EF，同时得到线段 BF，AEBFEB.AEBAEBFEB180，AEBAEBFEB60.ABE90AEB30.(2)AEBFEB60，EB BF，AEBFEBBFEEFB60.BEF 和EFB 是等边三角形BEBF EFEBF
20、B.四边形 BFBE 为菱形第 2 课时 矩形的判定01 基础题知识点 1 对角线相等的平行四边形是矩形1下列命题中正确的是(C)A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是矩形C对角线相等的平行四边形是矩形D对角线互相垂直的平行四边形是矩形2如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，OA 2，若要使ABCD 为矩形，则 OB 的长应该为(C)A4 B3 C2 D13(娄底中考)如图，要使ABCD 是矩形，则应添加的条件是 答案不唯一，如：ABC90或 ACBD(添加一个条件即可)4如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且OBCOCB.求证：四边形ABC
21、D 是矩形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AOCO，BODO.又OBCOCB ，OBOC.AOBOCODO.AOCOBODO，即 ACBD.四边形 ABCD 是矩形知识点 2 有三个角是直角的四边形是矩形5在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形下面是某学习小组 4 位同学拟定的方案，其中正确的是(C)A测量对角线是否相互平分B测量两组对边是否分别相等C测量其中三个角是否都为直角D测量对角线是否相等6(来宾中考)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是 矩形7如图，已知 MNPQ ，EF 与 MN、PQ 分别交于 A、C 两点，过 A、C 两点作两组内错角的平分线，交于 B、D，
22、则四边形 ABCD 是矩形8如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BAD90，AB5，BC12，AC13.求证：四边形 ABCD 是矩形证明：ABCD，BAD 90，ADC180BAD90.又在ABC 中，AB 5，BC12，AC13，AB 2BC 2AC 2，即ABC 是直角三角形，且B90.四边形 ABCD 是矩形9已知：如图，在ABCD 中，AF，BH，CH ，DF 分别是BAD，ABC，BCD，ADC 的平分线求证：四边形 EFGH 是矩形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DABADC180.AF，DF 平分DAB，ADC，FAD BAE DAB，12ADF CDF ADC.12
23、FAD ADF90.AFD 90.同理：BHCHEF 90.四边形 EFGH 是矩形02 中档题10如图，在ABC 中，ABAC，将ABC 绕点 C 旋转 180得到FEC，连接AE、BF.当ACB 为 60 度时，四边形 ABFE 为矩形11(河南平顶山宝丰县期中) 如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，四边形 ABDE是平行四边形，AC、DE 相交于点 O.(1)求证：四边形 ADCE 是矩形；(2)若AOE60，AE4，求矩形 ADCE 对角线的长解：(1)证明：四边形 ABDE 是平行四边形，ABDE，BDAE，BDAE.又ABAC ，DEAC.又D 为 BC 中点，CDB
24、D.CDAE，CDAE.四边形 ADCE 是平行四边形又DEAC，四边形 ADCE 是矩形(2)四边形 ADCE 是矩形，AOEO.AOE 60，AOE 为等边三角形AOAE 4.AC8，即矩形 ADCE 对角线的长为 8.12(巴中中考)如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点 ，作射线 AH，在线段 AH及其延长线上分别取点 E，F，连接 BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得BEHCFH ，你添加的条件是 EHFH ，并证明；(2)在问题(1)中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说明理由解：(1)证明：点 H 是 BC 的中点，BHCH.在
25、BEH 和CFH 中，BH CH， BHE CHF，EH FH， )BEHCFH(SAS)(2)连接 BF，CE.当 BHEH 时，四边形 BFCE 是矩形理由：BHCH，EHFH，四边形 BFCE 是平行四边形又BHEH，BCEF.平行四边形 BFCE 为矩形03 综合题13(张家界中考)如图，ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过点 O 作直线 MNBC.设 MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F.(1)求证：OE OF；(2)若 CE12，CF 5，求 OC 的长；(3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由解：(
26、1)证明：CF 平分ACD，且 MNBD，ACF FCDCFO.OFOC.同理：OCOE.OEOF.(2)由(1)知：OFOC ，OCOE，OCF OFC，OCE OEC.OCF OCE OFC OEC.而OCF OCE OFC OEC180，ECFOCFOCE90.EF 13.CE2 CF2 122 52OC EF .12 132(3)连接 AE、AF.当点 O 移动到 AC 中点时，四边形 AECF 为矩形理由：由(1)知 OEOF，当点 O 移动到 AC 中点时，OAOC，四边形 AECF 为平行四边形又ECF90，四边形 AECF 为矩形第 3 课时 矩形的性质与判定的运用01 基础题
27、知识点 矩形的性质与判定的运用1如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O，若AOD120，AB6，则 AC(C)A8 B10 C12 D182如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)AABCD BADBCCABBC DACBD3下列说法正确的是(A)A矩形的对角线互相平分B矩形的四条边相等C有一个角是直角的四边形是矩形D对角线相等的四边形是矩形4如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，则下列结论不正确的是(A)AACBD BACBDCBODO DAOCO5如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与数轴重合( 点 C 在正半轴上)
28、，AB5，BC12，点A 表示的数是1，则对角线 AC、BD 的交点表示的数是(A)A5.5 B5 C6 D6.56如图，矩形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，AOD60，OEAC.若 AD ，则3OE(A)A1 B2 C3 D47如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OAOB，OAD 65.则ODC258木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为 15 cm，8 cm，对角线为 17 cm，则这个桌面合格(填“合格” 或“不合格”) 9如图，矩形 ABCD 中，DE AC 于点 E，且ADEEDC21，求BDE 的度数解：在矩形 ABCD 中，ADC90.A
29、DE EDC 21，ADE 60 ，EDC30 .又DEAC，DCE903060.根据矩形的性质可得 OCOD，DOC1802DCE18026060.BDE90DOC30.10(聊城中考)如图，在ABC 中，ABBC，BD 平分ABC，四边形 ABED 是平行四边形，DE 交 BC 于点 F，连接 CE.求证：四边形 BECD 是矩形证明：ABBC，BD 平分ABC，BDAC ，ADDC.四边形 ABED 是平行四边形 ，BEAC，BEAD.又ADDC，DCBE.四边形 BECD 是平行四边形又BDAC ，四边形 BECD 是矩形02 中档题11下列说法：矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线
30、是它的对称轴；两条对角线相等的四边形是矩形；有两个角相等的平行四边形是矩形；两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形其中，正确的有(A)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个12将一个含 30的角的直角三角尺(AMF90) 按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的 2 倍，点 M 是 BC 边的中点，则AFE 的度数为 1513如图，在矩形 ABCD 中，BC20 cm，点 P 和点 Q 分别从点 B 和点 D 出发，按逆时针方向沿矩形 ABCD 的边运动，点 P 和点 Q 的速度分别为 3 cm/s 和 2 cm/s，则最快 4s 后，四边形 A
31、BPQ 成为矩形14(郑州校级模拟)如图，已知矩形 ABCD，P 为 BC 上的一点，连接 AP，过 D 点作DHAP 交 AP 于 H，AB2 ，BC 4，当CDH 为等腰三角形时 ，则 BP42 或2 22 或 2 215如图，在ABCD 中，点 P 是 AB 边上一点(不与 A， B 重合)，CPCD，过点 P 作PQCP，交 AD 边于点 Q，连接 CQ.(1)若BPC AQP，求证：四边形 ABCD 是矩形；(2)在(1)的条件下，当 AP2 ，AD6 时，求 AQ 的长解：(1)证明：BPQBPCCPQA AQP，又BPCAQP，CPQ A.PQCP，CPQ A90.又四边形 AB
32、CD 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形(2)四边形 ABCD 是矩形，DCPQ90.在 Rt CDQ 和 RtCPQ 中， CQ CQ，CD CP， )RtCDQRtCPQ(HL)DQPQ.设 AQx，则 DQPQ6x.在 Rt APQ 中 ，AQ 2AP 2PQ 2.x 22 2(6x) 2.解得 x .83AQ 的长是 .8303 综合题16如图，已知在ABC 中，AC3，BC4，AB5， 点 P 在 AB 上( 不与 A、B 重合) ，过 P 作 PEAC，PFBC ， 垂足分别是 E、F，连接 EF，M 为 EF 的中点(1)请判断四边形 PECF 的形状 ，并说明理由；(2)随
33、着 P 点在边 AB 上位置的改变，CM 的长度是否也会改变？若不变，求 CM 的长度；若有变化，求 CM 的变化范围解：(1)四边形 PECF 是矩形理由：在 ABC 中，AC3，BC4，AB5，AC 2BC 23 24 25 2AB 2.ACB90.PEAC ，PFBC ，PECCFP90.四边形 PECF 是矩形(2)CM 的长度会改变理由：连接 PM，由(1) 证得四边形 PECF 是矩形，EFPC，CM CP.12过点 C 作 CD AB，当 CDPC 时 PC 最小，PC 2.4.ACBCAB 125点 P 在斜边 AB 上( 不与 A、B 重合)，PC BC4.PC 的范围是 2.4PC 4，即 EF 的范围是 2.4EF4.CM 的范围是 1.2CM 2.
