1、广义向量均衡问题的解与解集的凸性第 27 卷第 3 期2003 年 9 月南昌大学(理科版)JournalofNanehangUniversity(NaturalScience)Vo1.27No.3Sept.2003文章绾号:10060464(2003)03 0216 一 O4广义向量均衡问题的解与解集的凸性万安华,傅俊义,毛卫华.(1.西安交通大学理学院.陕西西安 710049;2.南昌大学数学系 .江西南昌 330047;3.华南农业大学理学院,广东广州 510642)摘要:引进集值映射的锥真拟凹概念.讨论一类具有集值映射的广义向量衡问题解的存在性与解集的凸性.关键词:向量均衡问题;集值映
2、射;拓扑线性空间;解集;凸性中图分类号:O178 文献标识码:A1 引言与预备知识设 K 是非空集合,:KKR(实数集),VXK,厂(X,X)=0. 所谓均衡问题是:求 XK 满足,(X,Y)/o,VlK.Blum 和 Oettle(1提供许多例子说明均衡问题是变分不等式有意义的推广,均衡问题包含 Nash 均衡问题,不动量问题,优化问题,变分不等式与互补问题等作为特殊情形.近年来,众多作者讨论序向量空间中涉及向量映射的均衡问题(见文献28).本文在2 9的启发下,在拓扑向量空间中讨论一类涉及集值映射的广义向量均衡问题,并引进锥真拟凹性概念,讨论解的存在性与解的凸性.我们的结果推广7,10 的
3、结果到集值向量映射以及非紧集的情形.本文始终假设 X,y 均为 Hausdorff 拓扑线性空间,K 为 X 中的非空闭凸集;L(x,Y) 表示从 x到 Y 的全体连续线性算子构成的空间;VXK,C()为 Y 中的闭凸锥 ,且 0 C(X)Y, 其内点非空,即 intC(X)lz .设 F:KK 一 2,所谓广义向量均衡问题(GeneralizedVerctorEquilibriumProblem,简记为GVEP)是:求K 满足(GVEP1)F(X,)cxY(一 intC(X),VK.当 F 为单值映射时 ,上述(GVEP1)变为:求 XK 满足收稿日期:2003 一 O515基金项目:江西省
4、自然科学基金资助项目(0211035)作者简介:万安华(1977 一),女,博士生.(GVEP2)F(X,)告一 intC(X),VK.特别情形:I)设 T:KL(X,y),g:KK,在(GVEP2)中取 F(X,)=T(X),g(X),其中T(X),表示算子 T(X)在点的值.这样(GVEP2)就变为 Siddiqi 等人(7) 所研究的问题.)当 Y=R,VXK,C(X)=0,+oo),:KKK,T:KX(X 的拓扑对偶空间), 令 F(z,)=T(z),0(z,Y),则(GVEP2) 变为 Behera 和 Nayak(10所研究的问题;若(,X)=X,则得到 Lin(11)所研究的问题
5、.定义 1 设 x 和 y 为拓扑空间,集值映射 T:X2.i)称 T 在 X 点为下半连续的,如果对于任何开集 V,T(X)nV,均存在开集 U,使得 XU,且 VzU,T(z)nV;称 T 在 x 上为下半连续,如果 T 在 x 中的每一点均下半连续.ii)称 T 是闭的,如果 T 的图像 G,(T)=(X,):XX,T(X)是 XY 中的闭子集.引理 1(3,P.58)设 X,y 和 T 如定义 1.i)T 是闭的甘对于任何网XcX,X 一 z,以及网,T(x),且一,有 T(X).Ij)T 在 X 点是下半连续的甘 VT(X), 对任意网X,X 一 z 均存在网 ,T(X)使得口-o定
6、义 2(5.P.44)设 K 是线性空间 X 中的非空凸子集,集值映射 F:K 一 2 称为是 KKM 映射,如果对于每个有限子集X1,X2,XK, 有CO(X1,X2,X)UF(X),其中 CO(A)表示第 3 期万安华等:广义向量均衡问题的解与解集的凸性 ?217?集 A 的凸包.FanKKM 定理(12,P.525)设 K 是Hausdorff 拓扑线性空间 x 中的非空凸子集,F:Kx 是 KKM 映射.如果 VzK,F(z) 在 x 中闭,且存在 K 的非空子集 D,使得 D 被包含 x 的某个紧凸子集之中,而且 nF(z)是紧的,则 nF(z)eDK.受 Ferm(9,P.21)的
7、启发,我们引进下面的集值映射的锥真拟凸概念.定义 3 设 y 为线性空间,C 为 y 中的凸锥,集值映射 F:K 一 2y.称 F 是锥真拟凹的 ,如果Vz1,z2K,t0,1,z=tx1+(1 一 t)2,硼F(z),均存在 z1F(z1)或 z2F(z2)使得硼1+C 或 W2+C.2 解的存在定理定理 1 设 F:KK 一 2y 为给定的集值映射,并设下列条件成立:i)VzK,F(z,z)y(一 intC(z);ii)VzK,F(z,) 关于是 C()凸的,即:V1,2K,t0,1,tF(z,1)+(1 一 t)F(z,2)F(z,桫 1+(1 一 t)2)+C(z);Iil)VK,F(
8、z,)关于 z 是下半连续的;iv)集值映射 w:K 一 2y,VzK,w(z)=y(一 intC(z),是闭的;V)存在 K 的非空紧凸子集 D,VzKD,jD 满足 F(z,)y(一 intC(z).则存在三K 满足 F(三,)y(一 intC(三),VK.证明 VK,令 S()=zK:F(z,)y(一 intC(z).I)VK,S()在 K 中闭.事实上,设网z.cS(y),且 z.一 z0,K,要证:z0S().因 F(z.,)y(一 intC(z.),F(z,)关于 z 是下半连续的,由引理 1(Ii),Vz0F(z0,),均存在网 ,F(z.,),使得一 z0.因为网 (z.,)c
9、G,(w),(z.,)一(z0,z0),而 G,(w)是闭的 ,故得(z0,z0)G,(w),即0y(一 intC(z0).由于 0 是任意的,于是有F(z0,)y(一 intC(z0).这表明 z0S().)S 是 KKM 映射.若不然,则 j1,2,K,t1,t0,t=1 以及 = US(Yi).由此可知,F(,Yi)y(一 intC(),i=1,2,.于是,V=1,2,j 硼F(,) 使得硼一intC(y).由于 C()是凸锥,因此有tiw一 intC(y).(1)根据条件),F(z,)关于是 C(z)凸的,可得HHtiwtiF(,Yi)F(,)+C().由上式知,了 zF(y,)以及
10、CC()使得tiwf=z+c.(2)由(2)式和(1)式,可得Hz=tiwC一 intC()一 C()=一 intC(y),这与条件 i)矛盾.)令 B=zK:F(z,)y( 一 intC(z),VD.则 B 是 D 的一个闭子集 .事实上,由条件 V),VzD,jD 使得F(z,)y(一 intC(z),这表明 zB,因此 BD.又,B=ns(), 由 I)知,S(y)闭,故 B 是 D 的闭子集.已知 D 为紧凸集,故 B 紧.由 FanKKM 定理,nS(y).这样,任何三nS()均是(GvEP1)的解.( 证毕)推论 1(7定理 2.1)设 L(x,Y)X 上的双线型(?,?)连续 ,
11、且下列条件成立 :i)T:KL(x,y)连续,且 g:KK 连续;ii)集值映射 w:K 一 2y,VzK,w(z)=y(一 intC(z),是上半连续的 ;iii)存在 K 的紧凸子集 D,使得 VzD.(T(z),zg(z)一 intC(z).贝 0j 三D,使得(Y(x 一),zg(三),Vz D.证明在定理 1 中,Vz, D,令 F(z,)=(T(z),g(z),F 为单值的.由条件 i)知 F 关于 z,均连续;又,由条件)知,w 是闭的.在定理 1 中,取 D=K,则定理 1的条件全部满足,由定理 1 即得结论.(证毕)注对于特殊情形),由定理 1 可得到11的定理 2 和10
12、的定理 2.1,证明方法与上面推论 1相似,不再赘述.定理 2 设集值映射 F,h:KK 一 2y,并设下列条件成立:i)VzK,h(z,z)y(一 intC(z);?218?南昌大学 (理科版)2003 盈)VYK,F(,Y) 关于是下半连续的 ;糯)V,YK,VF(,), 均 jzh(,)满足 z 一一 intC();IV)V K,集K:h(,)y(一intC()是凸的;V)集值映射 w:K 一 2,VK,W()=y(一 intC(),是闭的 ;vI)存在非空紧凸集 DK,使得 VKD.jYD,满足F(,y)y(一 intC().则(GvEP1)有解.证明 VYK,令 D(y)= D:F(
13、x.y)-y(一 intC().要证:0D(y) Iz.,K()均为(GVEP1)的解.由条件 Iv),有 h(z,z)y(一 intC(z).这与条件 I)矛盾 .故 S2 是 KKM 映射.由条件 IIi),VK,S2(y)S1(y),故 S1 也是 KKM 映射,由 FanKKM 定理,nS1()Iz.设0S1(),贝 4VE,F(三,)cy( 一intC().由条件 VI)知三D. 由此可知F(x,)Cy(一 intC(x),i=1,2,m.这表明 nD(y)Iz.因此,集族 D():K有有限交性质.( 证毕)推论 2【11定理 2.2)设 L(X,y)X 的双线性型(?,?)是连续的
14、 ,并且下列条件成立 :i)单值映射 T:KL(x,y)与 g:KK 连由此可知,任何三nD 续;,K由于 D 紧,我们仅需证明:I)VK,D()是 D 的闭子集;)集族D():K具有有限交性质.利用条件)和 V),可重复定理 1 中证明 s()是闭的方法,证明 D()是闭的,下面证明)成立.事实上,设1,2,cK,令 E=CO(Y1,Y2,).则 E 为 K 中的凸紧子集.VE.令S1()=E:F(,)y(一 intC(),S2()=E:h(,)y(一 intC().由条件)和 V),同上可证 ,S1()是闭的,由于 E 紧,因此 S1()是紧的.由条件 m),VbF(Y,),了口h(y,)
15、满足ab一 intC().(3)由条件 I),有.a 告一 intC().(4)由(3)和(4)式,b 告一 intC(Y).由于 b 的任意性,可知 F(y,)y(一 intC(Y),这表明:VYK,有S1(y). 下证:S2 为KKM 映射.若不然,则 j1,2,E,ffo,f=1tI以及 z=告.U.S2(y1).由此可得:h(名,)y(一 intC(名), =1,2,.ii)单值映射 h:KKy 满足:V,K,h(,)一(T(),g() 一 intC();h(,)告一 intC();IIi)VK,集K:h(,) intC()是凸的;iv)集值映射 w:K 一 2y,VK,W()=y(一
16、 intC(),是闭的 ;V)存在非空紧凸集 DK,使得 VKD,jD 满足(T(),g()一 intC().贝 4j 三D 满足(T(三),yg(三)告一 intC(三),证明在定理 2 中,令 F(,)=(T(),g(X),易邮定理 2 的全部条件均成立 ,由定理 2 即得结论成立.(证毕)3 解集的凸性定理 3 设 C 是 y 中的闭凸锥,intCI2 且 Cy.在定理 1 或定理 2 中,令 C()=C,VK.设定理 1 或定理 2 的条件均成立,又设 F 满足下面的条件viI)VK,F(x,) 关于是锥真拟凹的.则(G,】 P1)的解集E=K:F(,)y(一 intC),VKl是凸的
17、.证明由定理 1 或定理 2 知,EIz.下证:E是凸的.若不然,则 j1,2E 以及 t(0,1)使得三=tx1+(1 一 t)2 告 E.于是,j K 使得 F(,第 3 期万安华等:广义向量均衡问题的解与解集的凸性 ?219?)y(一 intC).因此,tlJF(三,),满足tlJ 一 intC.(5)由于E(i=1,2), 故有F(zf,)Y(一 intC),(i=1,2).(6)由条件 VII),F(,)关于 z 是锥真拟凹的,因此, F(毛,)(i=1,2)使得tlJl+C 或叫2+C.由(5)式得:1tlJC 一 intCC=一 intC,或2tlJC 一 intCC=一 intC,这与(6)式矛盾 .(证毕)参考文献:1】BlumE,OettleW.FromOptimizationandVariationalIn.
