1、平行线与三角形内角和的综合应用（习题） 例题示范例 1：如图，在ABC 中， AD 平分BAC，P 为线段 AD 上一点，PEAD 交 BC 的延长线于点 E若BAC=60，ACB=85，则E 的度数为_ AB DCEFP1解：如图，AD 平分 BAC （_） （_）12ACBAC =60 （_）1=30 （ 等式的性质 ）在ACD 中，1=30， ACB=85EDP=180-1 -ACB=180-30-85=65 （_）PEAD （_）EPD=90 （_） （_）90EDP 65（等式的性质）2读题标注？85301PFECDBA梳理思路要求E 的度数，可以将 E 放在 RtPDE 中，利用直
2、角三角形两锐角互余求解，由 PEAD ，则EPD=90，所以需要求出 ADC 的度数结合已知条件，把ADC 放在ADC 中利用三角形的内角和等于 180求解过程书写解：如图，AD 平分 BAC （已知） （角平分线的定义）12BACBAC =60 （已知）1=30 （等式的性质）在ACD 中，1=30， ACB=85EDP=180-1 -ACB=180-30-85=65 （三角形的内角和等于 180）PEAD （已知）EPD=90 （垂直的定义） （直角三角形两锐角互余）90EDP 65（等式的性质）2 巩固练习1. 在ABC 中， ，则 _， _123ABC : :A B2. 将一副直角三角
3、板如图放置，使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合，则图中1 的度数为_m 13. 如图，直线 mn ，在ABC 中，C=90若1=25，2=70，则B=_nm21CBA4. 已知：如图，AD 与 BC 交于点 O，C =35，A= B =90，求D 的度数 O DCA B解：如图，A= B=90（已知）_，_（直角三角形两锐角互余）AOC=BOD（对顶角相等）_（_）C=35（已知）_（等量代换）5. 已知：如图，在ABC 中，CD 平分ACB， B=34，ACD=50，求A 的度数ABDC6. 已知：如图，ABCD ，BAE =DCE =45求证：E=9021E
4、DC BA7. 已知：如图，EFBC，DEAB，B =ADE求证：ADEFFEDB CA 思考小结1. 在证明过程中：（1）由平行可以想_相等、_相等、_ 互补；（2）要证平行，找_角、_角、_角；（3）要求一个角的度数，如果看成三角形的内角，可以考虑_2. 阅读材料等量代换与等式的性质在欧几里得公理体系中提到过 5 条公理这 5 条公理是我们公认为正确的不证自明的“基本事实” ，可以当做已知的大前提来进行使用而其中的三条，是我们在几何证明中不经意间多次用到的，下面对它们来进行简单的解释当我们证明时，会遇到如下的推理：a=b，b=ca=c在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知
5、道它的依据是什么其实，它的依据就是欧几里得公理体系中 5 条公理中的第一条：“（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的 ”这句话比较的生涩难懂，我们不 妨 来 翻 译 一 下 ， 直 观 的 意 思 就 是 “与 同 一 个 量 相 等 的所 有 量 都 相 等 ”， 这 就 是 我 们 在 几 何 推 理 中 经 常 用 到 的 “等 量 代 换 ”例如，我们经常这么写：a=b，b=5（已知）a=5（等量代换）A+ B=90，B= CA+ C=90（等量代换）这里推理的依据就是第一条公理，我们把它简记为“等量代换” “等量代换”还可以解释为把相等的量换掉与“等量代换”一样，经常用
6、到的还有“等式的性质” 公理中第（2） （3）条的内容如下：（2）等量加等量，总量仍相等（3）等量减等量，余量仍相等它们组合起来使用，就叫做“等式的性质” ，我们可以找一些例子来看一下例如：a+b=10，c=5a+b-c =10-5=5（等式性质）再如：A+ B+ C=180，A+21=90B+C =90+21（等式的性质）上述过程中的推理依据都是“等式的性质” 一般地，我们利用代数运算进行推理时，其依据基本都是“等式的性质” 【参考答案】 巩固练习1. 30，602. 1053. 454. 解：如图，A= B=90（已知）C+ AOC=90，D+ BOD =90（直角三角形两锐角互余）AOC
7、=BOD（对顶角相等）C= D （等角的余角相等）C=35（已知）D=35（等量代换）5. 解：如图，CD 平分ACB（已知）ACB =2 ACD（角平分线的定义）ACD=50（已知）ACB =250=100（等量代换）在ABC 中， B=34，ACB=100（已知）A=180 - B-ACB=180-34-100=46（三角形的内角和等于 180）6. 证明：如图，ABCD（已知）BAC +ACD =180 （两直线平行，同旁内角互补）BAE= DCE=45 （已知）1+2=180 -BAE- DCE=180-45-45=90（等式的性质)E =180-(1+2）=180-90 =90（三角形的内角和等于 180）7. 证明：如图，EF BC （已知）EFB= 90（垂直的定义）BEF+ B=90 （直角三角形两锐角互余）DEAB（已知）AED= 90（垂直的定义）BAD+ADE= 90（直角三角形两锐角互余）B=ADE（已知）BEF= BAD（等角的余角相等）ADEF（同位角相等，两直线平行） 思考小结1. （ 1） 同 位 角 ， 内错角，同旁内角；（2）同 位 ， 内错，同旁内；（3）三角形的内角和等于 180
