1、滚动小专题( 九) 圆的有关计算与证明类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明1如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径， D 为O 上一点，ODAC，垂足为 E，连接 BD.(1)求证：BD 平分 ABC ；来源 :学优高考网 gkstk(2)当ODB 30时，求证：BCOD.证明：(1)ODAC ，OD 为半径 ， .CD AD CBDABD.BD 平分ABC.(2)OB OD，OBDODB30.AODOBDODB303060.又ODAC 于 E，OEA 90 .A180OEAAOD180906030.又AB 为O 的直径，ACB90.在 Rt ACB 中，BC AB，12OD A
2、B，12BCOD.2(2016温州)如图，在ABC 中，C 90，D 是 BC 边上一点，以 DB 为直径的O 经过 AB 的中点 E，交AD 延长线于点 F，连接 EF.(1)求证：1F ；(2)若 sinB ，EF2 ，求 CD 的长55 5解：(1)证明：连接 DE.BD 是O 的直径，DEB90.E 是 AB 的中点，DADB.1B.BF，1F.(2)1F，AEEF2 .5AB2AE4 .5在 Rt ABC 中，ACABsinB4，BC 8.AB2 AC2设 CDx，则 ADBD8x，AC 2CD 2AD 2，即 42x 2(8 x) 2，x3，即 CD3.3(2016苏州)如图，AB
3、 是圆 O 的直径，D、E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延长至点 C，使得CDBD.连接 AC 交圆 O 于点 F，连接 AE、DE 、DF.(1)证明：EC ；(2)若E55，求BDF 的度数；(3)设 DE 交 AB 于点 G，若 DF4，cosB ，E 是弧 AB 的中点，求 EGED 的值23解：(1)证明：连接 AD.AB 是O 的直径，ADB90，即 ADBC.CDBD ，AD 垂直平分 BC.ABAC. B C.BE，EC.(2)四边形 AEDF 是O 的内接四边形，AFD 180 E.又CFD 180 AFD，CFDE55.又EC55，BDF CCFD11
4、0 .(3)连接 OE.CFD AEGC ，FDCD BD4.在 Rt ABD 中，cosB ，BD4，AB6.23E 是 的中点，AB 是O 的直径，AB AOE 90 .AOOE 3 ，AE3 .2E 是 的中点，ADEEAB，AB AEG DEA. ，即 EGEDAE 218.AEEG DEAE类型 2 与圆的切线有关的计算与证明4(2016南充)如图，在 Rt ABC 中，ACB90，BAC 的平分线交 BC 于点 O，OC1，以点 O 为圆心，OC 为半径作圆(1)求证：AB 为 O 的切线；(2)如果 tanCAO ，求 cosB 的值13解：(1)证明：作 ODAB 于点 D.A
5、O 平分CAB，OC AC ，ODOC.来源:gkstk.ComOC 是O 的半径，AB 是O 的切线(2)ACB90，AC 是O 的切线ACAD.在 Rt ACB 和 RtOBD 中，ABCOBD，ABCOBD， tanCAO .OBAB ODAC OCAC 13OCOD1，ACAD3.设 OB 为 x，则 AB3x，BDABAD3x3.在 Rt ODB 中，OB 2OD 2 DB2，即 x21 2(3x 3) 2.解得 x1 ，x 21(不合题意 ，舍去) 54DB ，cosB .34 DBOB 355(2016威海)如图，在BCE 中，点 A 为边 BE 上一点，以 AB 为直径的O 与
6、 CE 相切于点 D，AD OC，点F 为 OC 与O 的交点，连接 AF.(1)求证：CB 是O 的切线；(2)若ECB60，AB6，求图中阴影部分的面积解：(1)证明：连接 OD，与 AF 相交于点 G.CE 与O 相切于点 D，ODCE.CDO90.ADOC，来源:学优高考网 gkstkADODOC，DAOBOC.OAOB，ADODAO.DOCCOB.在CDO 和CBO 中， CO CO， DOC BOC，OD OB， )CDOCBO(SAS)CBOCDO90.CB 是O 的切线(2)由(1)可知OCDBCO，DOCCOB，来源:学优高考网ECB 60 ，OCD ECB30.12DOCC
7、OB60.AOD60.OAOD，OAD 是等边三角形ADODOF.在FOG 和 ADG 中， DOC ADG， FGO AGD，OF AD， )FOG ADG(AAS)S ADG S FOG .AB6，O 的半径 r3，S 阴影 S 扇形 ODF .60 32360 326(2016十堰)如图 1，AB 为半圆 O 的直径，D 为 BA 的延长线上一点，DC 为半圆 O 的切线，切点为 C.(1)求证：ACDB；(2)如图 2，BDC 的平分线分别交 AC，BC 于点 E，F；求 tanCFE 的值；若 AC3，BC4，求 CE 的长解：(1)证明：连接 OC.OAOC，来源:学优高考网OAC
8、ACO.CD 是O 切线，OCCD.DCO90.ACDACO90.AB 是直径，OACB90.ACDB.(2)CEFECDCDE，CFEB FDB ，CDEFDB，ECDB，CEFCFE.ECF90，CEFCFE45.tanCFEtan45 1.在 RtABC 中，AC3，BC4，AB 5.AC2 BC2CDABDC，DCA B，DCADBC. .设 DC 3k，DB4k，DCDB ACCB DADC 34CD 2DADB，9k 2(4k5)4k.k .207CD ，DB .607 807CDEBDF，DCEB，DCEDBF. .ECFB DCDB设 ECCF x ， .x4 x607807x .127CE .127
