1、第四章 三角形课时 19 等腰三角形与直角三角形 (建议时间：60 分钟 分值：82 分)评分标准：选择题和填空题每小题 3 分命题点 1 等腰三角形1. (2016 赤峰) 等腰三角形有一个角是 90，则另两个角分别是 ( )A. 30，60 B. 45，45C. 45，90 D. 20，702. 已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为( )A. 9 B. 12 C. 15 D. 12 或 153. 如图，在ABC 中，ABAC，DEBC，则下列结论中不正确的是( )第 3 题图A. AD AEB. DB ECC. ADE CD. DE BC124. (2016
2、滨州)如图，ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且ACCD BDBE，A50，则CDE 的度数为( )A. 50 B. 51 C. 51.5 D. 52.5第 4 题图 第 5 题图5. (2015 陕西 )如图，在ABC 中，A36，ABAC，BD 是ABC 的角平分线若在边 AB 上截取 BEBC，连接 DE，则图中等腰三角形共有( )A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个6. (2016 河北)如图，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2.若点M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的 PMN有( )A. 1 个 B.
3、 2 个C. 3 个 D. 3 个以上第 6 题图 第 7 题图7. (2016 赣州模拟)如图，在等边三角形 ABC 中，ADBC 于点 D，则BAD_.8. 如图所示，底边 BC 为 2 ，顶角 A 为 1203第 8 题图的等腰ABC 中，DE 垂直平分 AB 于 D，则ACE 的周长为_9. 等腰ABC 中，BC8，若 AB、AC 的长是关于 x 的方程 x210xm0 的根，则 m 的值等于_10. (2016 内江) 已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点 P 到三边的距离之和为_11. (6 分)(2016 宁夏)在等边ABC 中，点 D，E 分别在边
4、BC，AC 上，若CD2 ，过点 D 作 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F，求EF 的长第 11 题图命题点 2 直角三角形来源:gkstk.Com12. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A. ， ， B. 1， ，3 4 5 2 3C. 6， 7，8 D. 2，3，413. (2016 南充) 如图，在 RtABC 中，A30，BC 1，点 D，E 分别是直角边 BC，AC 的中点，则 DE 的长为( )A. 1 B. 2C. D. 13 3第 13 题图 第 14 题图14. (2016 荆州)如图，在 RtABC 中，C
5、90，CAB 的平分线交 BC于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E.若 BC3，则 DE 的长为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. (2016 达州)如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D为 AB 的中点，连接 DF 并延长交 AC 于点 E.若 AB10，BC 16，则线段 EF的长为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第 15 题图 第 16 题图16. (2016 娄底) 如图，已知在 RtABC 中，ABC90，点 D 沿 BC 自 B向 C 运动 (点 D 与点 B、C 不重合)，作 BEAD 于 E，CF AD 于 F，则B
6、ECF 的值( )A. 不变 B. 增大C. 减小 D. 先变大再变小17. (2016 泉州)如图，在 RtABC 中，E 是斜边 AB 的中点，若 AB10，则 CE_第 17 题图 第 18 题图18. 如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边ABa，则图中阴影部分的面积为_19. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，点 D 在 AB 上，ADAC ，AF CD 交 CD 于点 E，交 CB 于点 F，则 CF 的长是_第 19 题图 第 21 题图20. 在ABC 中，AB13 cm，AC20 cm，BC 边上的高为 12 cm，则ABC 的
7、面积为_cm 2.21. (2016 鄂州 )如图，AB6，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点O，1120 ，P 是直线 l 上一点当APB 为直角三角形时，AP_ 22. (8 分)(2016 上海改编)如图，在 RtABC 中，ACB90 ，ACBC3，点 D 在边 AC 上，且 AD2CD，DE AB，垂足为点 E，连接 CE.求：来源:gkstk.Com(1)线段 BE 的长；(2)ECB 的正切值第 22 题图23. (8 分)(2016 北京)如图，在四边形 ABCD 中，ABC90 ，ACAD ，M 、N 分别为 AC、CD 的中点，连接 BM，MN，BN .(1)求证：BM
8、MN；(2)若BAD60 ，AC 平分 BAD ，AC2，求 BN 的长第 23 题图【答案】1. B 【解析】三角形的内角和为 180，90的角一定为等腰三角形的顶角，两底角的和为 18090 90，两个底角分别为 45，45.2. C 【解析】分两种情况，6 是腰长时，三角形的三边分别为6、6、3，能组成三角形，周长66315；6 是底边时，三角形的三边分别为 6、3、3，不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为 15.故选 C.3. D 【解析】DE BC， ，ADEB ，ABAC ，ADAE ，DBEC，BADAB AEACC ， ADEC，而 DE 不一定等于 BC，故选 D.124
9、. D 【解析】ACCD，A50，ADC50 ，DC DB，ADCBBCD50，BBCD25，BDC130 ，BD BE，BEDBDE 77.5，CDE13077.552.5.5. D 【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定A 36 ，ABAC， ABCC (18036)72，ABC 是等腰三角形；BD12是ABC 的角平分线，ABDDBC ABC 36，BDC18012C DBC 72 ， CBDC72， BCD 是等腰三角形；BCBD；BE BC，BE BD，BED 是等腰三角形；EBD36，A ABD36，ABD 是等腰三角形BED (18036) 72，12AED180BED108，A
10、36，ADE180AAED 1803610836 ，AED 是等腰三角形等腰三角形有ABC、BCD、ABD、BED 、AED，共 5 个第 6 题解图6. D 【解析】如解图，当 OM12，点 N1 与点 O 重合时，PM 1N1 是等边三角形；当 ON22，点 M2 与点 O 重合时，PM 2N2 是等边三角形；当点M3，N 3 分别是 OM1，ON 2 的中点时，PM 3N3 是等边三角形；当取M 1PM4OPN 4 时，易证 M 1PM4OPN 4， PM 4PN 4，又M 4PN460 ，PM 4N4 是等边三角形，此时点 M，N 有无数个，综上所述，故选 D.7. 30 【解析】AB
11、C 是等边三角形，BAC60 ，ABAC， ADBC， BAD BAC30 ，故答案为 30.12第 8 题解图8. 22 【解析】如解图，过 A 作 AFBC 于3F，AB AC ，A120，BC30，ABAC 2，DE 垂直平分BFcos B 12BCcos B 332AB，BEAE ，AECEBC2 ，ACE 的周长3ACAECEACBC22 ，故答案为 22 .3 39. 16 或 25 【解析】当 ABBC8，把 x8 代入方程得6480m0，解得 m16，此时方程为 x210x160，解得x18，x 22；当 ABAC，则 ABAC10，ABAC5，则m1055525.故答案为 1
12、6 或 25.第 10 题解图10. 【解析】如解图，等边三角形的边长为 3，高线332AHAB sin603 ，S 32 332ABC BCAH ABPD BCPE ACPF， 3AH 3PD12 12 12 12 12 12 123PE 3PF， PDPEPFAH ，即点 P 到三角形三边距离12 332之和为 .故答案为 .332 33211. 解：ABC 是等边三角形，BACB60，DE AB，EDCB60，(2 分)又ACB60，EDC 为等边三角形，DE DC2，(4 分)在 Rt DEF 中，DEF90，DE2，EDC60，DF 4，DEcos EDC 2cos60EF 2 .(
13、6 分)DF2 DE2 42 22 312. B【解析】A.( )2( )2( )2，不能构成直角三角形，故错误；3 4 5B.12 ( )2( )2，可以构成直角三角形；C.6 27 28 2，不能构成直角三角形，2 3故错误；D.2 23 24 2，不能构成直角三角形，故错误故选 B.13. A【解析】在 RtABC 中，A 30 ，BC1，AB 2BC212，D、E 分别是ABC 边 BC、AC 的中点，DE 是 ABC 的中位线，DE AB 21.12 1214. A【解析 】AD 是BAC 的平分线，ACBC ，AE DE, DC DE，AE AC .又DE 是 AB 的垂直平分线，
14、 BEAE ，即AB2AE2AC, B30.设 DEx，则 BD3x.在 RtBDE 中，sinB ，解得 x1，即 DE1.x3 x 1215. B【解析】AF BF，点 D 是 AB 边上的中点，DF BD AB5， DBFDFB，BF 平分12ABC ，DBF CBF BFD ，DEBC，故 DE 是ABC 的中位线，DE BC8，EF DEDF853.1216. C【解析 】设 AF 与 BC 的夹角为 ，BD 为 x，由题意得BExsin， CFCDsin，BECFxsin (BC x)sinBCsin，当点 D 从点 B 向点 C 运动时， 的度数越来越小， sin 的值也会越来越
15、小，且 BC 的长度不变，BECF 的值也是越来越小，故选 C.17. 5【解析】点 E 是 RtABC 斜边 AB 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知：CE AB5.来源:gkstk.Com1218. a2【解析】ABC 是直角三角形，AC 2BC 2AB 2.三个阴影部12分的三角形都是等腰直角三角形，阴影部分的面积 AC2 BC2 AB2 AB2 AB2 AB2 a2.14 14 14 14 14 12 12第 19 题解图19. 1.5【解析 】连接 DF，如解图所示，在 RtABC 中，ACB90 ，AC3，BC4，AB 5，ADAC 3，AF CD，CE DEAC2
16、BC2，BD ABAD2，CF DF，在ADF 和ACF 中， ，AD ACDF CFAF AF)ADFACF( SSS)， ADFACF90，BDF90，设CFDF x，则 BF4 x，在 RtBDF 中，由勾股定理得：DF2BD 2BF 2，即 x2 22(4x) 2，解得 x1.5 ，CF 1.5. 来源:学优高考网20. 66 或 126 【解析】题中没有给出 BC 边上的高在ABC 内部还是外部，则应分情况讨论：当 BC 边上高在ABC 内部时，如解图，在 RtADB中，BD 2AB 2AD 2， AB13，AD12，BD 5，同理在 RtADC 中，可得 CD16，BCBDCD51
17、621，S ABC 2112126 cm 2；当12BC 边上的高在ABC 外部时，如解图，在 RtADC 中，DC AC2 AD216，在 Rt ADB 中，202 122BD 5，BCDCBD16511，S AB2 AD2 132 122ABC 111266 cm 2.12第 20 题解图第 21 题解图21. 3 或 3 或 3 【解析】如解图，点 O 是 AB 的中点，3 7AB6，AOBO3.当点 P 为直角顶点，且点 P 在 AB 上方时，AOP 1O3 ，1120，AOP 160， AOP1 是等边三角形，AP 13；当点 P 为直角顶点，且点 P 在 AB 下方时， AP2BP
18、 1 3 ；当点 A 为直角顶点时，AP 3AOsin AOP 33 3 ；当62 32 3 3 3点 B 为直角顶点时，AP 4 BP3 3 .综上，当APB 为直角三62 （33）2 7角形时，AP 的值为 3 或 3 或 3 .3 722. 解：(1)AD2CD， AC3，AD2，在 Rt ABC 中，ACB90，ACBC3，A45，AB 3 ，(2 分)AC2 BC2 2DE AB，AED 90，ADE A45，AEADsin45 ，2BEABAE 2 ，即线段 BE 的长是 2 ；(4 分)2 2第 22 题解图(2)过点 E 作 EHBC 于点 H，如解图，在 Rt BEH 中，E
19、HB 90，B45，EH BH EBsin45 2，(6 分)又BC3，CH1，在 Rt ECH 中，sin ECB 2，即ECB 的正切值是 2.(8 分)EHCH23. (1)证明： 在CAD 中，M、N 分别是 AC、CD 的中点，MNAD 且 MN AD，12在 Rt ABC 中，点 M 是 AC 的中点，BM AC，(2 分)12又ACAD，来源:gkstk.ComBMMN； (4 分)(2)解：BAD60 ，且 AC 平分BAD ，BACDAC BAD30，(5 分)12由(1)知，BM ACAMMC，12BMCBAMABM2BAM2BAC60 ，MNAD ，NMC DAC30 ，BMNBMCNMC90，BN 2BM 2MN 2，(7 分)由(1)知，MN BM AC1，12BN .(8 分)2
