1、第四章 三角形 课时 22 解直角三角形及其应用玩转江西 9 年中考真题(20082016 年)命题点 1 特殊角三角函数值的计算(9 年 2 考)1. (2010 江西 11(2)题 3 分 )计算：sin30cos30 tan30 _(结果保留根号)【试题链接】2008 年 13 题见 P4.命题解读：从 2010 年开始连续考查，设题背景有：电子相框；中国结挂件；汽车刮雨器；水桶；树木；圆规；衣架；均与实际生活相结合，主要设问形式有求两点间的距离；猜想结论并加以计算或证明；求圆的半径；求线段扫过的最大面积其中 2016 年 21 题与 2012 年 22 题均可运用相似三角形的性质来求解
2、满分技法：见 P59 考点精讲 解直角三角形的实际应用命题点 2 (近 8 年必考，2008 年未考查，2012 年解 直 角 三 角 形 的 实 际 应 用考查 2 次)2. (2012 江西 5 题 3 分)如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东 60方向，那么太阳相对于你的方向是( )A. 南偏西 60B. 南偏西 30C. 北偏东 60D. 北偏东 303. (2010 江西 11 题 3 分) 如图，从点 C 测得树的顶端的仰角为 33，BC 20米，则树高 AB_米(用计算器计算，结果精确到 0.1 米)第 3 题图 第 4 题图第 3 题图4. (2015 江西 13 题 3
3、分) 如图是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图所示的几何图形，已知 BCBD 15 cm，CBD40，则点B 到 CD 的距离为_cm.(参考数据：sin200.342，cos200.940，sin400.643，cos400.766.结果精确到 0.1 cm，可用科学计算器)5. (2011 江西 22 题 9 分) 图是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形当点 O 到 BC(或 DE)的距离大于或等于O 的半径时(O 是桶口所在圆，半径为 OA)，提手才能从图的位置转到图的位置，这样的提手才合格现用金属材料做了一个水桶提手(如图A B C D E F， C D
4、 是 ，其余是线段)，O 是 AF 的中点，桶口直径CD AF34 cm，ABFE5 cm，ABCFED149. 请通过计算判断这个水桶提手是否合格( 参考数据： 17.72，tan73.63.40，sin75.40.97)314第 5 题图6. (2016 江西 21 题 8 分) 如图是一副创意卡通圆规，图是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 B 可绕点 A 旋转作出图已知 OAOB10 cm.(1)当AOB18 时，求所作圆的半径；(结果精确到 0.01 cm)(2)保持AOB18 不变，在旋转臂 OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出
5、的圆与(1) 中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin90.1564，cos90.9877，sin180.3090，cos180.9511，可使用科学计算器)来源:gkstk.Com第 6 题图7. (2014 江西 21 题 8 分)图中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成 30的夹角，示意图如图所示在图中，每个菱形的边长为 10 cm，锐角为 60.(1)连接 CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；(2)求 A， B 两点之间的距离 (结果取整数，可以使用计算器参考数据：1.41 ， 1.73， 2.45
6、)2 3 6第 7 题图8. (2013 江西 21 题 9 分)如图，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线 OAB，如图 所示，量得连杆 OA 长为 10 cm，雨刮杆 AB 长为 48 cm，OAB120. 若启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好扫到水平线 CD 的位置，如图所示(1)求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O， B 两点之间的距离；(结果精确到0.01)(2)求雨刮杆 AB 扫过的最大面积 (结果保留 的整数倍)(参考数据：sin60 ，cos60 ，tan60 ， 26.851，可使32 12 3 721用科学计算器)第 8 题图【拓展猜押】如
7、图，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷图和图是截面示意图，CD 是遮阳篷，窗户 AB 为 1.5 米， BC 为 0.5 米该遮阳篷有伸缩功能，如图，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60，遮阳篷 CD 正好将进入窗户 AB 的阳光挡住；如图，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为 30，将遮阳篷收缩成 CD时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户 AB 的阳光(1)计算图中 CD的长度比图中 CD 的长度收缩了多少米；(2)如果图中遮阳篷的长度为图中 CD 的长度，请计算该遮阳篷落在窗户 AB 上的阴影长度为多少米？(参考数据： 1.73，结果精确到 0.01 米)3拓展
8、猜押题图【答案】1. 【解析】根据特殊角的三角函数值直接计算：sin30cos30312tan30 .12 32 33 3122. A 【解析】由身影的方向与太阳的方向相反可知，太阳位于南偏西60方向3. 13.0 【解析】在 RtABC 中，根据三角函数的定义得 tanACB ，AB BC tanACB20tan33，用计算器计算 tan33ABBC0.6494，AB 200.649413.0(米) 第 4 题解图4. 14.1 【解析】本题考查解直角三角形的实际应用如解图，过点 B作 BECD 于 E，BCBD15 cm，CBD40 ，CBE20，在 RtCBE 中， BEBCcos CB
9、E 150.94014.1(cm)5. 解：如解图，连接 OB，过点 O 作 OGBC 于点 G.在 Rt ABO 中，AB 5，AO17，tanABO 3.4，(2 分)AOAB 175第 5 题解图ABO73.6，GBO ABC ABO149 73.675.4.(5 分)又OB 17.72，(6 分)52 172 314在 RtOBG 中，OGOB sinGBO 17.72 0.9717.1917.(8 分)答：水桶提手合格(9 分)第 6 题解图6. 解：(1)如解图，过点 O 作 OCAB 于点 C.则 AB2BC，BOC AOB9，12在 RtOBC 中，BCOBsin9100.15
10、641.564(cm)，AB2BC21.5643.1283.13(cm)(4 分)来源 :学优高考网 gkstk答：所作圆的半径约为 3.13 cm；(2)OBA (180AOB )81 ，OBA 90，12故可在 BO 上找到一点 D，使得 ADAB，此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等(5 分)如解图，过点 A 作 AH OB 于点 H，则 BD2BH .在 RtAOH 中，来源:gkstk.ComOHAO cos18100.95119.511(cm) ，BH 109.5110.489(cm) ，BD 20.4890.9780.98(cm) 答：铅笔芯折断部分的长度约为 0.98 c
11、m.(8 分)解法二：OBA (180AOB) 81 ，OBA 90，故可在 BO 上找到一12点 D，使得 ADAB ，此时所作圆的大小与 (1)中所作圆的大小相等(5 分)OBA ADB.又OA OB，OBA OAB，OAB ADB，又OBA ABD ，OBA ABD， ，OBAB BABD即 ，103.13 3.13BDBD 0.98.3.133.1310答：铅笔芯折断部分的长度为 0.98 cm.(8 分)7. 解：(1)猜想 CDEB.证明：如解图，连接 CD，DE，EB.中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成 30的夹角，菱形的锐角为 60，CDE60223090，(2 分
12、)BED60223090 ，(3 分)CDEBED ，第 7 题解图 来源:gkstk.ComCDEB ；(4 分)(2)如解图，连接 AD，BD，且 A， B， D 在同一条直线上，连接 GF 交 EB于点 O.BE2OE210cos3010 cm，3同理可得，DE10 cm，3则 BD 10 cm，DE2 BE2 6同理可得，AD10 cm，6则 ABBDAD20 49 cm.6答：A ， B 两点之间的距离大约为 49 cm.(8 分)8. 解：(1)根据题意，雨刮杆 AB 旋转的最大角度是 180.(1 分)如解图，连接 BD，则 BD 必过点 O.作 OEAB ，交 BA 延长线于点
13、 E.OAB120，OAE60，EOA30，AE OA5 cm ，OE AE5 cm.(2 分)12 3 3BEABAE 48553 cm.在 Rt OEB 中，OB 53.70(cm)；(4 分)OE2 BE2 （53）2 532(2)根据题意，DOC BOA，第 8 题解图图中半圆 BOD 的面积等于折线 BACD 与弧 围成图形的面积(5 分)BD 设 AB 扫过的最大面积是 S.则 SS 半圆 BODS 半圆 AOC OB 2 OA 2 (53.7 210 2)12 12 121392(cm 2)(8 分)答：AB 扫过的最大面积是 1392 cm 2.(9 分)【拓展猜押】解：(1)
14、在 RtACD 中，ACABBC2 米，CAD30，tanCAD ，CDACCDAC tanCAD2 (米)，33 233在 Rt BCD中，BC0.5 米，CBD60，tanCBD ，CDBCCDBCtan CBD0.5 ，332拓展猜押题解图CDCD 0.29( 米)，233 32 36故题图中 CD的长度比题图中 CD 的长度收缩了 0.29 米；(2)如解图，题图中遮阳篷的长度为题图中 CD 的长度时，过点 D 作DEBD，交 AB 于点 E.在 Rt ECD 中，CD 米，CED60，233tanCED ，CDCECE ，来源:gkstk.ComCDtan CED 2333 23BECEBC 0.5 0.17(米)23 16故该遮阳篷落在窗户 AB 的阴影长度约为 0.17 米
