1、第三章 函 数 课时 16 二次函数的综合(建议时间：60 分钟 分值：70 分)评分标准：选择题和填空题每小题 3 分命题点 1 二次函数的实际应用1. (2016 江西模拟)初三某班一女生在一次投掷实心球的测试中，实心球所经过的路线为如图所示的抛物线 y x2 x 的一部分，请根据关系式及图象19 23 169判断，下列选项正确的是( )A. 实心球的出手高度为 米来源:学优高考网 gkstk259B. 实心球飞出 2 米后达到最大高度C. 实心球在飞行过程中的最大高度为 3 米D. 该同学的成绩是 8 米第 1 题图 第 2 题图2. (2016 日照) 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水
2、面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米；那么当水位下降 1 米后，水面的宽度为_米3. (6 分 )(2016 咸宁)某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件，为了促销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖30 件已知该款童装每件成本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？4. (8 分 )(2016 义乌)课本中有一个例题：有
3、一个窗户形状如图，上部是一个半圆，下部是一个矩形如果制作窗框的材料总长为 6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径为 0.35 m 时，透光面积的最大值约为 1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图，材料总长仍为 6 m利用图，解答下列问题：(1)若 ab 为 1 m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明第 4 题图5. (10 分)音乐喷泉(图)可以使喷水造型随音乐的节奏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边 20
4、 m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线 ykx 上变动，从而产生一根根不同的抛物线(图)，这组抛物线的统一形式为 yax 2 bx.(1)若已知 k1，且喷出的抛物线水线最大高度达 3 m，求此时 a、b 的值；(2)若 k1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少？(3)若 k2，且要求喷出的抛物线水不能到岸边，求 a 的取值范围第 5 题图来源:学优高考网 gkstk命题点 2 二次函数的综合应用6. (8 分)(2015 龙东地区)如图，抛物线 yx 2bxc 交 x 轴于点 a(1，0)，交 y轴于点 b，对称轴是 x2.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是抛物线
5、对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；第 6 题图7. (10 分) 如图，二次函数 yax 2bx c 的图象与 x 轴相交于（2016江 西 样 卷 一 ）点 A(1，0)，B(3，0) ，与 y 轴相交于点 C(0，3)(1)求此二次函数的解析式(2)若抛物线的顶点为 D，点 E 在抛物线上，且与点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AE 交对称轴于点 F，试判断四边形 CDEF 的形状，并说明理由(3)若点 M 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 a，E，M，P 为顶点且以aE 为一边的平行四边形？若存在，
6、请直接写出所有满足要求的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 7 题图8. (10 分)(2016 东营)在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点A、C 的坐标分别是(0，4)、(1，0) ，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC.(1)若抛物线过点 C、A 、 A，求此抛物线的解析式；(2)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，aMa 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标；(3)若 P 为抛物线上的一动点， N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为(1，0)，当 P、 N、B、Q 构成平行四边形时，求点 P 的
7、坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标第 8 题图9. (12 分)(2016 淮安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2bxc 的14图象与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中点 A 的坐标为 (0，8)，点 b 的坐标为(4， 0)(1)求该二次函数的表达式及点 C 的坐标；(2)点 D 的坐标为 (0，4)，点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF ，以 CD、CF 为邻边作平行四边形 CDEF，设平行四边形 CDEF 的面积为 S.求 S 的最大值；在点 F 的运动过程中，当点 E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 S 的值第 9 题图【试题链
8、接】其他试题见精讲版 P116125.【答案】1. D 【解析】由函数解析式可得：当 x0 时，y ，即出手时的高度为 ，169 169故 A 选项错误；函数的顶点坐标为(3， )，即可得当实心球飞出 3 米后达到最259大高度，最大高度为 米，故 B、C 错误；当 y 0 时，解得 x18，x 22(舍259去)即可得该同学的成绩为 8 米故选 D.第 2 题解图2. 26 【解析 】如解图，建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 ab，纵轴 y 通过ab 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 a，b 两点，可求出 Oa 和 Ob 为 ab
9、的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为(0，2)，通过以上条件可设顶点式 yax 22，其中 a 可通过代入 a 点坐标(2， 0)到抛物线解析式得出：a0.5，抛物线解析式为 y0.5x 22，当水面下降 1 米，通过观察抛物线在图上的变化可转化为：当 y1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y1 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y1 代入抛物线解析式得到：10.5x 22，解得 x，所以水面宽度增加到 2 米6 63. 解：(1)y30030(60x)30x2100；(2 分)(2)设每星期利润为 W 元，W(x40)(30x2100)30(x 55) 26750.x
10、55 时， W 最大值 6750.每件售价定为 55 元时，每星期的销售利润最大，最大利润为 6750 元(4 分)(3)由题意(x 40)(30x2100)6480，解得 52x 58，当 x52 时，销售 300 308540，当 x58 时，销售 300 302360，该网店每星期想要获得不低于 6480 元的利润，每星期至少要销售该款童装 360 件(6 分)4. 解：(1)由已知得 AD m，6 1 1 1 122 54S1 m2；(2 分)54 54(2)设 ABx m，则 AD 3 x，6 x x x 12x2 743 x0， 0x .(4 分)74 127设窗户面积为 S，由已
11、知得：SABADx(3 x)74 x23x74 (x )2 ，(6 分)74 67 97当 x 时，窗户面积 S 有最大值，且 x 在 0 x 的范围内，67 67 127S 最大值 m21.05 m 2，97与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大(8 分)5. 解：(1) yax 2bx 的顶点为( ， )，抛物线的顶点在直线 ykx 上，b2a b24ak1，抛物线水线最大高度达 3 m， ， 3，b2a b24a b24a解得 a ，b2，(2 分)13即 k1，且喷出的抛物线水线最大高度达 3 m 时 a、b 的值分别是 、2；(3 分 )13(2)k1，喷出的水恰好到岸边，
12、出水口离岸边 20 m，抛物线的顶点在直线ykx 上，此时抛物线的对称轴为 x10，y x10，即此时喷出的抛物线水线最大高度是 10 米；(6 分)(3)yax 2bx 的顶点( ， )在直线 y2x 上，b2a b24a 2 ，b2a b24a解得 b4，喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边 20 m， 10，即 10，b2a 42a解得：a .(10 分)156. 解：(1)根据 A(1，0)及对称轴是 x2，得 C(3，0) ，把 A(1，0)，C(3，0)分别代入 yx 2bxc ，得 ，(2 分)1 b c 09 3b c 0)解得 ，b 4c 3)抛物线的解析式为 y x24
13、x3；(4 分)(2)存在，点 P 的坐标为(2，1)理由如下：如解图，存在点 P，使PAB 的周长最小第 6 题解图点 A 与点 C 关于 x2 对称，来源:学优高考网 gkstk连接 BC 与对称轴交于一点，则该点即为所求的点 P，在 yx 24x3 中，令 x0，得 y3，B(0，3)，设直线 BC 的解析式为 ykx b，将 B(0，3)，C(3，0)分别代入 ykx b，得 ，b 33k b 0)解得 ，(6 分)k 1b 3)直线 BC 的解析式为 yx 3，当 x2 时， y1，点 P 坐标为(2 ，1)(8 分)7. 解：(1) 抛物线经过点 a(1，0) ，b(3，0)，C(
14、0，3) ， ，解得 ，a b c 09a 3b c 0c 3 ) a 1，b 2c 3)此二次函数的解析式为 yx 22x3；(3 分)(2)四边形 CDEF 是正方形理由如下：yx 22x3(x1) 2 4，顶点 D(1，4) ，对称轴为直线 x1，如解图，连接 CE，交 DF 于点 G.第 7 题解图点 C，E 关于对称轴对称，CGEG，DFCE，C(0，3) ，E(2，3)，G(1，3)，设直线 AE 的解析式为 ykxb，则，解得 ， k b 02k b 3) k 1b 1)直线 AE 的解析式为 yx1，点 F(1， 2)，(5 分)GCGDGEGF1，CEDF2.四边形 CDEF
15、 是矩形，DF CE，四边形 CDEF 是正方形；(7 分)(3)存在满足条件的点 P 有三个，分别为：P1(0，3)，P 2(1 ，3)，P 3(1 ，3)(10 分)7 7第 7 题解图【解法提示】如解图，AE 为平行四边形的一条边，E(2，3)，CE 2，当 P 点与 C 点重合时，满足四边形 PEAM 为平行四边形，此时P1(0，3) ；当 AE 与 PM 平行时，依题意可知 x22x33，解得x11 ，x 21 ， 来源:学优高考网7 7满足条件的点 P 共有 3 个，坐标分别为(0，3)，(1 ，3)，7(1 ，3) 78. 解：(1)平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 9
16、0，得到平行四边形ABOC，点 A 的坐标是(0，4) ，点 A的坐标为(4 ，0)，点 B 的坐标为(1，4)(1 分)抛物线过点 C，A，A，设抛物线的函数解析式为 yax 2bxc(a0)可得：，解得 ，(2 分)a b c 0c 416a 4b c 0) a 1b 3c 4)抛物线的函数解析式为 yx 23x4; (3 分)第 8 题解图(2)如解图，连接 AA，过第一象限内抛物线上任一点 M 作 y 轴的平行线交 AA于点 G，连接 AM，AM，设直线 AA的函数解析式为 ykxb，可得： ，解得 ，0 b 44k b 0) k 1b 4)直线 aa的函数解析式为yx4，(5 分)设
17、 M(x，x 23x4)，SAMA S A MGS AMG MGAO，12S AMA 4x 23x4(x 4)2x 28x 2(x2) 28，(612分)点 M 在第一象限的抛物线上，0x4，x2 时， AMA的面积最大，且最大面积为 8，M(2，6)；(7 分)(3)设 P 点的坐标为(x，x 23x4)，当 P、N 、B、Q 构成平行四边形时，分情况讨论，当 BQ 为边时，PNBQ 且 PNbQ，BQ 4，x 23x 4 4，当x 23x44 时，x 10，x 23，即 P1(0，4)，P 2(3，4)；当x 23x44 时， x3 ，x 4 ，3 412 3 412即 P3( ，4) ，
18、P 4( ，4) (8 分)3 412 3 412当 bQ 为对角线时，Pbx 轴，即 P1(0，4)，P 2(3，4)；当这个平行四边形为矩形时，即 P1(0，4)，P 2(3，4)时，N 1(0，0)，N2(3，0) (11 分)综上所述，当 P1(0，4)， P2(3，4)，P 3( ，4)，P 4( ，4)时，3 412 3 412P、N、B 、Q 构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N 1(0，0)，N 2(3，0)(10 分)9. 解：(1) 二次函数 y x2bxc 图象过 a(0，8)、14b(4， 0)两点， ， 解得 ， 14（ 4）2 4b c 0c 8 ) b 1
19、c 8)二次函数的解析式为 y x2x8，14当 y0 时，解得 x14 ，x 28，C 点坐标为(8，0)；(4 分)第 9 题解图(2)如解图，连接 DF、OF ，设 F(m， m2m 8)，14S 四边形 OCFDS CDF S OCD S ODF S OCF ，S CDF S ODF S OCF SOCD ， 4m 8( m2m8) 8412 12 14 122mm 24m3216m 26m16(m 3) 2 25，(7 分)当 m3 时，CDF 的面积有最大值，最大值为 25，四边形 CDEF 为平行四边形，S 四边形 CDEF2S CDF 50，S 的最大值为 50；(9 分)18.(12 分)【解法提示】四边形 CDEF 为平行四边形，CDEF ，CDEF，点 C 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 D，点 F 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 E，即 E(m8，m2m12)，14E(m8， m2m12) 在抛物线上， 来源: 学优高考网14 (m8) 2(m8)8 m2m12，14 14解得 m7，当 m7 时，S CDF (73) 2259，此时 S 四边形 CDEF2S CDF 18.
