1、类型 5 探究角度数量关系的存在性问题1(2015南宁)在平面直角坐标系中 ，已知 A，B 是抛物线 yax 2(a0)上两个不同的点，其中 A 在第二象限，B 在第一象限(1)如图 1 所示，当直线 AB 与 x 轴平行，AOB90，且 AB2 时，求此抛物线的解析式和 A，B 两点的横坐标的乘积；(2)如图 2 所示，在(1) 所求得的抛物线上，当直线 AB 与 x 轴不平行，AOB 仍为 90时，A，B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图 3，若直线 y2x2 分别交直线 AB，y 轴于点 P，C ，直线 AB 交 y 轴
2、于点 D，且BPCOCP，求点 P 的坐标解：(1)设直线 AB 与 y 轴交于点 E，AB 与 x 轴平行，根据抛物线的对称性有 AEBE1.AOB90，OE AB1.12A( 1，1) ， B(1，1)把 x1，y1 代入 yax 2，得 a1，抛物线的解析式为 yx 2，A ，B 两点的横坐标的乘积为 xAxB1. 来源:gkstk.Com(2)xAxB1 为常数，过点 A 作 AMx 轴于点 M，BNx 轴于点 N，AMOBNO90.MAOAOMAOMBON90.MAOBON.AMOONB. ，即 OMONAMBN.AMON OMBN设 A(xA，y A)， B(xB，y B)，A(x
3、 A， yA)， B(xB，y B)在 yx 2 图象上，y Ax ，y Bx .x AxBy AyBx x .2A 2B 2A 2Bx AxB1 为常数(3)设 A(m，m 2)，B(n，n 2)，由(2)可知 mn1.设直线 AB 的解析式为 ykxb，联立 得 x2kxb0.y kx b，y x2， )m，n 是方程的两个根， mnb.b1.直线 AB 与 y 轴交于点 D，则 OD1.易知 C(0，2)，OC2， CDOCOD3.BPCOCP，PDCD3.设 P(a，2a2)，过点 P 作 PGy 轴于点 G，则 PG a，GDOG OD 2a3.在 RtPDG 中，由勾股定理得：PG
4、 2GD 2PD 2，来源:学优高考网 gkstk即(a) 2(2a 3) 23 2，整理得 5a212a0，解得 a0(舍去)或 a .125当 a 时，2a 2 ，125 145P( ， )125 1452(2016河南)如图 1，直线 y xn 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C(0，4)抛物线 y x2bxc 经过点 A，43 23交 y 轴于点 B(0，2)点 P 为抛物线上一个动点，经过点 P 作 x 轴的垂线 PD，过点 B 作 BDPD 于点 D，连接PB，设点 P 的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长；(3)如图
5、2，将BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到BDP， 且旋转角PBPOAC，当点 P 的对应点 P落在坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标解：(1)由直线 y xn 过点 C(0，4) ，得 n4，43y x4.43当 y0 时，0 x4，解得 x3，A(3，0) 来源:gkstk.Com43抛物线 y x2bxc 经过点 A(3，0)，B(0，2) 23 来源:gkstk.Com02332 3b c， 2 c. ) b 43，c 2. )抛物线的解析式为 y x2 x2.23 43(2)点 P 的横坐标为 m，P(m， m2 m2)，D(m，2) 23 43若BDP 为等腰直角三角形，则 PDB
6、D.当点 P 在直线 BD 上方时，PD m2 m.23 43()若点 P 在 y 轴左侧，则 m0，BDm. m2 mm，m 30(舍去 )，m 4 .23 43 72当点 P 在直线 BD 下方时，m0，BDm，PD m2 m.23 43 m2 mm，m 50(舍去) ，m 6 .23 43 12综上，m 或 .72 12即当BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为 或 .72 12(3)P1( ， )，P 2( ， )，545 43 5 45 43P3( ， )258 1132【提示】PBP OAC ， OA3，OC4，AC5，sinPBP ，cosPBP .45 35当点 P落在 x 轴上时，过点 D作 DNx 轴，垂足为 N，交 BD 于点 M，DBDNDPPBP.图 1 图 2 图 3如图 1，NDMD2，即 ( m2 m)( m)2.3523 43 45如图 2，NDMD2，即 ( m2 m) m2.3523 43 45P 1( ， )，P 2( ， )；545 43 5 45 43当点 P落在 y 轴上时，如图 3，过点 D作 DMx 轴，交 BD 于点 M，过点 P作 PNy 轴，交 MD的延长线于点 N，DBDNDPPBP.PNBM，即 ( m2 m) m.4523 43 35P 3( ， )258 1132
