1、类型 3 探究特殊四边形的存在性问题1(2014桂林)如图，已知抛物线 yax 2bx4 与 x 轴交于 A(2，0)，B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴为直线 x1.(1)直接写出抛物线的解析式 y x2x4；12(2)把线段 AC 沿 x 轴向右平移 ，设平移后 A，C 的对应点分别为 A，C，当 C落在抛物线上时，求 A，C的坐标；(3)除(2)中的点 A，C 外，在 x 轴和抛物线上是否还分别存在点 E，F，使得以 A，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出 E，F 的坐标；若不存在，请说明理由解：(2)由抛物线 y x2x4 可知 C(0，4) 来源:学优高考
2、网 gkstk12抛物线的对称轴为直线 x1，根据对称性，C(2，4)，A(0，0) (3)存在设 F(x， x2x 4)以 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形12图 1若 AC 为平行四边形的边，如图 1 所示，则 EFAC 且 EFAC.过点 F1 作 F1Dx 轴于点 D， 则易证 RtAOC Rt E 1DF1，DE 12，DF 14. x2x44，12解得 x11 ，x 21 .17 17F 1(1 ，4)，F 2(1 ，4)17 17E 1(3 ，0)，E 2(3 ，0) 17 17图 2若 AC 为平行四边形的对角线，如图 2 所示点 E3 在 x 轴上，CF 3 x 轴
3、点 F3 为点 C 关于 x1 的对称点，F 3(2， 4)，CF 32.AE 32.E 3(4，0)综上所述，存在点 E，F，使得以 A，C ，E，F 为顶点的四边形为平行四边形；点 E，F 的坐标为：E 1(3 ，0)，17F1(1 ，4)；E 2(3 ，0) ，F 2(1 ，4)；E 3(4，0)，F 3(2，4)17 17 17(注：因点 F3 与点 C重合，故此处不确定 E3，F 3 是否满足题意)2(2015百色)抛物线 yx 2 bxc 经过 A(0，2)，B(3，2) 两点，若两动点 D，E 同时从原点 O 分别沿着 x 轴，y轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度
4、，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度(1)求抛物线与 x 轴的交点坐标；(2)若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A，B ，C，D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B ，D，E 在同一条直线上？解：(1)依题意有c 2，9 3b c 2.) b 3，c 2. )yx 23x2.当 y0 时，x 23x20.解得 x11，x 22.抛物线与 x 轴交点坐标为(1，0) ，(2，0) (2)存在当点 C 为(1，0)时，AB3，ABx 轴平行四边形中，ABCD413.D 点为(4，0)当 C(2，0)时，同理可求
5、D(5，0)(3)设 t 秒时，B，D，E 共线，则 D，E 点的坐标分别为(2t ，0) ，(0，t)设经过点 B，D，E 的直线为ykxm(k0) 或 t0.t m，0 2tk m.) m t，k 12， )y xt 经过 B(3，2)122 3t.12t3.5.来源:gkstk.Comt0 或 t3.5 秒时，B，D，E 共线3(2016贵港模拟)如图，直线 y3x3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 ya(x2) 2k 经过点A，B，并与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P.(1)求 a，k 的值；(2)抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，
6、求 Q 点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点 M，N ，使以 A，C，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长解：(1)直线 y3x3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B ，A(1， 0)，B(0 ，3)又抛物线 ya(x2) 2k 经过点 A(1，0)，B(0，3) ， 解得a k 0，4a k 3， ) a 1，k 1.)故 a，k 的值分别为 1，1.图 1 图 2(2)设 Q 点的坐标为 (2，m)，对称轴 x2 交 x 轴于点 F，如图 1，过点 B 作 BE 垂直于直线 x2 于点 E.在 RtAQF 中，AQ 2AF 2 QF21m 2，在 RtBQE 中，B
7、Q 2BE 2EQ 24(3 m) 2.来源:学优高考网 gkstkAQBQ，1m 24(3m) 2.m2.Q 点的坐标为(2， 2)(3)如图 2，当点 N 在对称轴上时 ，NC 与 AC 不垂直，AC 应为正方形的对角线又对称轴 x2 是 AC 的中垂线，M 点与顶点 P(2，1)重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点 ，其坐标为(2 ，1)此时，MFNFAFCF1，且 ACMN ，四边形 AMCN 为正方形在 RtAFN 中，AN ，即正方形的边长为 .AF2 NF2 2 24(2016泰安)如图，在平面直角坐标系中 ，抛物线 yax 2bxc 的顶点坐标为(2，9) ，与 y 轴交
8、于点 A(0，5)，与 x 轴交于点 E，B.(1)求二次函数 yax 2bxc 的表达式；(2)过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点(点 P 在 AC 上方) ，作 PD 平行于 y 轴交AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积；(3)若点 M 在抛物线上 ，点 N 在其对称轴上，使得以 A，E，N，M 为顶点的四边形是平行四边形，且 AE 为其一边，求点 M，N 的坐标来源:gkstk.Com解：(1)设抛物线解析式为 ya(x2) 29，抛物线与 y 轴交于点 A(0， 5)，4a 95.来源:gkst
9、k.Coma1.y(x2) 29x 24x5.(2)当 y0 时，x 24x50，解得 x11，x 25.E(1，0) ，B(5，0)设直线 AB 的解析式为 ymx n，A(0， 5)，B(5 ，0)，m 1，n5.直线 AB 的解析式为 yx5.设 P(x，x 24x5)，D(x，x5)PDx 24x5x5x 25x.AC4，S 四边形 APCD ACPD2( x 25x)2x 210x.12当 x 时，S 四边形 APCD 最大 .52 252(3)如图，过 M 作 MH 垂直于对称轴，垂足为 H.MNAE，MNAE，HMNOEA.HMOE1.M 点的横坐标为 x3 或 x1.当 x1
10、时，M 点纵坐标为 8；当 x3 时，M 点纵坐标为 8.M 点的坐标为 M1(1，8)或 M2(3，8) A(0， 5)，E(1，0)，直线 AE 解析式为 y5x 5.MNAE，MN 的解析式为 y5xb.点 N 在抛物线对称轴 x2 上，N(2 ，10b)AE 2OA 2 OE226，MNAE，MN 2AE 2.MN 2(21) 28(10 b) 21(b 2) 2.点 M 的坐标为 M1(1，8)或 M2(3，8) ，点 M1，M 2 关于抛物线的对称轴 x2 对称点 N 在抛物线对称轴上， M 1NM 2N.1(b2) 226，解得 b3 或 b7.10b13 或 10b3.当点 M 的坐标为(1，8)时，点 N 的坐标为(2 ，13)；当点 M 的坐标为(3 ，8)时，点 N 的坐标为(2 ，3)
