1、专题 9 基本不等式1重要不等式如果 a，bR，那么 a2b 2 2ab(当且仅当 ab 时取“ ”号)2基本不等式如果 a0，b0，那么 ，当且仅当 ab 时等号成立a b2 ab3利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a， bR ，且 abM，M 为定值，则 ab ，当且仅当 ab 时等号成立M24(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a， bR ，且 abP，P 为定值，则ab2 ，当且仅当 ab 时等号成立P例 1 下列各函数中，最小值为 2 的是( )Ayx1xBy sin x ，x (0， )1sin x 2Cyx2 3x2 2Dy
2、x1x变式 1 在下列结论中，正确的是( )A若 a，bR，则 2 2ab ba abbaB若 a，bR ，则 lg alg b2 lg alg bC函数 yx (10，y 0， 2，求 xy 的最小值2x 5y变式 2 若 2a3b6(a0，b0)，则 的最小值为( )2a 3bA. B. C. D4256 83 113例 3 求函数 yx ，x (0，c )的最小值1x变式 3 求函数 y 的值域xx2 1A 级1若 x，yR ，且 xy 1 ，则 的取值范围是( )1x 1yA(2，) B2 ，)C(4，) D4，)2设 a0，b0，且不等式 0 恒成立，则实数 k 的最小值等于( )1
3、a 1b ka bA0 B4 C4 D23若 x0，y0，且 xy 4 ，则下列不等式中恒成立的是( )A. B. 11x y 14 1x 1yC. 2 D. 1xy1xy4若 log4(3a4b)log 2 ，则 ab 的最小值是( )abA62 B723 3C64 D743 35设 a2，则 a 的最小值是_1a 26已知 xy0，xy1，则 的最小值为_x2 y2x y7已知 x0，y 0，lg xlg y1，求 的最小值2x 5yB 级8设 a0，b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( )31a 1bA8 B4 N C1 D.149设正实数 x，y ，z 满足 x23x
4、y4y 2z0.则当 取得最小值时， x2y z 的最大值为( )zxyA0 B. C2 D.98 9410在 4960 的两个中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上_和_11在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分) ，则其边长 x 为_ m.12设 x1，则函数 y 的最小值是_x 5x 2x 113某建筑公司用 8 000 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每层 4 000 平方米的楼房经初步估计得知，如果将楼房建为 x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为 Q(x)3 00050x(单位：元 )为了使楼房每平方米的平
5、均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 )购 地 总 费 用建 筑 总 面 积详解答案典型例题例 1 D 对于 A，当 x1)，2x 5y 5x2x 1所以 xy 5x22x 1 5x 1 122x 1 (x1) 2 (22)105x 12 2x 1 12x 1 52 1x 1 52(当且仅当 x2，y5 时取等号)变式 2 A ( ) (4 9) (1326) (当且仅当 ab2a 3b 2a 3b6 2a 3b 16 6ab 6ba 16 256时取等号)65例 3 解 x0，x 2，当且仅当 x ，
6、即 x1 时取等号1x 1x若 c1，则 y x ，x(0， c)的最小值为 2；若 01 时函数最小值为 2；00 时，y ，由 x 2( 当且仅当 x ，即 x1 时取等号)1x 1x 1x 1x得 00，y 0，由 xy 4，得 1，x y4 (xy)( ) (2 ) (22) 1.1x 1y 14 1x 1y 14 yx xy 144D 由题意得Error! 所以 Error!又 log4(3a4b)log 2 ，ab所以 log4(3a4b)log 4ab，所以 3a4bab，故 1.4a 3b所以 ab(ab)( )7 72 74 ，4a 3b 3ab 4ba 3ab4ba 3当且
7、仅当 时取等号故选 D.3ab 4ba54解析 a2，a20.a (a2) 2224.1a 2 1a 2当且仅当 a2 ，即 a3 时，等号成立1a 262 2解析 xy1，xy0，xy 0， x2 y2x y x y2 2xyx y x y2 2x y(xy) 2x y2 2 .x y 2x y 2当且仅当Error!，即Error! 时取等号， 的最小值为 2 .x2 y2x y 27解 方法一 由已知条件 x0，y0，lg xlg y1，可得 xy10.则 2.2x 5y 2y 5x10 210xy10所以 min2，当且仅当Error!，即Error! 时等号成立(2x 5y)方法二
8、由已知条件 x0，y0，lg xlg y1，可得 xy10. 2 2 2(当且仅当Error!，即Error!时等号成立)2x 5y 2x5y 10108B 因为 3a3b3，所以 ab1， (ab)( )2 1a 1b 1a 1b ba ab22 4，当且仅当 ，即 ab 时， “”成立，故选 B.baab ba ab 129C 由题意知：zx 23xy4y 2，则 31，当且仅当 x2y 时取等号，此时 zxy2y 2.zxy x2 3xy 4y2xy xy 4yx所以 x2yz2y 2y2y 22y 24y 2( y1) 222.106 4解析 设两数为 x，y ，即 4x9y60，又
9、( ) (13 ) (1312) ，当且仅当 ，且1x 1y 1x 1y 4x 9y60 160 4xy 9yx 160 512 4xy 9yx4x9y60，即 x6，y4 时，等号成立1120解析 如图所示，ADEABC，设矩形的面积为 S，另一边长为 y，则 2 2.S ADES ABC (40 y40 ) (x40)所以 y40x，则 Sx (40 x)(x20) 220 2，所以当 x20 时，S 最大129解析 x1，x 10，设 x1t0，则 xt1，于是有 y t 4t 1t t2 5t 4tt 52 59，4t t4t当且仅当 t ，即 t2 时取等号，此时 x1.4t当 x1 时，函数 y 取得最小值 9.x 5x 2x 113解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，依题意得f(x)Q(x) 8 00010 0004 000x50x 3 000( x12，xN) ，20 000xf(x)50x 3 00020 000x2 3 00050x20 000x5 000(元) 当且仅当 50x ，即 x20 时上式取“” 因此，当 x20 时，f(x )取得最小值 5 20 000x000(元)所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为 20 层，每平方米的平均综合费用最小值为 5 000 元
