1、2.3 等差数列的前 n 项和【选题明细表】知识点、方法 题号等差数列前 n 项和公式的基本应用 1、2、3、9、13等差数列前 n 项和的性质 5、10、11等差数列前 n 项和的最值 4、7、12an与 Sn的关系及应用 6、8基础巩固1.(2015 滁州高二期末)设 Sn是等差数列a n的前 n 项和,S 15=30,则 a8等于( C )(A) (B)1 (C)2 (D)4解析:因为 S15= =15a8=30,所以 a8=2.故选 C.2.(2015 惠州一模)设 Sn是等差数列a n的前 n 项和,a 1=2,a5=3a3,则S9等于( B )(A)-72 (B)-54 (C)54
2、 (D)72解析:a 1=2,a5=3a3得 a1+4d=3(a1+2d),即 d=-a1=-2,所以 S9=9a1+ d=92-98=-54,故选 B.3.等差数列a n中,a 1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n 等于( B )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12解析:因为 a3+a5=2a4=14,所以 a4=7,d= =2,Sn=na1+ d=n+ 2=n2=100,所以 n=10.故选 B.4.已知等差数列a n中,|a 5|=|a9|,公差 d0,则使得前 n 项和 Sn取得最小值时的正整数 n 的值是( C )(A)4 和 5 (B)5 和 6(
3、C)6 和 7 (D)7 和 8解析:依题意 a50,且 a5+a9=02a1+12d=0a1+6d=0,即 a7=0,故前6 项与前 7 项的和最小,故选 C.5.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 S9等于( B )(A)45 (B)81 (C)27 (D)54解析:因为数列a n是等差数列,所以 S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.所以 S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即 9+S9-36=2(36-9),解得 S9=81.故选 B.6.Sn为等差数列a n的前 n 项和,S 2=S6,a4=1,则 Sn= . 解析:由题意知 S6-S2=a3
4、+a4+a5+a6=2(a4+a5)=0,又 a4=1,所以 a5=-1,所以 d=-2,a1=a4-3d=1+6=7.所以 Sn=7n+n(n-1)(-2)=-n2+n+7n=-n2+8n.答案:-n 2+8n7.在等差数列a n中,a 1=32,an+1=an-4,则当 n= 时,前 n 项和Sn取最大值,最大值是 . 解析:因为 d=an+1-an=-4,所以 an=-4n+36.令 an=-4n+360,得 n9,所以 n=8 或 9 时,S n最大,且 S8=S9=144.答案:8 或 9 1448.已知数列a n中,a 1=1,前 n 项和 Sn= an.(1)求 a2,a3;(2
5、)求a n的通项公式.解:(1)由 S2=a2得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2=3a1=3,由 S3=a3,得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知当 n=1 时,a 1=1.当 n2 时,有 an=Sn-Sn-1= an- an-1整理得 an= an-1于是 a2=a1,a3=a2,an-1= an-2,an= an-1,将以上 n-1 个等式中等号两端分别相乘,整理得 an= .综上可知,a n的通项公式为 an= .能力提升9.等差数列a n的前 n 项和是 Sn,若 a1+a2=5,a3+a4=9,则 S10的值为( B )(A)55
6、 (B)65 (C)60 (D)70解析:设 a1+a2=b1=5,a3+a4=b2=9,则b n是以首项 b1=5,公差为 4 的等差数列,b 5=b1+44=21,所以 S10=b1+b2+b5= = =65.故选 B.10.在等差数列a n中,已知 S4=1,S8=4,设 S=a17+a18+a19+a20,则 S 等于( B )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析:S 4=1,S8=4S8-S4=3S12-S8=5S16-S12=7S=S20-S16=9.故选 B.11.等差数列a n和b n的前 n 项和分别是 Sn、T n,且 =,则 = .解析: = = = = =.答
7、案:12.在等差数列a n中,已知 a4=7,S6=45.(1)求数列a n的通项公式;(2)当 n 取何值时,S n取最大值,并求出最大值.解:(1)联立解得 所以 an=a1+(n-1)d=11-n.(2)由(1)知 Sn=-n2+ n(nN *)所以当 n=10 或 11 时 Sn最大,且(S n)max=S10=S11=55.探究创新13.设 Sn为等差数列a n的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则 k 的值为( A )(A)8 (B)7 (C)6 (D)5解析:设等差数列a n的公差为 d,则 2d=a3-a1=4,得 d=2,所以 an=1+2(n-1)=2n-1,由 Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,解得 k=8.故选 A.
