1、1.3.2 球的体积和表面积 【选题明细表】 知识点、方法 题号球的表面积、体积 1、4、6、7、8、10与球有关的三视图 3、11与球有关的“切”、“接”问题 2、5、9基础巩固1.两个球的半径之比为 23,那么这两个球的表面积之比为( B )(A)23 (B)49 (C) (D)827解析:设两球的半径分别为 r1,r2,表面积分别为 S1,S2,则 = = = .故选 B.2.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A)3a 2 (B)6a 2 (C)12a 2(D)24a 2解析:根据题意
2、球的半径 R满足(2R) 2=6a2,所以 S 球 =4R 2=6a 2,故选 B.3.(2014南安一中高一期末)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( D )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12解析:由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体,其表面积 S=4R 2+2r 2+2rh,代入数据得 S=4+2+23=12.故选 D.4.(2015唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1、S 2,则S1S 2等于( C )(A)11 (B)21 (C)32 (D)41解析:由题意可得圆柱
3、的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为 1,则 S1=6,S 2=4.所以 S1S 2=32,故选 C.5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为 4,底面边长都为 2,则这个球的表面积是 . 解析:长方体的体对角线长为 =2 ,球的直径是 2R=2 ,所以 R= ,所以这个球的表面积 S=4( )2=24.答案:246.(2015河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为 6 cm,深为 1 cm的空穴,则该球半径是 cm,表面积是 cm 2. 解析:设球心为 O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的
4、小圆圆心为 D,AB为小圆 D的一条直径,设球的半径为 R,则 OD=R-1,则(R-1) 2+32=R2,解之得 R=5 cm,所以该球表面积为 S=4R 2=45 2=100(cm 2).答案:5 1007.(2015大同一中高二(上)月考)如图所示(单位:cm)四边形 ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕 AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解: S 球 = 42 2=8(cm 2),S 圆台侧 =(2+5) =35(cm 2),S 圆台下底 =5 2=25(cm 2),即该几何体的表面积为8+35+25=68(cm 2).又 V 圆台 = (22+25+52)4=52(cm 3),V
5、 半球 = 23= (cm3).所以该几何体的体积为V 圆台 -V 半球 =52- = (cm3).能力提升8.(2014景德镇高二期末)已知三棱柱 ABC A1B1C1的 6个顶点都在球O的球面上,若 AB=3,AC=4,ABAC,AA 1=12,则球 O的表面积为( C )(A)153 (B)160 (C)169 (D)360解析:如图,由题意得 BC=5,O1A= BC= ,OO1= AA1=6,则球半径 r=OA= ,S 球 =4r 2=169.故选 C.9.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为( A )(A)127 (B)19 (C)
6、13 (D)91解析:设四面体的内切球半径为 r,外接球半径为 R,四面体各面面积为 S,则 4 Sr= S(R+r),解得 R=3r,所以四面体的内切球和外接球的体积之比为 127.故选 A.10.(2015河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为 2,求球的体积.解:如图所示,作出轴截面,因为ABC 是正三角形,所以 CD= AC=2,所以 AC=4,AD= 4=2 ,因为 RtAOERtACD,所以 = .设 OE=R,则 AO=2 -R,所以 = ,所以 R= .所以 V 球 = R 3= = .所以球的体积等于探究创新11.一个半径为 1的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,求剩余几何体的体积和表面积.解:如图,该几何体是把球的上半部分平均分为 4份后,切去相对的两部分后剩余的几何体,体积 V= - =,表面积 S=4-4 + 32= .
