1、专题五 圆的综合1.已知：如图，O是ABC的外接圆， ，点D 在边 BC上，AEBC，AEBD.AB AC (1)求证：ADCE；(2)如果点G在线段 DC上( 不与点D重合)，且AGAD，求证：四边形 AGCE是平行四边形证明：(1)在O中， ，AB AC ABAC ，B ACB.AEBC，EACACB，BEAC.在ABD和CAE中，AB CA B EACBD AE， )ABDCAE(S.A.S.)，ADCE；(2)连结AO并延长，交边BC于点H. ，OA为半径，AB AC AHBC， BHCH.ADAG，DHHG，BHDHCHGH，即BDCG.BDAE，CGAE.CGAE.四边形AGCE是
2、平行四边形2已知：如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC 4 ，以AC为直径的O 交AB于点D，点E是3BC的中点，连结 OD，OB ，DE 相交于点F.(1)求证：DE 是 O的切线；(2)求EF FD的值解：(1)连结CD.ACB90，AC 4，BC4 ，3AB 8，AC2 BC2 42 （43）2ABC30，BAC 60，ODA60.又AC为直径，CDA90，即CDB为直角三角形，而E点为斜边BC 的中点，DEBEEC，BDEDBE30，ODE 180 BDE ADO90，DE是O的切线；(2)连结OE.OAD为等边三角形，ADOA2，BDAB AD826.在Rt OEC中，OE
3、 4，EC2 OC2又OE为CBA 的中位线，OEAB，EFFDOEBD 4623.3如图，AB是O的直径，BP 是O的弦，弦CDAB于点F，交BP 于点G ，E在DC的延长线上，EP EG.(1)求证：直线EP 为O的切线；(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG 2BFBO，试证明：BGPG；(3)在满足(2)的条件下，已知O的半径为3，sinB ，求弦CD的长33解：(1)连结OP.EPEG，EPGEGP.又EGPBGF，EPGBGF.OPOB，OPB OBP.CD AB，BFG BGFOBP90，EPGOPB90，即OP EP ，直线EP为O的切线；(2) 连结OG.BG 2B
4、FBO ， ，BFGBGO，BGBO BFBGBGOBFG90，BGPG；(3) 连结AC ，BC.sinGBO ， .33 OGOB 33OBr3，OG ，由(2)得GBO BGF OGF BGF 90，3GBOOGF ，sinOGF ，33 OFOGOF1，BF BOOF312，FAOFOA134.AB为O的直径，ACBACFBCF90.ACF A90，BCFA，BCFCAF， ，CFAF BFCFCF 2 BFFA，CF 2 ，BFFA 24 2CD2CF4 .24如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB6，延长BA到F，使FAAB.若P为线段AF上一个动点(P点与A点不重合) ，过P 点
5、作半圆的切线，切点为C ，作CDAB，垂足为D.过B点作BE PC，交PC的延长线于点E，连结AC，DE.(1)判断线段AC，DE 所在直线是否平行，并证明你的结论；(2)设AC 为x，ACBE为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围解：(1)线段AC，DE 所在的直线平行证明：CDAB，BEPE，CPD BPE ，Rt PCDRtPBE， .PCPB PDPEPC与 O相切于 C点，PAB为O 的割线，PC 2 PAPB， ，PCPB PAPC .CPAEPD，PAPC PDPECPA EPD，PCAPED，ACDE；(2)连结BC.AB是半圆的直径，ACB90，AC 2BC 2
6、AB 2.ACx，AB6，BC 26 2x 236x 2.PC与半圆相切于点C， BACBCE.ACBBEC90，Rt ABC RtCBE， ，ABBC CBBEBE .BC2AB 36 x26yACBE，yx ，36 x26y x2x6.16P点与A点不重合， AC0.当点P与点F重合时，AC的值最大，此时 PC 6 .PAPB 2又PP，PBCPCA，PCA PBC， ，BC AC.ACCB PCPB ACPBPC 2又AC 2BC 2AB 2，AC 2( AC)236，2AC2 ，3y x2x6(0x2 )16 35如图，在AOB中，AOB为直角，OA6，OB8, 半径为2的动圆圆心Q从
7、点O出发，沿着OA方向以1个单位/ s的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位/s的速度匀速运动，设运动时间为 t s(0t5) ，以P 为圆心、PA 长为半径的P与AB，OA的另一个交点分别为C，D，连结CD，QC.(1)当t为何值时，点Q 与点D重合？(2)当Q经过点 A时，求P 被OB 截得的弦长；(3)若P与线段QC只有一个公共点，求t 的取值范围解：(1)OA6，OB 8，由勾股定理得AB10.由题意知OQAPt，AC2t.AC是P的直径，CDA90，CDOB，ACDABO， ，ACAB ADOAAD1.2t.当Q与D重合时，ADOQOA，1.2 tt6，解得t
8、 .3011图t为 s时，点Q与点D重合；3011(2)当Q经过A点时，如图，OQOAQA4，t 4 s，41PA4，BPABPA 6.过点P作PE OB于点E，P与OB相交于点F，G ，连结PF，PEOA，PEB AOB， ，PE3.6，PEOA BPAB由勾股定理得EF ，2195由垂径定理知FG2EF ；4195图(3)当QC 与P相切时，如图，此时QCA90.OQAPt，AQ6t，AC2t.AA, QCAABO，AQCABO， ，AQAB ACOA ，t ，6 t10 2t6 1813当0t 时，P与QC只有一个交点，当QCOA时， 此时Q与D 重合， 由(1)可知t ，1813 3011当 t5时，P与QC只有一个交点3011综上所述，当P与线段QC 只有一个公共点，t的取值范围为： 0t 或 t5.1811 3011
