1、1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【选题明细表】 知识点、方法 题号求几何体的侧面积与表面积 1、2、3、7求几何体的体积 4、9组合体的表面积与体积 5、6综合问题 8、10、11基础巩固1.(2014 兰州五十五中高一期末)各棱长均为 a 的三棱锥的表面积为( D )(A)4a2(B)3a2(C)2a2(D) a2解析:三棱锥的表面积 S=4 a2sin 60= a2.故选 D.2.(2014 莱州高二期末)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( B )(A)6 (
2、B)12(C)18 (D)24解析:由三视图知,该几何体是圆台,两底面半径分别为 r=1,r=2,母线 l=4,则 S 侧 =(r+r)l=(1+2)4=12.故选 B.3.(2015 吕梁学院附中高二(上)月考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( B )(A)32 (B)16+16(C)48 (D)16+32解析:由题意知该几何体为四棱锥,其高为 2,底面是边长为 4 的正方形,S 侧 = 4 4=16 ,S 底 =44=16,S 表 =16+16 ,故选 B.4.(2015 大同一中高二(上)月考)网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(
3、 B )(A)6 (B)9 (C)12 (D)18解析:该几何体是三棱锥,三棱锥的高为 3;底面三角形是斜边长为 6,高为 3 的等腰直角三角形,此几何体的体积为 V= 633=9,故选 B.5.(2015 吕梁学院附中高二(上)月考)某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为( C )(A)92+24 (B)82+14 (C)92+14 (D)82+24解析:由三视图知几何体是半圆柱与长方体的组合体,下面长方体的长、宽、高分别为 5、4、4;上面半圆柱的半径为 2,高为 5;所以几何体的表面积 S=S 半圆柱侧 +S 长方体侧 +S 长方体底 +2S 半圆柱
4、底=25+2(4+5)4+45+2 2=92+14,故选 C.6.(2015 安庆市石化一中高二(上)期中)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm 3. 解析:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边长分别为 3,4,侧面的高为 5,被截取的棱锥的高为 3.如图:V=V 棱柱 -V 棱锥 = 345- 343=24(cm3).答案:247.(2015 蚌埠市五河高中高二(上)期中)圆锥的侧面展开图是圆心角为 120、半径为 2 的扇形,则圆锥的表面积是 . 解析:因为圆锥的侧面展开图是圆心角为 120、半径为 2 的扇形,所以圆锥的侧面积等
5、于扇形的面积= = ,设圆锥的底面圆的半径为 r,因为扇形的弧长为 2= ,所以 2r= ,所以 r= ,所以底面圆的面积为 .所以圆锥的表面积为 ,答案: 能力提升8.(2015 山西山大附中高二(上)期中)在三棱锥 P ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为 a,则点 P 到平面 ABC 的距离为( C )(A)a (B) a(C) a(D) a解析:设点 P 到平面 ABC 的距离为 h,因为三条侧棱两两垂直,且侧棱长为 a,所以 AB=BC=AC= a,所以 SABC = a2,根据 = ,可得 a3= a2h,所以 h= a,即点 P 到平面 ABC 的距离为 a,故选 C.9.
6、(2015 山西忻州高二期中联考)如图,已知三棱柱 ABC A1B1C1,点P、Q 分别在棱 AA1和 CC1上,AP=C 1Q,则平面 BPQ 把三棱柱分成两部分的体积比为( A )(A)21 (B)31(C)32 (D)43解析:设三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V,连接 BA1,BC1,因为点 P、Q 分别在棱 AA1和 CC1上,AP=C 1Q,所以四棱锥 B APQC,B C1QPA1的底面积相等.把三棱柱 ABC A1B1C1分割为 B APQC,B C1QPA1,B B1A1C1,三棱锥 B B1A1C1的体积为 V,所以四棱锥 B APQC,B C1QPA1的体积之和为V
7、- V= ,因为四棱锥 B APQC,B C1QPA1的底面积、高相等.所以四棱锥 B APQC,B C1QPA1的体积相等,即为 V,所以棱锥 B APQC,B C1QPA1,B B1A1C1的体积相等,为 V,所以平面 BPQ 把三棱柱分成两部分的体积比为 21,故选 A.10.(2015 吕梁学院附中高二(上)月考)有一块扇形铁皮 OAB,AOB=60,OA=72 cm,要剪下来一个扇环形 ABCD,做圆台形容器的侧面,并在余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面),试求:(1)AD 应取多长?(2)容器的容积是多少?解:(1)如图,设圆台上、下底
8、面半径分别为 r、R,AD=x,则 OD=72-x,由题意得解得 R=12,r=6,x=36,所以 AD=36 cm.(2)圆台所在圆锥的高 H= =12 ,圆台的高 h= =6 ,所以 V 容 = (r 2+rR+R 2)h=504 cm 3.探究创新11.(2014 连云港高一期末)如图,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2,P是 BC 的中点,点 Q 是棱 CC1上的动点.(1)点 Q 在何位置时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥 B1 DBQ 的体积;(3)若点 Q 是棱 CC1的中点时,记过点 A,P,Q 三点的平面截正方体所得截面面积为 S,求 S.解:(1)当 Q 是棱 CC1的中点时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点,理由:延长 D1Q、DC 交于点 O,则 QC 为DD 1O 的中位线,所以 C 为 DO 的中点,延长 AP、DC 交于点 O,则 PC 为ADO的中位线,所以 C 为 DO的中点,所以点 O 与点 O重合,所以直线 D1Q、DC、AP 交于一点.(2) = = （ 22）2= .(3)连接 AD1、PQ,由(1)知,AD 1PQ,所以梯形 APQD1为所求截面,梯形 APQD1的高为 = ,S= ( +2 ) = .
