1、 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 【选题明细表】 知识点、方法 题号空间中直线之间的位置关系 1、5、9、11平行公理与等角定理 2、3、4、8、13异面直线所成的角 6、7、10、12基础巩固1.下列说法正确的个数是( A )(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可
2、能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.故选 A.2.已知 ABPQ,BCQR,若ABC=30,则PQR 等于 ( B )(A)30 (B)30或 150(C)150 (D)以上结论都不对解析:由等角定理知,PQR=30或 150,故选 B.3.(2014 淮南高二期末)下列正方体或正四面体中,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析:由平行公理可得 A 中 PRQS,B 中 PSQR,C 中 PQRS,因此选项 A、B、C 中四点 P、Q、R、S 均共面.D 中过 Q、R、S 三点有惟一的
3、一个平面,且 P 不在此平面内,因此 P、Q、R、S 不共面,故选 D.4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( B )(A)空间四边形 (B)矩形(C)菱形 (D)正方形解:如图,E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 各边中点,则 EF AC,HG AC.所以 EFGH 为平行四边形.又 FGBD,ACBD,所以 EFFG,所以四边形 EFGH 为矩形,故选 B.5.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( C )(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线解析:c 与 b 可能相交或异面
4、,不可能平行,故选 C.6.如图,在三棱锥 A BCD 中,E,F,G 分别是 AB,BC,AD 的中点,GEF=120,则 BD 和 AC 所成角的度数为 . 解析:依题意知,EGBD,EFAC,所以GEF 所成的角或其补角即为异面直线 AC 与 BD 所成的角,又GEF=120,所以异面直线 BD 与 AC所成的角为 60.答案:607.如图所示,已知正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是 AD,AA1的中点.(1)直线 AB1和 CC1所成的角为 ; (2)直线 AB1和 EF 所成的角为 . 解析:(1)因为 BB1CC 1,所以AB 1B 即为异面直线 AB1与 CC1
5、所成的角,AB 1B=45.(2)连接 B1C,易得 EFB 1C,所以AB 1C 即为直线 AB1和 EF 所成的角.连接 AC,则AB 1C 为正三角形,所以AB 1C=60.答案:(1)45 (2)608.如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,BAD=FAB=90,BC AD,BE FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点.(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形;(2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?(1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH AD.又 BC AD,所以 GH BC,所以四边形 BCHG 为平行四边形.(2)解:四点共面.理由:由
6、BE AF,G 为 FA 的中点知,BE FG,所以四边形 BEFG 为平行四边形,所以 EFBG.由(1)知 BG CH,所以 EFCH,所以 EF 与 CH 共面.又 DFH,所以C、D、F、E 四点共面.能力提升9.(2015 吕梁学院附中高二(上)月考)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,BM 与 ED 平行;CN 与 BE 是异面直线;CN 与 BM 成 60角;DM 与 BN 是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是( C )(A) (B) (C) (D)解析:由题意画出正方体的图形如图:显然不正确;CN 与 BM 成 60角,即ANC=60,正确;正确,故选 C.10.
7、将正方体的纸盒展开如图,直线 AB、CD 在原正方体中所成的角为 .解析:将展开图复原,可得如图所示的正方体.所以 AB、CD 在原正方体中所成的角为 60.答案:6011.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 ac;若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交;若 a平面 ,b平面 ,则 a,b 一定是异面直线;若 a,b 与 c 成等角,则 ab.上述命题中正确的命题是 (只填序号). 解析:中,由公理 4 知,正确;中,a 与 c 可相交,可平行,可异面,错误;中,a,b 可能平行,相交,异面,故错;中,a,b 可能平行,相交,异面,故错.
8、答案:12.如图,正方体 ABCD EFGH 中,O 为侧面 ADHE 的中心,求:(1)BE 与 CG 所成的角;(2)FO 与 BD 所成的角.解:(1)如图,因为 CGBF,所以EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角,又BEF 中,EBF=45,所以 BE 与 CG 所成的角为 45.(2)连接 FH,因为 HDEA,EAFB, 所以 HDFB, 所以四边形 HFBD 为平行四边形,所以 HFBD,所以HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角.连接 HA、AF,易得 FH=HA=AF,所以AFH 为等边三角形,又依题意知 O 为 AH 的中点,所以HFO=3
9、0,即 FO 与 BD 所成的角是 30.探究创新13.(2015 合肥一中月考)如图,E,F,G,H 分别是三棱锥 ABCD 的边AB,BC,CD,DA 上的点,且 = =, = =.(1)若 =,判断四边形 EFGH 的形状;(2)若 ,判断四边形 EFGH 的形状;(3)若 = ,且 EGHF,求 的值.解:(1)因为 = =,所以 EHBD,且 EH= BD.又因为 = =.所以 FGBD,且 FG= BD.又 =,所以 EHFG( 公理 4).因此 = 时,四边形 EFGH 为平行四边形.(2)若 ,由,知 EHFG,但 EHFG,因此 时,四边形 EFGH 为梯形.(3)因为 =,所以四边形 EFGH 为平行四边形.又因为 EGHF,所以四边形 EFGH 为菱形.所以 FG=HG.所以 BD= FG=3FG,AC=(+1)HG= HG= FG,所以 = .
