1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义,1.理解并掌握向量数乘的定义及其几何意义,会作向量ma+nb.2.熟练掌握和运用向量数乘的运算律,会化简向量关系式,并能用已知向量表示未知向量.3.掌握向量共线定理,会判定或证明两个向量共线.,1,2,3,4,1.向量的数乘,1,2,3,4,1,2,3,4,【做一做1】 已知非零向量a,b满足a=4b,则()A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反解析:a=4b,40,|a|=4|b|.4b与b的方向相同,a与b的方向相同.答案:C,1,2,3,4,2.向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律:设,为实数,则(1)(
2、a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b(分配律).特别地,我们有(-)a=-(a)=(-a),(a-b)=a-b.,1,2,3,4,【做一做2】 3(2a-4b)等于()A.5a+7bB.5a-7bC.6a+12bD.6a-12b解析:原式=32a-34b=6a-12b.答案:D,1,2,3,4,3.共线向量定理向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b=a.归纳总结1.向量共线的条件:当向量a=0时,a与任一向量b共线;当向量a0时,对于向量b,如果有一个实数,使b=a,那么由实数与向量的积的定义知b与a共线.反之,已知向量b与a(a0)共线且向量b的长度是
3、向量a长度的倍,即|b|=|a|,那么当b与a同方向时b=a,当b与a反方向时b=-a.3.如果非零向量a与b不共线,且a=b,那么=0.,1,2,3,4,1,2,4,3,4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有(1a2b)=1a2b.,1,2,4,3,共线向量定理的应用剖析:共线向量定理可以分为两个定理:判定定理:如果存在一个实数满足b=a(a0),那么ab.性质定理:如果ab,a0,那么存在唯一一个实数,使得b=a.(1)判定定理的结论是ab,那么用共线向量定理可以证明两个向量共线.此时证明向量ab,只需找到满足a=b或b
4、=a的实数的值即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思向量的数乘运算类似于代数式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 已知向量a,b,如图,求作向量2a-3b.分析:分别作出有相同起点的向量2a与3b,利用三角形法则作出向量2a-3b.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,
