1、专题跟踪突破 12 几何探究题1(2017河南)如图，在 RtABC 中，A 90，AB AC，点 D，E 分别在边AB，AC 上，AD AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点(1)观察猜想图中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 PMPN，位置关系是 PMPN；(2)探究证明来源:学优高考网 gkstk把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图的位置，连接 MN，BD，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面积的最大值( 导学号 21334252)解：(2)由旋转知，BAD
2、CAE，ABAC ，ADAE， ABDACE( SAS)，ABDACE，BDCE，同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN BD，PM CE，PMPN，12 12PMN 是等腰三角形，同(1)的方法得，PMCE，DPMDCE，同(1)的方法得，PN BD，PNCDBC，DPN DCBPNCDCBDBC ，MPN DPM DPNDCEDCB DBCBCEDBCACBACEDBC ACB ABDDBCACB ABC，BAC90，ACBABC90，MPN90，PMN 是等腰直角三角形；(3)如解图，同(2) 的方法得，PMN 是等腰直角三角形，MN 最大时，PMN 的面积最大 ，在AMN 中，MN
3、AMAN ，当 A、M、N 共线时 MN 最大DEBC 且 DE 在顶点 A 上面，MN 最大 AMAN，连接 AM，AN，在ADE 中， ADAE 4，DAE90，AM2 ，2在 RtABC 中 ，AB AC10，AN5 ，2MN 最大 2 5 7 ，2 2 2S PMN 最大 PM2 MN2 (7 )2 .12 12 12 14 2 4922(2017乐山)在四边形 ABCD 中，B D 180，对角线 AC 平分BAD.(1)如图，若BAD 120，且B 90，试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由；(2)如图，若将(1) 中的条件“B90”去掉，(1)中的结论是否成
4、立？请说明理由；(3)如图，若BAD 90，探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由解：(1)AC AD AB.理由如下：已知B90 ，D90.DAB120，AC 平分DAB ，DACBAC60，又B90，ACB30，AB AC，同理 AD AC.来源:gkstk.Com12 12AC ADAB；(2)(1)中的结论成立，理由如下：如解图，以 C 为顶点，AC 为一边作ACE60，ACE 的另一边交 AB 的延长线于点 E，,图) ,图) 来源:学优高考网BAC60.AEC 为等边三角形，ACAECE，DABC 180，DAB 120，DCB60，DCB ACE60，DCABC
5、E，DABC 180 ，ABCCBE 180，DCBE，DACBEC ，ADBE，AEABBE AB AD，ACADAB; (3)ADAB AC.理由如下：2如解图，过点 C 作 CEAC 交 AB 的延长线于点 E，DABC 180，DAB 90，DCB90，ACE90，ACE90，DCABCE.又AC 平分DAB，CAB45，E45，ACCE. 来源:学优高考网又DABC 180，D CBE，CDACBE，ADBE，ADABAE，在 RtACE 中CAB 45 ，AE AC.AD AB AC.ACcos45 2 23(2017安徽)已知正方形 ABCD，点 M 为边 AB 的中点(1)如图
6、，点 G 为线段 CM 上的一点，且AGB90 ，延长 AG，BG 分别与边BC，CD 交于点 E，F.求证：BECF；求证：BE 2BCCE.(2)如图，在边 BC 上取一点 E.满足 BE2BCCE，连接 AE 交 CM 于点 G，连接 BG并延长交 CD 于点 F.求 tanCBF 的值( 导学号 21334253)图图证明：(1)四边形 ABCD 为正方形，AB BC ，ABCBCF90.又AGB90，BAEABG 90.又ABGCBF90，BAECBF，ABEBCF(ASA )，BE CF ；AGB90，点 M 为 AB 的中点，MGMA MB. GAM AGM.又CGEAGM，从而
7、CGECBG.又ECG GCB，CGECBG. ，即 CG2BCCE.由CFGGBMBGMCGF 得 CFCG.CECG CGCB由知，BECF，BECG.BE 2BC CE，(2)解：延长 AE，DC 交于点 N，如解图由于四边形 ABCD 是正方形，ABCD，NEAB，又CEN BEA，CENBEA.故 ，CEBE CNBA即 BE CNAB CE.ABBC，BE 2BCCE，ABDN ， .CNAM CGGM CFMB又AM MB，FC CNBE ，不妨假设正方形边长为 1.设 BEx，则由 BE2BC CE 得 x21(1x)，解得 x1 ，x 2 (舍去)，5 12 5 12 .BE
8、BC 5 12于是 tanCBF .FCBC 5 124(2017山西)综合与实践【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五” ，它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为 345 的三角形称为(3，4， 5)型三角形例如：三边长分别为 9，12，15 或 3 ，4 ，5 的三角形就是2 2 2(3，4， 5)型三角形用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形【实践操作】如图.在矩形纸片 ABCD 中，AD8 cm，AB 12 cm.第一步：如图.将图中的
9、矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在 AB 上的点 E 处折痕为 AF，再沿 EF 折叠然后把纸片展平第二步：如图.将图中的矩形纸片再次折叠，使点 D 与点 F 重合，折痕为 GH，然后展平 ，隐去 AF.第三步：如图.将图中的矩形纸片沿 AH 折叠，得到 ADH.再沿 AD折叠，折痕为AM，AM 与折痕 EF 交于点 N，然后展平【问题解决】(1)请在图中证明四边形 AEFD 是正方形；(2)请在图中判断 NF 与 ND的数量关系并加以证明；(3)请在图中证明AEN 是 (3，4，5)型三角形；【探索发现】(4)在不添加字母的情况下，图中还有哪些三角形是(3 ，4，5)
10、型三角形？请找出并直接写出它们的名称(1)证明：四边形 ABCD 是矩形 ，D DAE90，由折叠知：AEAD，AEF D90，DDAEAEF90，四边形 AEFD 是矩形，AEAD ，矩形 AEFD 是正方形；(2)解：NFND；证明：如解图，连接 HN，由折叠知：ADHD90，HFHDHD.四边形 AEFD 是正方形，EFD90，ADH90，HD N 90，来源:学优高考网在 RtHNF 和 RtHND中 ， HN HN，HF HD， )Rt HNFRtHND(HL)，NF ND ； (3)解：四边形 AEFD 是正方形，AEEFAD8 cm，由折叠知：ADAD8 cm，设 NFx cm，则 NDx cm，在 Rt AEN 中，由勾股定理得 AN2AE 2 EN2，即(8x) 28 2(8 x) 2，解得 x2，AN8x10 cm，EN8x6 cm，ENAE AN6810345，AEN 是(3，4，5)型三角形；(4)解：MFN，MDH，MDA.
