1、4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用一、基础达标1圆(x2) 2y 24 与圆(x2) 2( y1) 29 的位置关系为 ( )A内切 B相交C外切 D相离答案 B解析 两圆圆心分别为(2,0)，(2,1) ，半径分别为 2 和 3，圆心距 d .42 1 1732 d3 2，两圆相交2圆 C1：x 2y 22x 2y20 和圆 C2：x 2y 24x 2y10 的公切线的条数为 ( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 圆 C1：(x 1) 2(y1) 24，圆心 C1(1，1) ，半径长 r12，圆C2：(x2) 2(y1) 24，圆心 C2(2,1)，半径长 r2
2、2，两圆圆心距为|C1C2| ，显然 0|C1C2|4，即|r 1r 2|C1C2|r1r 2，所以两圆相交，从13而两圆有两条公切线3一辆卡车宽 1.6 米，要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过 ( )A1.4 米 B3.5 米 C3.6 米 D2 米答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系如图设蓬顶距地面高度为 h，则 A(0.8，h 3.6)半圆所在圆的方程为：x2(y 3.6)23.6 2 把 A(0.8，h3.6)代入得 0.82h 23.6 2.h4 3.5(米)0.774已知半径为 1 的动圆与圆(x5) 2(y7) 216 相
3、切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A(x5) 2(y7) 225B(x5) 2(y7) 217 或(x5) 2(y7) 215C(x5) 2(y7) 29D(x5) 2(y7) 225 或(x 5) 2(y7) 29答案 D解析 设动圆圆心为(x ， y)，若动圆与已知圆外切，则41 ，( x5) 2(y7) 225；若动圆与已知圆内切，x 52 y 72则 4 1，x 52 y 72(x5) 2(y7) 29.5圆 C1：(x 2) 2(ym) 29 与圆 C2：(xm) 2(y1) 24 相切，则 m 的值为_答案 5，2，1,2解析 圆 C1：(x 2) 2(ym) 29 的圆心为(2，
4、m )，半径长为 3，圆C2：(xm) 2(y1) 24 的圆心为(m，1)，半径长为 2.当 C1、C 2 外切时有 32，即 m23m100，解得 m2 或 2 m2 m 12m5；当 C1、C 2 内切时有 32，即 2 m2 m 12m23m20 解得 m1 或 m2.6两圆 x2 y2xy20 和 x2y 25 的公共弦长为_.答案 2解析 由Error! Error!得两圆的公共弦所在的直线方程为 xy 3 0，圆 x2y 25 的圆心到该直线的距离为d ，| 3|1 12 32设公共弦长为 l，l2 .5 (32)2 27求圆心为(2,1) 且与已知圆 x2y 23x0 的公共弦
5、所在直线经过点(5，2)的圆的方程解 设所求圆的方程为(x2) 2(y1) 2r 2，即 x2y 24x2y5r 20 ，已知圆的方程为 x2 y23x0 ，得公共弦所在直线的方程为 x2y5r 20，又此直线经过点 (5，2)，545r 20，r 24，故所求圆的方程为(x2) 2(y 1) 24.二、能力提升8设两圆 C1，C 2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C2|( )A4 B4 2C8 D8 2答案 C解析 两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b) ，则有(4 a) 2 (1
6、a) 2a 2，(4b) 2(1b) 2b 2，即 a，b 为方程(4x )2(1x) 2x 2 的两个根，整理得 x210 x170， ab10，ab17.(a b)2(ab) 24ab 10041732，|C 1C2| 8.a b2 a b2 3229以圆 C1：x 2y 24x 10 与圆 C2：x 2y 22x2y 10 相交的公共弦为直径的圆的方程为 ( )A(x1) 2(y1) 21B(x1) 2(y1) 21C. 2 2(x 35) (y 65) 45D. 2 2(x 35) (y 65) 45答案 B解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 xy 0，因此所求圆的圆心的横、纵
7、坐标相等，排除 C，D 选项，画图可知所求圆的圆心在第三象限，排除 A.故选 B.10与直线 xy 20 和曲线 x2y 212x12y 540 都相切的半径最小的圆的标准方程是_答案 (x2) 2(y2) 22解析 曲线化为(x 6) 2(y6) 218，其圆心C1(6,6)到直线 xy 20 的距离为d 5 .过点 C1 且垂直于 xy20|6 6 2|2 2的直线为 y 6x 6，即 yx，所以所求的最小圆的圆心 C2 在直线 yx 上，如图所示，圆心C2 到直线 xy 20 的距离为 ，52 322 2则圆 C2 的半径长为 .设 C2 的坐标为(x 0，y 0)，则 ，解得2|x0
8、y0 2|2 2x02(x 00 舍去 )，所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x 2)2(y2) 22.11求过点 A(0,6)且与圆 C：x 2y 210x10y0 切于原点的圆的方程解 法一 将圆 C 化为标准方程得(x5) 2( y5) 250，则圆心坐标为(5， 5)，所以经过此圆心和原点的直线方程为 xy 0.设所求圆的方程为(x a) 2(yb) 2r 2，由题意得Error!解得Error!于是所求圆的方程是(x 3)2(y3) 218.法二 由题意知所求的圆经过点(0,0)和(0,6) ，所以圆心一定在直线 y3 上，又由法一知圆心在直线 xy 0 上，所以由E
9、rror! 得圆心坐标为(3,3)所以 r 3 ，故所求圆的方程为 (x3) 2(y3) 218.32 32 2三、探究与创新12已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.7 m，高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为 a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径 AB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为 x2y 216(y0)将 x2.7 代入，得y 3，16 2.72 8.71所以，在离中心线 2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度因此，货车不
10、能驶入这个隧道将 xa 代入 x2y 216(y0)得 y .16 a2所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为 m.16 a213已知两圆的方程 C1：x 2y 24，C 2：x 2y 22x4y40，直线l：x 2y 0，求经过 C1， C2 的交点且和直线 l 相切的圆的方程解 设所求圆的方程为 x2y 24(x 2y 22x4y4)0(不包括圆 C2)即 x2y 2 x y 0.21 41 4 11 所以所求圆的圆心为 .(11 ，21 )由圆心到直线的距离等于圆的半径，得| 11 2 21 |5 ，12 ( 21 )2 ( 41 )2 44 11 解得 1.故所求圆的方程为 x2 y2 x2 y0.
