1、第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题,主题1命题的定义及分类给出下列语句:(1)3+5=7.(2)若x2=1,则x=1.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)6能被2整除.,1.这些语句的表述形式有什么特点?提示:从这些语句可以看出,它们都是陈述句.2.能判断以上语句的真假吗?若能,请指出真假.提示:可以判断真假,其中语句(3)(4)判断为真,语句(1)(2)判断为假.,3.你发现以上语句有什么特点?提示:(1)是陈述句.(2)可判断真假.,结论:1.命题的定义:可以判断_的陈述句叫做命题.,真假,2.命题的分类:(1)_叫做真命题.(2)_叫做假命题.,判断为真的语句,判
2、断为假的语句,【微思考】1.表述命题的语句有什么特点?提示:必须是陈述句,祈使句、感叹句、疑问句等都不是命题.,2.如何判断一个数学命题是假命题?提示:数学中判断一个命题是真命题,要经过严格证明.而要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.,主题2命题的结构形式观察下列语句:(1)若整数a是素数,则a是奇数.(2)若两个三角形全等,则它们的面积相等.(3)若ab,则acbc.,1.以上语句是命题吗?提示:它们都是命题.2.你发现以上语句的结构有什么特点?由几部分构成?提示:它们都是“若p,则q”的形式,由条件和结论两部分构成.,结论:命题的结构形式命题的结构形式是_,其中_是命题的条件,_是
3、命题的结论.,“若p,则q”,p,q,【微思考】1.如何确定命题的条件和结论?提示:命题中已知的事项为条件,由已知推出的事项为结论.,2.一个命题写成“若p,则q”的形式后,如何判断命题的真假?提示:当一个命题改写成“若p,则q”的形式后,判断这种命题真假的方法是:若由p经过逻辑推理推出q,则该命题为真;若判定该命题为假,只需举出一个反例即可.,【预习自测】1.下列判断,正确的个数是()3是12的约数;是正数;52且73;22.A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选A.正确.,2.下列各项中是命题的是()A.周期函数的和是周期函数吗?B.sin 45=1C.x2+2x-10D.三角形是不是平
4、面图形呢?【解析】选B.B项中sin 45=1是命题.,3.语句“若ab,则a-cb-2c”()A.不是命题 B.是真命题C.是假命题 D.不能判断真假【解析】选C.a-cb-2c,即ab-c,当cb,但a0.,【解析】(1)(2)不是命题,(1)是祈使句.(2)是疑问句.(3)(4)是命题,其中(3)是假命题,如正数 既不是素数也不是合数.(4)是真命题,x2+4x+4=(x+2)20恒成立,x2+4x+7= (x+2)2+30恒成立.答案:(3)(4),5.下列命题:若xy=1,则x,y互为倒数;二次函数的图象与x轴有公共点;平行四边形是梯形;若ac2bc2,则ab.其中真命题是_(写出所
5、有真命题的序号).,【解析】对于,二次函数图象与x轴不一定有公共点;对于,平行四边形不是梯形.答案:,6.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.(1)乘积为1的两个实数互为倒数.(2)奇函数的图象关于原点对称.,【解析】(1)若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数.它是真命题.p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.(2)若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称.它是真命题.p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.,类型一命题的判断【典例1】下列语句:垂直于同一条直线的两条直线平行吗?一个数的算术平方根一定是非负数;,请完成第九题;若直线l
6、不在平面内,则直线l与平面平行.其中是命题的是_.【解题指南】根据命题的定义逐个判断.,【解析】不是命题,因为它不是陈述句;是命题,是假命题,因为负数没有平方根;不是命题,因为它不是陈述句;是命题,是假命题,直线l与平面还可以相交.答案:,【方法总结】判断一个语句是不是命题的关键(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)根据语句表述可以判断真假的是命题,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.,【巩固训练】判断下列语句是否是命题,并说明理由.(1) 是有理数.(2)3x25.(3)梯形是不是平面图形呢?(4)x2-x+70.,【解析】(1)“ 是有理数”是陈述
7、句,并且它是假的,所以它是命题.(2)因为无法判断“3x25”的真假,所以它不是命题.(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.,(4)因为x2-x+7= 0,所以“x2-x+70”是真的,故是命题.,类型二判断命题的真假【典例2】判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列.(2)求证:xR时,方程x2-x+2=0无实根.(3)垂直于同一直线的两条直线平行吗?(4)当x=3时,3x-80.,【解题指南】判定一个命题是假命题,只要举出一个反例即可,而要判定一个命题是真命题,一般要经过严格的推理论证.,【解析】(1)是命
8、题.当首项小于零,公比大于1时该数列为递减数列,该命题为假命题.(2)该语句为祈使句,不是命题.(3)不是命题.它是疑问句,不是命题.(4)是命题.当x=3时,3x-80,是真命题.,【延伸探究】本例中语句不变,把不是命题的语句改为真命题.【解析】(2)(3)不是命题.(2)改为真命题是:若xR,则方程x2-x+2=0无实根.(3)改为真命题是:垂直于同一直线的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面.,【方法总结】判断命题真假的三种方法,【拓展延伸】命题真假的两个关注点(1)一个命题的真假与命题所在环境有关.对其进行判断时,要注意命题的前提条件,如“若ac,bc,则ab”在平面几何中是真命题,
9、而在立体几何中却是假命题.,(2)从集合的观点看,建立集合A,B与命题中的p,q之间的一种联系:设集合A=x|p(x)成立,B=x|q(x)成立,就是说,A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合,B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合,此时,命题“若p,则q”为真,当且仅当AB时满足.,【巩固训练】(2017莆田高二检测)设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n,则mn;若,则;若m,n,则mn;若,则.,其中为真命题的是()A.B.C.D.【解析】选B.显然是正确的,结论选项可以排除C,D,然后在剩余的中选一个来判断,即可得出结果,为真命题.,【补偿训练】
10、下列命题中真命题有()mx2+2x-1=0是一元二次方程;抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;互相包含的两个集合相等;空集是任何集合的真子集.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选A.中当m=0时,是一元一次方程;中当=4+4a-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根.,(3)平行四边形的对角线互相平分.(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.【解题指南】找准命题的条件和结论,是解这类题目的关键.,【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数.是真命题.(2)若a-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根.是假命题.,(3
11、)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分.是真命题.(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2.是假命题.,【方法总结】1.将命题改写成“若p,则q”形式的方法若命题不是“若p,则q”的形式,先把它们的表述作适当的改变,明确命题的条件和结论,再写成“若p,则q”的形式,但要注意语言的流畅性.,2.判断“若p,则q”的形式命题真假的办法若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可判断“若p,则q”是真;而判断“若p,则q”是假,则只需要举出一个反例即可.,【巩固训练】把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)等腰三角形的两个底角相等.(2)当x=2或x=4时,x
12、2-6x+8=0.,【解析】命题(1):若一个三角形是等腰三角形,则它的两个底角相等.显然这个命题是真命题.命题(2):若x=2或x=4,则x2-6x+8=0.通过检验可知这个命题是真命题.,【补偿训练】将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)矩形的对角线相等.(2)当ab,cR时,ac2bc2.,【解析】命题(1):若一个四边形是矩形,则它的对角线相等.是真命题.命题(2):若ab,cR,则ac2bc2.是假命题,因为c=0时,ac2bc2不成立.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结(1)判断一个语句是否为命题应紧抓两点:是不是陈述句;能否判断真假.(2)判断命题真假的难点是对已有知识的掌握,尤其是真命题的判断.(3)准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p,则q”形式的关键.,
