1、第二章 2.3 2.3.2 一、选择题1下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )A BC D答案 B解析 对，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对，由于 a，b 分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角) ，所以应是相等或互补，是正确的；对，因为不垂直于棱，所以是错误的；是正确的，故选B.点评 根据二面角的相关概念进行分
2、析判定2以下三个命题中，正确的命题有( )一个二面角的平面角只有一个；二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A0 个 B1 个C2 个 D3 个答案 B解析 仅正确3已知 ， 是平面， m、n 是直线，给出下列表述：若 m，m ，则 ；若 m，n，m ，n ，则 ；如果 m，n，m，n 是异面直线，那么 n 与 相交；若 m，nm，且 n，n ，则 n 且 n.其中表述正确的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 是平面与平面垂直的判定定理，所以正确； 中，m，n 不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理
3、，所以不正确；中，还可能 n，所以不正确；中，由于 nm，n，m，则 n，同理 n ，所以 正确4正方体 A1B1C1D1ABCD 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1BDA 的正切值等于( )A B33 22C D2 3答案 C解析 设 AC、BD 交于 O，连 A1O，BDAC ，BD AA 1，BD平面AA1O，BD A1O，A 1OA 为二面角的平面角tanA 1OA ，选 C.A1AAO 25(20132014福建泉州质量检测)在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是AB， BC，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是( )ABC平面 PDF BDF平面 PA
4、EC平面 PDF 平面 ABC D平面 PAE平面 ABC答案 C解析 可画出对应图形，如图所示，则 BCDF ，又 DF平面PDF，BC平面 PDF，BC 平面 PDF，故 A 成立；由AE BC，PE BC，BCDF ，知 DFAE，DFPE， DF平面PAE，故 B 成立；又 DF平面 ABC，平面 ABC平面 PAE，故 D 成立6在二面角 l 中，A，AB平面 于 B，BC平面 于 C，若AB 6，BC3 ，则二面角 l 的平面角的大小为( )A30 B60C30或 150 D60或 120答案 D解析 如图，AB ，ABl，BC ，BCl，l平面 ABC，设平面 ABClD，则AD
5、B 为二面角 l 的平面角或补角，AB6，BC 3，BAC30，ADB60，二面角大小为 60或 120.二、填空题7在三棱锥 PABC 中，已知 PAPB，PBPC，PC PA，如右图所示，则在三棱锥 PABC 的四个面中，互相垂直的面有_对答案 3解析 PAPB，PA PC ，PBPC P，PA平面 PBC，PA平面 PAB，PA平面 PAC，平面 PAB平面 PBC，平面 PAC平面 PBC.同理可证：平面 PAB平面 PAC.8如图所示，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，BC2，AA 11，E，F 分别在 AD 和BC 上，且 EF AB，若二面角 C1EFC 等于 45，则
6、BF_.答案 1解析 AB平面 BC1，C 1F平面 BC1，CF 平面 BC1，AB C 1F，ABCF，又 EFAB，C 1FEF，CFEF ，C 1FC 是二面角 C1EFC 的平面角，C 1FC45 ，FCC 1 是等腰直角三角形，CFCC 1AA 11.又 BC2，BFBCCF 211.9如图，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，且 PAABa.(1)二面角 APDC 的度数为_(2)二面角 BPAD 的度数为_(3)二面角 BPAC 的度数为_(4)二面角 BPC D 的度数为_答案 90；90；45 ；120解析 (1)PA平面 ABCD，PACD.又四边形 ABCD
7、 为正方形，CDAD，CD平面 PAD，又 CD平面 PCD，平面 PAD平面 PCD，二面角 APDC 为 90.(2)PA平面 ABCD，ABPA，ADPA，BAD 为二面角 BAP D 的平面角又BAD90，二面角 BAPD 为 90.(3)PA平面 ABCD，ABPA，AC PA，BAC 为二面角 BPA C 的平面角，又四边形 ABCD 为正方形，BAC45，即二面角 BPA C 为 45.(4)作 BEPC 于 E，连 DE，则由PBCPDC 知BPEDPE ，从而PBE PDE，DEPBEP90，且 BEDE ，BED 为二面角 BPCD 的平面角PA平面 ABCD，PABC，又
8、 ABBC，BC平面 PAB，BCPB，BE a，BD a，PBBCPC 63 2取 BD 中点 O，则 sinBEO ，BOBE 32BEO60，BED120二面角 BPCD 的度数为 120.三、解答题10(2013山东)如图，四棱锥 PABCD 中，AB AC，AB PA，AB CD ，E，F，G ，M ，N 分别为 PB，AB，BC ，PD ，PC 的中点求证：平面 EFG平面 EMN.分析 本题可以根据已知条件证明 AB平 EFG，然后利用 MNAB 得到平面EFG平面 EMN.证明 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 ABPA，所以 ABEF .同理可证
9、ABFG .又 EFFG F，EF平面 EFG，FG平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD.又 ABCD，所以 MNAB ，因此 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.11(2013天津)如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面 ABCD，AB DC ，AB AD，ADCD1，AA 1AB2，E 为棱 AA1 的中点(1)证明 B1C1CE；(2)求二面角 B1CEC 1 的正弦值分析 (1)可考虑证明 B1C1 平面 CC1E，由线面垂直推论线线垂直；(2) 先作出二面角的平面角，再通
10、过解三角形求解解析 (1)因为侧棱 CC1底面 A1B1C1D1，B 1C1平面 A1B1C1D1，所以 CC1B 1C1.经计算可得 B1E ，B 1C1 ，EC 1 ，5 2 3从而 B1E2B 1C EC ，21 21所以在B 1EC1 中，B 1C1C 1E，又 CC1，C 1E 平面 CC1E，CC 1C 1EC 1，所以 B1C1平面 CC1E.又 CE平面 CC1E，故 B1C1CE.(2)如图所示，过 B1 作 B1G CE 于点 G，连接 C1G.由(1)知，B 1C1CE，故 CE平面 B1C1G，得 CEC 1G，所以B 1GC1 为二面角 B1CEC 1 的平面角在CC
11、 1E 中，由 CEC 1E ，CC 12，3可得 C1G .263在 Rt B1C1G 中，B 1G ，423所以 sinB 1GC1 ，217即二面角 B1CEC 1 的正弦值为 .21712如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PDa，PA PC a，求证：2(1)PD 平面 ABCD；(2)平面 PAC 平面 PBD；(3)二面角 PBC D 是 45的二面角分析 解答本题第(1)(2)问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定第(3)问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于 45.证明 (1)PDa，DCa，PC a，2PC 2PD 2DC 2.PDDC .同理可证 PDAD，又 ADDCD，PD平面 ABCD.(2)由(1)知 PD平面 ABCD，PDAC.而四边形 ABCD 是正方形，ACBD.又 BDPD D ，AC平面 PBD.又 AC平面 PAC，平面 PAC平面 PBD.(3)由(1)知 PDBC，又 BCDC，BC平面 PDC.BCPC.PCD 为二面角 PBCD 的平面角在 Rt PDC 中， PDDCa，PCD45.二面角 PBCD 是 45的二面角规律总结：本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直线面垂直面面垂直
