1、专题 12 探索性问题一、选择题1. （2017 内蒙古通辽第 10 题）如图，点 P在直线 AB上方，且 90P， ABC于 ，若线段6AB， xC， ySPAB，则 与 x的函数关系图象大致是（ ）A B C D 【答案】Dy=12ABPC=3 26x=32(3)9x，故选：D 考点：动点问题的函数图象2. （2017 广西百色第 11 题）以坐标原点 O为圆心，作半径为 2 的圆，若直线 yxb与 OA相交，则 b的取值范围是（ ）A 02 B 22b C. 23b D【答案】D考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系3. （2017 海南第 13 题）已知ABC 的三
2、边长分别为 4、4、6，在ABC 所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条A3 B4 C5 D6【答案】B.【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，利用 4 作为腰或底边得出符合题意的图形即可如图所示：当 AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE 时，都能得到符合题意的等腰三角形故选B 考点：等腰三角形的性质.4. （2017 新疆乌鲁木齐第 9 题）如图，在矩形 ABCD中，点 F在 A上，点 E在 BC上，把这个矩形沿 EF折叠后，使点 D恰好落在 边上的 G点处，若矩形面积为 43且 60,2G，则折痕 的长为（ ） A
3、 1 B 3 C. 2 D 23 【答案】C.BC=BG+GE+EC=4EC矩形 ABCD 的面积为 4 3，4EC 3EC=4 ，EC=1，EF=GE=2故选 C 考点：翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质5.（2017 青海西宁第 10 题）如图，在正方形 ABCD中， 3cm，动点 M自 A点出发沿 B方向以每秒 1cm的速度运动，同时动点 N自 点出发沿折线 以每秒 2的速度运动，到达 点时运动同时停止，设 AM的面积为 2ycm，运动时间为 x（秒） ，则下列图象中能大致反映 y与 x之间的函数关系的是（ ）A B C. D【答案】A考点：动点问题的函数图象 二、填空题1. （2017
4、 贵州遵义第 15 题）按一定规律排列的一列数依次为：23，1，87， 9，14，73，按此规律，这列数中的第 100 个数是 【答案】 2901 .考点：规律型：数字的变化类2. （2017 贵州遵义第 17 题）如图，AB 是O 的直径，AB=4，点 M 是 OA 的中点，过点 M 的直线与O 交于 C，D 两点若CMA=45，则弦 CD 的长为 【答案】 14 .【解析】试题分析：连接 OD，作 OECD 于 E，如图所示：则 CE=DE，AB 是O 的直径，AB=4，点 M 是 OA 的中点，OD=OA=2，OM=1，OME=CMA=45，OEM 是等腰直角三角形，OE=2OM= ，在
5、 RtODE 中，由勾股定理得：DE=2214(),CD=2DE= 14；故答案为： 考点：垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形 3. （2017 内蒙古通辽第 15 题）在平行四边形 ABCD中， E平分 BAD交边 C于 E， F平分ADC交边 B于 F.若 1AD， 5EF，则 .【答案】8 或 3考点：平行四边形的性质 4. （2017 湖南常德第 16 题）如图，有一条折线 A1B1A2B2A3B3A4B4，它是由过 A1（0，0） ， B1（2，2） ，A2（4，0）组成的折线依次平移 4，8，12，个单位得到的，直线 y=kx+2 与此折线恰有 2n（ n1，且为整数）个交点，则
6、k 的值为 【答案】 12n考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化平移；规律型；综合题5. （2017 黑龙江齐齐哈尔第 16 题）如图，在等腰三角形纸片 ABC中， 10， 2BC，沿底边 BC上的高 AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 【答案】10cm 或 2 73cm 或 4 1cm【解析】试题分析：如图： ， 过点 A 作 ADBC 于点 D，ABC 边 AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=DC=6cm，AD=8cm，如图所示：可得四边形 ACBD 是矩形，则其对角线长为：10cm，如图所示：AD=8cm，连接 BC，
7、过点 C 作 CEBD 于点 E，则 EC=8cm，BE=2BD=12cm，则 BC=4 13 cm，如图所示：BD=6cm，由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，故 AC= 261 =2 73cm， 故答案为：10cm 或 2 73cm 或 4 1cm考点：图形的剪拼 6. （2017 黑龙江齐齐哈尔第 19 题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 12OA的直角边 1在y轴的正半轴上，且 12OA，以 2OA为直角边作第二个等腰直角三角形 3，以 3为直角边作第三个等腰直角三角形 0718，则点 017的坐标为 【答案】 （0， （ 2） 2016）或（0，2 1008）
8、 考点：规律型：点的坐标7. （2017 黑龙江绥化第 20 题）在等腰 ABC中， D交直线 BC于点 D，若 12ABC，则ABC的顶角的度数为 【答案】30或 150或 90【解析】试题分析：BC 为腰，ADBC 于点 D，AD=12BC，ACD=30，如图 1，AD 在ABC 内部时，顶角C=30，如图 2，AD 在ABC 外部时，顶角ACB=18030=150，BC 为底，如图 3，ADBC 于点 D，AD=12BC，AD=BD=CD，B=BAD，C=CAD，BAD+CAD=12180=90，顶角BAC=90，综上所述，等腰三角形 ABC 的顶角度数为 30或 150或 90考点：1
9、.含 30 度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质 8. （2017 内蒙古呼和浩特第 15 题）如图，在 ABCD中， 30， ABC， O是两条对角线的交点，过点 O作 AC的垂线分别交边 ， 于点 E， F，点 M是边 的一个三等分点，则E与 BMF的面积比为 【答案】3：4OE=12AE=36m，S AOE =12OAOE= 12m36m= 4m2，作 ANBC 于 N，AB=AC，BN=CN=12BC，BN=3AB= 2m，BC= 3m，BF=BCFC= 3m m=23m，作 MHBC 于 H，B=30，MH=12BM= m，S BMF =12BFMH= 23m m= 18m2，23
10、418S AOE BMF考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质 9.（2017 湖南张家界第 14 题）如图，在正方形 ABCD 中， AD=23，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30得到线段 BP，连接 AP 并延长交 CD 于点 E，连接 PC，则三角形 PCE 的面积为 【答案】 953考点：旋转的性质；正方形的性质；综合题 三、解答题1. （2017 贵州遵义第 24 题）如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，APB=60，连接 PO 并延长与O 交于 C 点，连接 AC，BC（1）求证：四边形 ACBP 是菱形；（2）若O 半径为 1，求菱形 ACBP 的
11、面积【答案】 （1）.证明见解析；（2）菱形 ACBP 的面积=32（2）连接 AB 交 PC 于 D，ADPC，OA=1，AOP=60，AD=32OA= ，PD=32，PC=3，AB= 3，菱形 ACBP 的面积=12ABPC= 考点：切线的性质；菱形的判定与性质 2. （2017 贵州遵义第 26 题）边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（点 P 与 A、C不重合） ，连接 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连接 QP，QP 与 BC 交于点 E，QP 延长线与 AD（或AD 延长线）交于点 F（1）连接 CQ，证明：CQ=AP；（2）设
12、AP=x，CE=y，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 x 为何值时，CE=38BC；（3）猜想 PF 与 EQ 的数量关系，并证明你的结论【答案】 （1）证明见解析；（2）当 x=3 或 1 时，CE=38BC； （3）. 结论：PF=EQ，理由见解析.（2）解：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，BAC= BAD=45，BCA=12BCD=45，APB+ABP=18045=135，DC=AD=2 2，由勾股定理得：AC=22()()4，AP=x，PC=4x，PBQ 是等腰直角三角形，BPQ=45，APB+CPQ=18045=135，CPQ=ABP，BAC=ACB=45，APBCE
13、P， APBCE，24xy，y=12x（4x）=24x（0x4） ，由 CE=38BC=34，y=23，x24x=3=0， （x3） （x1）=0，x=3 或 1，当 x=3 或 1 时，CE=38BC； 考点：四边形综合题 3. （2017 贵州遵义第 27 题）如图，抛物线 y=ax2+bxab（a0，a、b 为常数）与 x 轴交于 A、C 两点，与 y 轴交于 B 点，直线 AB 的函数关系式为 y=89x+163（1）求该抛物线的函数关系式与 C 点坐标；（2）已知点 M（m，0）是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于D、E 两点，当
14、 m 为何值时，BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时，动点 M 相应位置记为点 M，将OM绕原点 O 顺时针旋转得到 ON（旋转角在 0到 90之间） ；i：探究：线段 OB 上是否存在定点 P（P 不与 O、B 重合） ，无论 ON 如何旋转，NPB始终保持不变，若存在，试求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中， （NA+34NB）的最小值【答案】 （1）抛物线的函数关系式为：y=89x240x+163，C（1，0） ；（2）当 m=4 时，BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形；(3
15、). 存在，理由见解析；（NA+ 4 NB）的最小值为 2365. （2）点 M（m，0） ，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB 和抛物线交于 D、E 两点，D（m，89m+163） ，当 DE 为底时，作 BGDE 于 G，则 EG=GD= 2ED，GM=OB=163，89m+163+ 2（89m240+ +89m+ ）= ，解得：m 1=4，m 2=9（不合题意，舍去） ，当 m=4 时，BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形；（3）i：存在，ON=OM=4，OB=163，NOP=BON，当NOPBON 时，OPNB=34，NPB不变，即 OP=4163=3，P（0，3）
16、ii：N 在以 O 为圆心，4 为半径的半圆上，由（i）知，NPOB=34，NP=3NB，（NA+3NB）的最小值=NA+NP，此时 N，A，P 三点共线，（NA+34NB）的最小值= 2365, 考点：二次函数综合题4. （2017 湖南株洲第 24 题）如图所示，RtPAB 的直角顶点 P（3，4）在函数 y= kx（x0）的图象上，顶点 A、B 在函数 y= tx（x0，0tk）的图象上，PAx 轴，连接 OP，OA，记OPA 的面积为 SOPA，PAB 的面积为 SPAB ，设 w=SOPA S PAB 求 k 的值以及 w 关于 t 的表达式； 若用 wmax和 wmin分别表示函数
17、 w 的最大值和最小值，令 T=wmax+a2a，其中 a 为实数，求 Tmin【答案】求 k 的值以及 w 关于 t 的表达式； T min= 54 【解析】（2）w= 14t2+ t= 14（t6） 2+ 3，w max= 2，则 T=wmax+a2a=a 2a+ 3=（a ） 2+ 5，当 a= 时，T min= 5考点：反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征. 5. （2017 内蒙古通辽第 25 题）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；依次类推，若第 n次
18、操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n阶准菱形，如图 1， ABCD为 1 阶准菱形.（1）猜想与计算邻边长分别为 3 和 5 的平行四边形是 阶准菱形；已知 的邻边长分别为 ba,（ ） ，满足 rba8， 5，请写出 ABCD是 阶准菱形.（2）操作与推理小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图 2，把 AB沿 E折叠（点 在 AD上） ，使点 落在BC边上的点 F处，得到四边形 EF.请证明四边形 F是菱形.【答案】 （1）3，12（2）证明见解析（2）由折叠知：ABE=FBE，AB=BF，四边形 ABCD 是平行四边形，AEBF，AEB=FBE，AEB=ABE，AE=AB，AE
19、=BF，四边形 ABFE 是平行四边形，四边形 ABFE 是菱形考点：四边形综合题 6. （2017 内蒙古通辽第 26 题）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 22bxay过点 )0,(A， ，与y轴交于点 C.（1）求抛物线 22bxay的函数表达式；（2）若点 D在抛物线 的对称轴上，求 ACD的周长的最小值；（3）在抛物线 2xy的对称轴上是否存在点 P，使 是直角三角形？若存在，直接写出点 P的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）y= 4x2+ 1x+2（2）ACD 的周长的最小值是 2 +2 5（3）存在，点 P 的坐标为（1，1）或（1，3）（2）y=14x2+ x+2=
20、14（x1） 2+9；对称轴是：直线 x=1，如图 1，过 B 作 BEx 轴于 E，C（0，2） ，B（2，2） ，对称轴是：x=1，C 与 B 关于 x=1 对称，CD=BD，连接 AB 交对称轴于点 D，此时ACD 的周长最小，BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，AB= 24=2 5，AC= =2 ，ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 2+2 5；答：ACD 的周长的最小值是 2 +2 5，考点：二次函数综合题 7. （2017 郴州第 25 题） 如图，已知抛物线 285yaxc与 x轴交于 ,AB两点，与 y轴交于 C点，且 (2,0),4
21、)AC，直线 1:42lyx与 轴交于 D点，点 P是抛物线 285yaxc上的一动点，过点 P作 Ex轴，垂足为 E，交直线 l于点 F.（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1） ，若点 P在第三象限，四边形 PCOF是平行四边形，求 P点的坐标；（3）如图（2） ，过点 作 Hx轴，垂足为 ，连接 A，求证： ACD是直角三角形；试问当 P点横坐标为何值时，使得以点 ,PCH为顶点的三角形与 ACD相似？【答案】 （1）y= 5x2+8x4；（2）点 P 的坐标为（ 52， 74）或（8，4）；（3）详见解析；，点 P 的横坐标为5.5 或10.5 或 2 或18 时，使得以点 P、C
22、、H 为顶点的三角形与ACD 相似（2）设 P（m，15m2+8m4），则 F（m，12m4）PF=（ m4）（ m2+5m4）= m2 10mPEx 轴，PFOCPF=OC 时，四边形 PCOF 是平行四边形15m2 0m=4，解得：m=52或 m=8当 m= 时， m2+85m4=74，当 m=8 时，1m2+ m4=4点 P 的坐标为（52，74）或（8，4） （3）证明：把 y=0 代入 y=1x4 得：12x4=0，解得：x=8考点：二次函数综合题.8. （2017 郴州第 26 题）如图， ABC是边长为 4cm的等边三角形，边 AB在射线 OM上，且6OAcm，点 D从点 O出发，沿 M的方向以 1/s的速度运动，当 D不与点 重合是，将C绕点 逆时针方向旋转 06得到 E，连接 .（1）求证： CDE是等边三角形；（2）当 610t时，的 BDE周长是否存在最小值？若存在，求出 BDE的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点 D在射线 OM上运动时，是否存在以 ,DEB为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）详见解析；（2）存在，2 3+4；（3）当 t=2 或 14s 时，以 D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形
