1、题型五 函数与几何综合题类型一 二次函数图象性质问题针对演练1. (2017 福建节选) 已知直线 y2xm 与抛物线 y ax2ax b 有一个公共点M(1，0)，且 ab.(1)求抛物线顶点 Q 的坐标 (用含 a 的代数式表示) ；(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为 N，若1a ，求线段 MN 长度的取值12范围；2. 已知 O 点为坐标原点，抛物线 y1ax 2bxc(a0)与 y 轴交于点 C，且O、C 两点间的距离为 3.(1)求点 C 的坐标；(2)抛物线 y1ax 2bxc(a0) 与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x 2，0)，x1x20
2、，|x 1|x 2|4.点 A、C 在直线 y23x t 上求该抛物线的顶点坐标；将抛物线 y1ax 2bxc(a0)向左平移 n(n0)个单位，记平移后 y 随 x 的增大而增大的部分为 P，直线 y23x t 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点，求 2n25n 的最小值3. (2017 雅礼实验中学一模)如图，四边形 ABCD 是任意四边形，以点 C 为顶点的抛物线 y ax2bxc 恰好经过 x 轴上 A、B 两点(1)若四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是(0 ， )，求 A、B 、C 三点的坐标；3(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求 的值；acb2(3
3、)在(2)的条件下，若 a、 b、c 满足以下条件：abc ；a 1；求线段 BC 长的取值范围1116第 3 题图4. (2017 宜昌) 已知抛物线 yax 2bxc，其中 2ab0c ，且 abc0.(1)直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 的一个根；(2)证明：抛物线 yax 2bxc 的顶点 A 在第三象限；(3)直线 yxm 与 x，y 轴分别相交于 B，C 两点，与抛物线 yax 2bxc 相交于 A， D 两点设抛物线 y ax2 bx c 的对称轴与 x 轴相交于点 E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 F，使得 ADF 与 BOC 相似，并且 SADF S12
4、ADE，求此时抛物线的表达式第 4 题图5. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yaxb 与抛物线 yax 2bx 交于 A、B两点(点 A 在点 B 的左侧)，点 C 的坐标为(a，b)(1)当点 A 的坐标为(1，0)，点 B 的坐标为(1，4)时，求 C 点的坐标；(2)若抛物线 yax 2bx 如图所示，请求出点 A、B 的坐标(用字母 a、b 表示)，并在所给图中标出点 A、点 B 的位置；(3)设抛物线 yax 2bx 的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 yax b 交 y 轴于点E，点 F 的坐标为(1 ，0)，且 DEFC，若 tanODE2，求32b 的取值范围第 5 题图
5、 6. (2017 湘潭模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线yxn 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，抛物线 yax 2bx3(a0)过C、B 两点，交 x 轴于另一点 A，连接 AC，且 tanCAO3.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 是射线 CB 上一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 H，交抛物线于Q，设 P 点横坐标为 t，线段 PQ 的长为 d，求出 d 与 t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点 P 在线段 BC 上时，设 PHe ，已知 d，e 是以 y 为未知数的一元二次方程：y 2(m3
6、) y (5m22m13)0(m 为常数)的两个实数14根，点 M 在抛物线上，连接 MQ、MH、PM ，且 MP 平分QMH，求出 t 的值及点 M 的坐标第 6 题图 7. 已知二次函数 yx 2 (2k1)xk 2k(k0)(1)当 k 时，求二次函数的顶点坐标；12(2)求证：关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x k 2k0(k0)有两个不相等的实根；(3)如图，该二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点的左侧)，与 y 轴交于 C 点， P 是 y 轴负半轴上一点，且 OP1，直线 AP 交 BC 于点 Q.求证： .1OA2 1AB2 1AQ2第 7 题图8
7、. (2017 长沙中考模拟卷五)已知抛物线 C1：y 1 x2x1，点 F(1，1)12(1)求抛物线 C1 的顶点坐标；(2)若抛物线 C1 与 y 轴的交点为点 A.连接 AF，并延长交抛物线 C1 于点 B，求证： 2；1AF 1BF抛物线 C1上任意一点 P(xP，y P)(0x p1)，连接 PF，并延长交抛物线 C1 于点 Q(xQ，y Q)，试判断 2 是否成立？请说明理由；1PF 1QF(3)将抛物线 C1 作适当的平移，得抛物线 C2：y 2 (xh) 2.若当 2xm 时，12y2x 恒成立，求 m 的最大值答案1. 解：(1) 抛物线过点 M(1，0)，aab0，即 b
8、2a，yax 2axbax 2ax2aa(x )2 ，12 9a4抛物线顶点 Q 的坐标为( ， )；12 9a4(2)直线 y2xm 经过点 M(1，0)，021 m ，解得 m2，把 y2x2 代入 y ax2ax2a，得 ax2(a2)x2a20，( a2) 24a(2a2)9a 212a4，又ab，b2a，a0，b0，9a 212 a40，方程有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；(3)把 y2x2 代入 yax 2 ax2a，得 ax2(a2)x2a20，即 x2(1 )x2 0，2a 2ax( )2( )2，解得 x11，x 2 2，12 1a 1a 32 2a将 x 2
9、代入 y2x2 得 y 6，2a 4a点 N( 2， 6)，2a 4a根据两点间的距离公式得，MN2( 2)1 2( 6)2 4520( )2，2a 4a 20a2 60a 1a 321a ，则2 1，12 1a 0，1a 32MN2 ( )3 ，532 1a 5 25a又1a ，125 MN7 .5 52. 解：(1)令 x0，则 yc，C(0，c)，OC 的距离为 3，|c| 3，即 c3，C(0，3) 或(0，3)；(2)x 1x2 0，x 1， x2 异号，分两种情况讨论，(i)若 C(0，3)，即 c3，把 C(0，3) 代入 y23x t，则 0t3，即 t3，y 23x3，把 A
10、(x1，0)代入 y23x3，则3x 130，即 x11，A(1，0)，x 1，x 2 异号，x 110，x 20，|x 1| |x2| 4，1x 24，解得 x23 ，则 B(3， 0)，把 A(1，0)，B(3，0) 代入 y1ax 2bx 3 得， ，解得：a b 3 09a 3b 3 0)，a 1b 2)y 1x 22x3(x1) 24，顶点坐标是(1，4); (ii)若 C(0，3) ，即 c3，把 C(0，3)代入 y23 xt，则 0t3，即 t3，y 23x3，把 A(x1，0) 代入 y23x3，则3x 13 0，即 x1 1，A(1，0)，x 1，x 2 异号，x 110，
11、x 20，|x 1| |x2| 4，1x 24，解得 x23，则 B(3，0)，把 A(1，0)，B( 3，0) 代入 y1ax 2bx 3 得， ，a b 3 09a 3b 3 0)解得： ，a 1b 2)y 1x 22x3(x1) 24，顶点坐标是(1，4) ，综上所述，若 c3，抛物线的顶点坐标是 (1，4)；若 c3，抛物线的顶点坐标是(1 ，4) ；分两种情况讨论，(i)若 c3，则 y1x 22x3(x 1) 24，y 23x 3，y1 向左平移 n 个单位后，则解析式为： y3(x1n) 24，当 x 1n 时，y 随 x 的增大而增大，y2 向下平移 n 个单位后，则解析式为：
12、 y43x3n，要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x1n，y 3y4，即( 1n1n) 243(1n)3n，解得：n1，n0，n1 不符合条件，应舍去；(ii)若 c3，则 y1x 22x3(x 1) 24，y 23x3，y1 向左平移 n 个 单位后，则解析式为： y3(x1n) 24，当 x1n 时，y 随 x 的增大而增大，y2 向下平移 n 个单位后，则解析式为： y43x3n，要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x1n ，y 3y4，即(1 n1n) 24 3(1n)3n，解得：n1，综上所述：n1，2n 25n2(n )2 ，54 258当 n 时，2n 25n 取最小值，最
13、小值为 .54 2583. 解：(1)如解图，连接 AC，由抛物线的性质知 ACBC ，AE AB，12BCAB，BCABAC，CBA60，又菱形 ABCD 中，AD BC，ABAD ，CEOD，DAO CBA 60，又DOA 90，OD ，3OA 1，DA2，OEOA AEOA AD2，OBOAAB3，12A(1， 0)， B(3，0)，C(2， )；3(2)四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB ，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线过点为 C，x Ax B ，x AxB ，x C ，ba ca b2a由抛物线开口向下可知 a0，|a|a，x B xA （xA xB）2 4xAxB
14、（ ba）2 4ca b2 4aca2 b2 4ac|a|，即 AB ，b2 4ac a b2 4ac a又CD ，b2a ，b2a b2 4ac a ；acb2 316(3)CE ， ，b2 4ac4a acb2 316c ，3b216aCE ，b216a在BEC 中，BC 2BE 2 CE2( AB)2CE 2( CD)2CE 2( )2( )2，12 12 b4a b216a将 a1 代入得 BC2 ( b 2)，116b416又abc ，a 1，1116bc ，516由得：0b 或 b5，130b 2 或 b225，19代入得：0BC 或 BC ，145144 54116BC 长的取值
15、范围为 0BC 或 BC .145144 541164. (1)解：ax 2bxc0 的一个根为 1(或者3)；(2)证明：2 ab，对称轴 x 1，b2a将 b2a 代入 abc 0，得 c3a，a0，c0，b 24ac0 ， 0，4ac b24a顶点 A(1 ， )在第三象限；4ac b24a(3)解：由 b 2a，c 3a，得x ， b b2 4ac2a 2a4a2ax 13，x 21，抛物线的表达式为 y ax22ax3a，(也可由对称求另一点的坐标，写出表达式)如解图所示，直线 yxm 与 x，y 轴分别相交于 B，C 两点，则 OBOC| m|，BOC 是以BOC 为直角的等腰直角
16、三角形，这时直线 yx m 与对称轴x1 的夹角 BAE 45，点 F 在对称轴左侧的抛物线上，则DAF45，这时ADF 与BOC 相似，顶点 A 只可能对应BOC 中的直角顶点 O，即ADF 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为 x1，直线 yxm 过顶点 A(1，4a) ， m 14a ，直线解析式为 yx 1 4a，与抛物线解析式联立得，y x 1 4ay ax2 2ax 3a)解得 ， ，x1 1y1 4a) x2 1a 1y2 1a 4a)(1 ，4a) 即为顶点 A 点的坐标，( 1， 4a)即为 D 点的坐标，1a 1aD 点到对称轴 x1 的距离为： 1(1) ，
17、1a 1aAE|4a|4a，S ADE 4a2，即面积为定值，121aS ADF SADE ，12这时等腰直角ADF 的面积为 1，底边 DF2，x1 是对称轴，这时 D、C 两点重合且在 y 轴上，即 10，解得 a1，1a抛物线的表达式为 y x22x3.5. 解：(1) A(1，0)，B(1，4)，代入直线 y axb，得 ， a b 0a b 4)解得：a2，b2，y2x2，C(2，2) ；(2)联立直线 yaxb 与抛物线 yax 2bx ，得：ax 2(ba)xb0，(axb)(x1)0，解得：x 1 ，x 21，ba又抛物线对称轴在直线 x1 的右侧， 1， b2a又A 点在 B
18、 点左侧，A(1，ab )，B( ，0)，ba点 A、点 B 的位置如解图所示；(3)由已知得，C (a，b)，E(0，b)，F(1，0)，D( ，0)，b2a tanODE2，32 2，32 OEOD | |2，32 b b2a解得 |2a|2，321a 或 a1，34 34DE CF，CEDF，四边形 DECF 是平行四边形，CEDF，由两点距离公式得：1 a，b2a整理得：b2a 22a，即 b2( a )2 ，12 12当1a ，可得 b4；34 218当 a1 时，可得 b0，34 38综上所述， b4 或 b0.218 386. 解：(1)当 x0，则直线 yxn0nn，抛物线 y
19、ax 2bx33，OC3n，当 y0，即 x30，x3OB，B(3，0)，在AOC 中，AOC90，tanCAO 3，COOA 3OAOA 1，A(1，0)，将 A(1，0)，B(3，0) 代入 yax 2bx 3，得 ，解得 ，9a 3b 3 0a b 3 0) a 1b 2)抛物线的解析式：y x22x3；(2)如解图，当点 P 在线段 CB 上时，P 点的横坐标为 t 且 PQ 垂直于 x 轴，P 点的坐标为( t，t3)，Q 点的坐标为(t，t 22t3)，PQ t22t3(t3)t 23t；如解图，当点 P 在射线 BN 上时，P 点的横坐标为 t 且 PQ 垂直于 x 轴，P 点的
20、坐标为( t，t3)，Q 点的坐标为(t，t 2t3)，PQ t3( t 22t3)t 23t，BO 3，d ； t2 3t（0 t 3）t2 3t（t 3） )(3)d，e 是 y2(m3)y (5m22m13)0(m 为常数) 的两个实数根，14b 24ac0 ，即 b24ac( m3) 24 (5m22m13)0，14整理得：b 24ac 4(m1) 20，4( m1) 20，b 24ac0 ，4( m1) 20m1，y 24y40，PQ 与 PH 是 y24y40 的两个实数根，解得 y1y 22，PQ PH 2，t32，即 t1，yx 22x3(x1) 24，抛物线的顶点坐标是(1，
21、4)，此时 Q 是抛物线的顶点，延长 MP 至 L，使 LPMP，连接 LQ、LH，如解图，LP MP，PQ PH，四边形 LQMH 是平行四边形，LHQM，13，12，23，LHMH，平行四边形 LQMH 是菱形，PMQH，点 M 的纵坐标与 P 点纵坐标都等于 2，在 yx 22x3 中，当 y2 时，x 22x10，x 11 ，x 21 ，2 2综上所述，t 的值为 1，M 点坐标为(1 ，2)或(1 ，2)2 27. (1)解：当 k 时，yx 22x (x 1) 2 ，12 34 14顶点坐标为(1， )；14(2)证明：b 24ac (2k1) 24(k 2k)4k 24k14k
22、24k 10，原方程一定有两个不相等的实根；(3)证明：由题意得， A(k，0)，B(k1，0)，C(0，k 2k)，OAk，AB1，设 PA 的解析式为 y1mxn，代入 P(0，1)，A (k，0)，解得，m ， n 1，于是 y1 x1，1k 1k设 BC 的解析式为：y 2sxt，代入 B(k1，0)，C(0，k 2k)解得，sk，tk 2k ，于是 y2kx k 2k ，联立 解得,1221kxy ,12kyx点 Q 的坐标为(k ， )k2k2 1 kk2 1AQ2(k k) 2( )2 .k2k2 1 kk2 1 k2k2 1 1 .1AQ2 k2 1k2 1k2 1 .1OA2
23、 1AB2 1k2 1AQ2 .1OA2 1AB2 1AQ28. 解：(1) y1 x2x1 (x1) 2 ，12 12 12抛物线 C1 的顶点坐标为(1, ). 12(2)根据题意，可得点 A(0，1)点 F(1，1)，AFx 轴可得 AFBF1， 2. 1AF 1BF 2 成立理由如下：1PF 1QF如解图，过点 P(xP，y P)作 PMAB 于点 M，则 FM1x P，PM1y P(0x P1). 在 RtPMF 中，由勾股定理可得：PF2FM 2PM 2(1x P)2(1y P)2.又点 P(xP，y P)在抛物线 C1 上，得 yP (xP 1)2 ，即(x P1) 22y P1
24、.12 12PF 22y P1(1y P)2y P2，即 PFy P.过点 Q(xQ，y Q)作 QNAB，与 AB 的延长线交于点 N，同理可得 QFy Q.又PMFQNF90，MFP NFQ，PMFQNF. ，PFQF PMQNPM1y P1PF，QNy Q1QF1， ，即 2；PFQF 1 PFQF 1 1PF 1QF(3)令 y3x，设其图象与抛物线 C2 交点的横坐标为 x0，x 0，且 x0x 0.抛物线 C2 可以看作是抛物线 y x2 左右平移得到的12观察图象，随着抛物线 C2 向右不断平移，x 0、x 0 的值不断增大，当满足 2x m，y 2x 恒成立时， m 的最大值在 x0 处取得可得当 x02 时，所对应的 x0 即为 m 的最大值将 x02 代入 (xh) 2x，12得 (2 h)2 2.12解得 h4 或 h0(舍去) y 2 (x4) 2.12此时，y 2y 3，得 (x4) 2x，12解得 x02， x08.m 的最大值为 8.
