1、专题 4：图形的变换一、选择题1.(2017 北京第 5 题)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A B C. D【答案】A.考点：轴对称图形和中心对称图形的识别2.(2017 天津第 3 题)在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形.下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）【答案】C.【解析】试题分析：根据轴对称图形的定义可知，只有选项 C 是轴对称图形，故选 C.3.(2017 福建第 5 题)下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）A圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D菱形是中心对称图
2、形，但不是轴对称图形【答案】A【解析】A，正确；B，正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；线段既是轴对称图形又是中心对称图形，故错误；D，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误；故选 A.4.(2017 福建第 10 题)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1图中线段 AB和点 P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段 AB和点 P，则点 所在的单位正方形区域是（ ）A1 区 B2 区 C3 区 D4 区【答案】D【解析】如图，根据题意可得旋转中心 O，旋转角是 90，旋转方向为逆时针，因此可知点 P 的对应点落在了 4 区，故选 D.O5. （2017 广东广州第 2 题）如
3、图 2，将正方形 中的阴影三角形绕点 顺时针旋转 90后，得到图ABCDA形为 （ ）【答案】A【解析】试题分析：顺时针 90后，AD 转到 AB 边上，所以，选 A。考点：旋转的特征6. （2017 广东广州第 8 题）如图 4， 分别是 的边 上的点，,EFBCD,，将四边形 沿 翻折，得到 ， 交 于点 ，则 的06,EFDEFBCGEF周长为 （ ）A6 B 12 C. 18 D24【答案】C考点： 平行线的性质7. （2017 湖南长沙第 4 题）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）【答案】C【解析】试题分析：利用：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180，如果
4、旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，可知A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；D 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确.故选：C考点：1、中心对称图形，2、轴对称图形8. （2017 湖南长沙第 12 题）如图，将正方形 折叠，使顶点 与 边上的一点 重合（ 不与ABCDACDH端点 重合） ，折痕交 于点 ，交 于点 ，边 折叠后与边 交于点 ，设正方形D,AEF
5、BG的周长为 ， 的周长为 ，则 的值为（ ）ABCmCHGnmA B C D随 点位置的变化而变化21215H【答案】B【解析】试题分析：设正方形 ABCD 的边长为 2a，正方形的周长为 m=8a，设 CM=x，DE=y，则 DM=2a-x，EM=2a-y，EMG=90，DME+CMG=90DME+DEM=90，DEM=CMG，又D=C=90DEMCMG， ,即CGMDE2CGxMayCG= ()()=,xyCMG 的周长为 CM+CG+MG= 24axy在 RtDEM 中，DM 2+DE2=EM2即（2a-x） 2+y2=（2a-y） 2整理得 4ax-x2=4ayCM+MG+CG= =
6、n44axya所以 12nm故选：B考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理9. （2017 山东青岛第 2 题）下 列 四 个 图 形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ） 【答案】A考点：轴对称图形和中心对称图形的定义10. （2017 山东青岛第 5 题）如 图 ， 若将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90则顶点 B 的对应点 B1的坐标为（ ）A. )2,4( B. )4,2( C. )2,4( D. )4,2(【答案】B【解析】试题分析：将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后，图形如下图所以 B1的坐标为 )4,2(故
7、选：B11. (2017 四川泸州第 5 题)已知点 (,1)Aa与点 (4,)Bb关于原点对称，则 ab的值为（ ）A 5 B C 3 D 【答案】C.【解析】试题分析：平面直角坐标系中任意一点 P(x,y)，关于原点的对称点是(x,y),由此可得 a=4，b=-1，所以 a+b=3，故选 C.12. (2017 山东日照第 2 题)剪纸是我国传统的民间艺术下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ）A B C D【答案】A考点：中心对称图形；轴对称图形13. (2017 辽宁沈阳第 6 题)在平面直角坐标系中，点 ，点 关于 轴对称，点 的坐标是 ，则AByA2,8点 的坐标
8、是（ ）BA. B. C. D. 2,82,82,88,2【答案】A.【解析】试题分析：关于 y 轴对称点的坐标的特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得点 B 的坐标为（-2，-8） ，故选 A.考点：关于 y 轴对称点的坐标的特点.二、填空题1.(2017 北京第 15 题)如图，在平面直角坐标系 中， 可以看作是 经过若干次图形的变xOyABOCD化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由 得到 的过程： CD【答案】将COD 绕点 C 顺时针旋转 90，再向左平移 2 个单位长度得到AOB（答案不唯一）.【解析】试题分析：观察图形即可，将COD 绕点 C 顺时针旋转 90，再向左平
9、移 2 个单位长度得到AOB，注意是顺时针还是逆时针旋转.考点：几何变换的类型2.(2017 河南第 15 题)如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别是RtAB90ABC21MN边 ， 上的动点，沿 所在的直线折叠 ，使点 的对应点 始终落在边 上.若BCAMNAC为直角三角形，则 的长为 M【答案】1 或 .21考点：折叠（翻折变换）.3.（2017 湖南长沙第 16 题）如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以原点 为位ABO )0,(,6)4,2(CBAO似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到 ，已知点 的坐标是 ，则点 的坐标是 213A【答案】 （1，2）【解析】试题分析：根据位似变
10、换的性质及位似比 ，可知 A的坐标为（1，2）.故答案为：（1，2）考点：位似变换4.(2017 山东滨州第 15 题)在平面直角坐标系中，点 C、 D 的坐标分别为 C(2，3)、 D(1，0)现以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB，若点 D 的对应点 B 在 x 轴上且 OB2，则点 C 的对应点 A 的坐标为_【答案】 （4，6）或（-4，-6）.【解析】已知点 D（1，0） ，点 D 的对应点 B 在 x 轴上，且 OB=2，所以位似比为 2，即可得点 A 的坐标为（22，32）或2（-2） ，3（-2）,即点 A 的坐标为（4，6）或（-4，-6）.5.(2017 山东
11、滨州第 16 题)如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 AB 边上的 E 处， EQ与 BC 相交于点 F若 AD8， AB6， AE4，则 EBF 周长的大小为_ABCHQGE【答案】8.6.(2017 辽宁沈阳第 16 题)如图，在矩形 中， ,将矩形 绕点 按顺时针方向旋ABCD53BC， ABCD转得到矩形 ，点 落在矩形 的边 上，连接 ，则 的长是 .GBEFAE【答案】 .3105【解析】试题分析：如图，过点 C 作 MN BG，分别交 BG、EF 于点 M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在 RtBCG 中
12、，根据勾股定理求得 CG=4，再由,即可求得 CM= ,在 RtBCM 中，根据勾股定理求得 BM=12BCGSBGMA 125，根据已知条件和辅助线作法易知四边形 BENMW 为矩形，根据矩形的旋2193()5转可得 BE=MN=3,BM=EN= ,所以 CN=MN-CM=3- = ,在 RtECN 中，根据勾股定理求得 EC=1253.22390()5CNE考点：四边形与旋转的综合题.7.（2017 江苏苏州第 18 题）如图，在矩形 中，将 绕点 按逆时针方向旋转一定角度后，CDAA的对应边 交 边于点 连接 、 ，若 ， ， ，则 CCDG7CG4C（结果保留根号） 【答案】 .745
13、【解析】试题分析：连接 AG,设 DG=x,则 G=4+xA在 中， ，则 RtABG2249()1x5,7ABC57C考点：旋转的性质 ，勾股定理 .8.(2017 浙江舟山第 7 题)如图，在平面直角坐标系 中，已知点 .若平移点 到点 ，xOy)1,(0,2(BAAC使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）OACBA向左平移 1 个单位，在向下平移 1 个单位 B向左平移 1 个单位，在向上平移 1 个单位 )2(C. 向右平移 个单位，在向上平移 1 个单位 D向右平移 1 个单位，在向上平移 1 个单位【答案】D.考点：勾股定理，菱形的判定，平移的性质，坐标
14、与图形变化-平移9.(2017 浙江舟山第 9 题)一张矩形纸片 ，已知 ，小明按下图步骤折叠纸片，则线ABCD2,3A段 长为（ ）DGA B C.1 D222【答案】A.【解析】试题分析：由折叠可得，AD=AD=AE=2，则 AC=AC=1，则 GC是DEA的中位线，由勾股定理求得 DE=，则 GG= DE= ，故选 A.212考点：三角形中位线定理，翻折变换（折叠问题）.10.(2017 浙江舟山第 16 题)一副含 和 的三角板 和 叠合在一起，边 与 重合，0345ABCDEFBCEF（如图 1） ，点 为边 的中点，边 与 相交于点 ，现将三角板cmEFBC2G)(EFH绕点 按顺
15、时针方向旋转（如图 2） ，在 从 到 的变化过程中，观察点 的位置变化，DG06点 相应移动的路径长为 (结果保留根号)H【答案】12 -18.3【解析】试题分析：如图 2 和图 3，在 C G F 从 0 到 60 的变化过程中，点 H 先向 AB 方向移，在往 BA方向移，直到 H 与 F 重合（下面证明此时CGF=60 度） ，此时 BH 的值最大，如图 3，当 F 与 H 重合时，连接 CF，因为 BG=CG=GF，所以BFC=90 度，B=30 度，BFC=60 度，由 CG=GF 可得CGF=60 度.BC=12cm，所以 BF= BC=6 ；如图 2，当 GHDF 时，GH 有
16、最小值，则 BH 有最小值，且 GF/AB，连32接 DG，交 AB 于点 K，则 DGAB，DG=FG，DGH=45 度，则 KG=KH= GH= （ 6 ）212=3，BK= KG=3 ，则 BH=BK+KH=3 +3 则点运动的总路程为 6 -（3 +3）+12（ -1）-（333+3）=12 -18（cm）.考点：旋转的性质.三、解答题1.(2017 天津第 24 题)将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，ABO)0,3(A)1,(B点 . 是边 上的一点（点 不与点 重合） ，沿着 折叠该纸片，得点 的对应点 .)0,(OPABP,PA（1）如图，当点 在第一象限
17、，且满足 时，求点 的坐标； A（2）如图，当 为 中点时，求 的长；BA（3）当 时，求点 的坐标（直接写出结果即可）.03BPAP【答案】 （1）点 A的坐标为（ ，1） ；（2）1；（3） 或 .3(,)223(,)试题解析：（1）因点 ，点 ，)0,3(A)1,(BOA= ,OB=1.3根据题意，由折叠的性质可得AOPAOP.OA=OA= ,由 ，得ABO=90.OBA在 RtAOB 中， ,2AOB点 A的坐标为（ ，1）.2(2) 在 RtAOB 中，OA= ,OB=1,3 2ABO当 为 中点，PAP=BP=1,OP= AB=1.12OP=OB=BP,BOP 是等边三角形BOP=
18、BPO=60，OPA=180-BPO=120.由（1）知，AOPAOP，OPA=OPA=120，PA=PA=1，又 OB=PA=1，四边形 OPAB 是平行四边形.AB=OP=1.(3) 或 .3(,)223(,)2.(2017 河南第 22 题)如图 1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，RtABC90ABCDEABC，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点.ADECMPNDE（1）观察猜想图 1 中，线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；PMN（2）探究证明把 绕点 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理ADEMNBDCEPMN由；（3）拓展延
19、伸把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大值.ADE4AD10BPMN【答案】 （1）PM=PN， ；（2）等腰直角三角形，理由详见解析；（3） .PMN492【解析】试题分析：(1)已知 点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，根据三角形的中位线定理可得ECB, , ,根据平行线的性质可得DPM=DCE，NPD=ADC，1,2PECBD/PC/D在 中， ， ， ，可得 BD=EC，DCE+ADC=90，即可得RtA90AAPM=PN，DPM+NPD=90，即 ；（2） 是等腰直角三角形，根据旋转的性质易证MNPBADCAE，即可得 BD=CE，ABD=ACE，根据三角形的中
20、位线定理及平行线的性质（方法可类比（1）的方法）可得 PM=PN, MPD=ECD，PNC=DBC，所以MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD，DPN=PNC+PCN =DBC+PCN，即可得MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90，即PMN 为等腰直角三角形；（3）把绕点 旋转到如图的位置，此时 PN= (AD+AB)=7, PM= (AE+AC)=7,且 PN、PM 的值最长，由ADE1212（2）可知 PM=PN， ，所以 面积的最大值为 .PMNP497试题解析：（1）PM=PN， ；PMN（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD=C
21、AE，又 AB=AC,AD=AEBADCAEBD=CE，ABD=ACE，点 ， 分别为 ， 的中点MPDECPM 是DCE 的中位线PM= CE，且 ,12/同理可证 PN= BD，且 /PNBPM=PN, MPD=ECD，PNC=DBC，MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD，DPN=PNC+PCN =DBC+PCN，MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90，即PMN 为等腰直角三角形.(3) .492考点： 旋转和三角形的综合题.3.（2017 山东临沂第 25 题）数学课上，张老师出示了问题：如图 1， 、 是四边形 的对角ACBDAC线，若
22、，则线段 ， ， 三者之间有何等量关系？ACBD60AB经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 到 ，使 ，连接 ，证得BEE，从而容易证明 是等边三角形，故 ，所以 .EVCEV小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将 绕着点 逆时针旋转 ，使 与 重合，从而容ABCV60ABD易证明 是等比三角形，故 ，所以 .ACFVFD在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 4，如果把“ ”改为“60”，其它条件不变，那么线段 ， ， 三者之间有何BD45BABCA等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.（2）小华提出：如图 5，如果把“ ”改为“ACBD
23、60AB”，其它条件不变，那么线段 ， ， 三者之间有何等ACBDCDA量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.【答案】 （1）BC+CD= AC（2）BC+CD=2ACcos【解析】试题分析：（1）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE 是等腰三角形，再得出AEC=45，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=ABC 也可以先判断出点 A，B，C，D 四点共圆）（2）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE 是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论试题解析：（1）BC+CD= AC；2理由：如图 1，延长 CD 至 E，使 DE=BC，ABD=ADB=45，AB=AD，BAD=1
24、80ABDADB=90，ACB=ACD=45，ACB+ACD=45，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC 和ADE 中， ，ABDCEABCADE（SAS） ，ACB=AED=45，AC=AE，ACE 是等腰直角三角形，CE= AC，2CE=CE+DE=CD+BC，BC+CD= AC；（2）BC+CD=2ACcos理由：如图 2，延长 CD 至 E，使 DE=BC，ABD=ADB=，AB=AD，BAD=180ABDADB=1802，ACB=ACD=，ACB+ACD=2，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=1
25、80，ABC=ADE，在ABC 和ADE 中， ，ABDCEABCADE（SAS） ，ACB=AED=，AC=AE，AEC=，过点 A 作 AFCE 于 F，CE=2CF，在 RtACF 中，ACD=，CF=ACcosACD=ACcos，CE=2CF=2ACcos，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=2ACcos考点：1、几何变换综合题，2、全等三角形的判定，3、四边形的内角和，4、等腰三角形的判定和性质4.(2017 浙江金华第 19 题)如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为ABC,14,ABC(1)作出 关于原点 成中心对称的 ABCO1ABC(2)作出点 关于 轴的对称点
26、 若把点 向右平移 个单位长度后落在 的内部（不包括顶点xa1ABC和边界）求 的取值范围a【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）分别作出点 A、B、C 关于圆点 O 对称的点，然后顺次连接即可；（2）作出点 A 关于 X 轴的对称点，再向右平移即可.试题解析：（1）如下图：（2）解：A如图所示：a 的取值范围是 4a6. 5.(2017 浙江金华第 23 题)如图 1，将 纸片沿中位线 折叠，使点 的对称点 落在 边上，ABCEHADBC再将纸片分别沿等腰 和等腰 的底边上的高线 ， 折叠，折叠后的三个三角形拼合形BEDHFG成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一
27、个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形(1)将 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 ，则操作形成的折痕分别是线段ABCDAEFG_，_； _.:ABCDEFGS形 (2) 纸片还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形 ，若 ， ，求 的ABCDEFGH512EAD长(3)如图 4，四边形 纸片满足 小明把该纸片折叠，,8,0ADBCABCD得到叠合正方形请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 的长【答案】 （1） （1）AE；GF；1:2；（2）13；（3）按图 1 的折法，则 AD=1，BC=7；按图 2 的折法，则 AD=,BC= .347【解析】试题分析：（1）由图 2 观察可得出答案为 AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为 1：2；（2）由 EF 和EH 的长度根据勾股定理可求出 FH 的长度，再由折叠的轴对称性质易证AEHCGF；再根据全等三角形的性质可得出 AD 的长度；（3）由折叠的图可分别求出 AD 和 BC 的长度. （3）解：本题有以下两种基本折法，如图 1，图 2 所示.按图 1 的折法，则 AD=1，BC=7.按图 2 的折法，则 AD= ,BC= . 1347
