1、第二章 2.3 2.3.2 一、选择题1下列命题中： 导 学 号 92180510两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b 所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )A BC D答案 B解析 对，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对，由于 a，b 分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角) ，所以应是相等或互补，是正确的；对，因为不垂直于棱，所以是错误的；是正确的，故选B2已
2、知直线 l平面 ，则经过 l 且和 垂直的平面 ( )导 学 号 92180511A有 1 个 B有 2 个C有无数个 D不存在答案 C解析 经过 l 的平面都与 垂直，而经过 l 的平面有无数个，故选 C3若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角 ( )导 学 号 92180512A相等 B互补C相等或互补 D关系无法确定答案 D解析 如图所示，平面 EFDG平面 ABC，当平面 HDG 绕 DG 转动时，平面 HDG始终与平面 BCD 垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角 HDG F 的大小不确定4已知 、 是平面， m、n 是直线，给出下列
3、表述： 导 学 号 92180513若 m，m ，则 ；若 m，n，m ，n ，则 ；如果 m，n，m，n 是异面直线，那么 n 与 相交；若 m，nm，且 n，n ，则 n 且 n.其中表述正确的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中，m，n 不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确；中，还可能 n，所以不正确；中，由于 nm，n，m，则 n，同理 n ，所以 正确5如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B) 且PA AC，则二面角 PBC A 的大小为 ( )导 学 号 9218051
4、4A60 B30C45 D15答案 C解析 由条件得：PABC，AC BC 又 PAACC ，BC平面 PAC，PCA 为二面角 PBCA 的平面角在 RtPAC 中，由PA AC 得PCA45 ，故选 C6在棱长都相等的四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是 ( )导 学 号 92180515ABC平面 PDFBDF平面 PAEC平面 PDF 平面 ABCD平面 PAE 平面 ABC答案 C解析 可画出对应图形，如图所示，则 BCDF，又 DF平面 PDF，BC平面PDF，BC 平面 PDF，故 A 成立；由 AEBC，PEBC，BCD
5、F，知DFAE，DFPE，DF平面 PAE，故 B 成立；又 DF平面 ABC，平面 ABC平面PAE，故 D 成立二、填空题7在三棱锥 PABC 中，已知 PAPB，PBPC，PC PA，如图所示，则在三棱锥PABC 的四个面中，互相垂直的面有_对. 导 学 号 92180516答案 3解析 PA PB ，PAPC，PBPCP，PA平面 PBC，PA平面 PAB，PA平面 PAC，平面 PAB平面 PBC，平面 PAC平面 PBC 同理可证：平面 PAB平面 PAC8已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC ，BC2，则二面角3DBCA 的大小为_. 导 学 号 921805
6、17答案 90解析 如图，由题意知 ABACBD CD ，BCAD2.3取 BC 的中点 E，连接 DE、AE，则 AEBC，DEBC，所以DEA 为所求二面角的平面角易得 AEDE ，又 AD2，2所以DEA90.三、解答题9.如图所示，ABC 为正三角形，CE 平面 ABC，BD CE ，且 CEAC2BD，M是 AE 的中点. 导 学 号 92180518(1)求证：DE DA；(2)求证：平面 BDM平面 ECA；解析 (1)取 EC 的中点 F，连接 DF.CE平面 ABC，CEBC 易知 DFBC，CE DF .BDCE，BD平面 ABC在 Rt EFD 和 RtDBA 中，EF
7、CEDB，DFBCAB，12RtEFDRtDBD 故 DEDD (2)取 AC 的中点 N，连接 MN、BN ，则 MN 綊 CF.BD 綊 CF，MN 綊 BD，N平面 BDM.EC平面 ABC，ECBN.又ACBN，ECACC， BN 平面 ECD又BN平面 BDM，平面 BDM平面 ECD10如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧棱PDa， PAPC a，2 导 学 号 92180519(1)求证：PD 平面 ABCD；(2)求证：平面 PAC平面 PBD；(3)求二面角 PACD 的正切值解析 (1)PDa，DC a，PC a，2PC 2PD 2DC 2，P
8、DDC 同理可证 PDAD，又 ADDCD，PD平面 ABCD(2)由(1)知 PD平面 ABCD，PDAC，而四边形 ABCD 是正方形，ACBD，又 BDPD D，AC平面 PDB同时，AC平面 PAC，平面 PAC平面 PBD(3)设 ACBD O，连接 PO.由 PAPC，知 POAC 又由 DOAC，故POD 为二面角 PAC D 的平面角易知 OD a.22在 Rt PDO 中，tanPOD .PDOD a22a 2一、选择题1设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中，正确的是 ( )导 学 号 92180520A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B过直线 m 有且只
9、有一个平面与平面 垂直C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直答案 B解析 由题意，m 与 斜交，令其在 内的射影为 m，则在 内可作无数条与m垂直的直线，它们都与 m 垂直，A 错；如图示(1) ，在 外，可作与 内直线 l 平行的直线，C 错；如图(2)，m，.可作 的平行平面 ，则 m 且 ，D 错2把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则ABC 是 ( )导 学 号 92180521A正三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案 A解析 设正方形边长为 1，AC 与 BD 相交于 O，则折成直二面角后，AB BC1，AC
10、1，则 ABC 是正三角形CO2 AO2 222 2223在二面角 l 中，A，AB平面 于 B，BC平面 于 C，若AB 6，BC3 ，则二面角 l 的平面角的大小为 ( )导 学 号 92180522A30 B60C30或 150 D60或 120答案 D解析 如图，AB ，AB l，BC，BCl，l平面 ABC，设平面 ABClD，则ADB 为二面角 l 的平面角或补角，AB6，BC 3，BAC30，ADB60，二面角大小为 60或 120.4如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形
11、，使 B、C 、D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有 ( )导 学 号 92180523AAHEFH 所在平面 BAGEFH 所在平面CHFAEF 所在平面 DHGAEF 所在平面答案 A解析 由平面图得：AHHE，AHHF ，AH平面 HEF，选 D二、填空题5在三棱锥 PABC 中，PAPBACBC 2，PC 1 ，AB2 ，则二面角3PAB C 的大小为 _.导 学 号 92180524答案 60解析 取 AB 中点 M，连接 PM，MC，则 PMAB，CM AB，PMC 就是二面角 PABC 的平面角在 PAB 中，PM 1，22 32同理 MC1，则PMC 是
12、等边三角形，PMC60.6.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD 底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_ 时，平面 MBD平面 PCD (注：只要填写一个你认为正确的即可) 导 学 号 92180525答案 BMPC (其他合理即可)解析 四边形 ABCD 的边长相等，四边形为菱形ACBD，又PA平面 ABCD，PA BD，BD平面 PAC，BD PC 若 PC平面 BMD，则 PC 垂直于平面 BMD 中两条相交直线当 BMPC 时，PC平面 BDM.平面 PCD平面 BDM.三、解答题7(2015湖南)如下图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 的底面是边
13、长为 2 的正三角形，E、F分别是 BC、CC 1 的中点. 导 学 号 92180526(1)证明：平面 AEF平面 B1BCC1；(2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45，求三棱锥 FAEC 的体积解析 (1)如图，因为三棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，所以 AEBB 1，又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AEBC，因此 AE平面 B1BCC1，而 AE平面 AEF，所以平面 AEF平面 B1BCC1.(2)设 AB 的中点为 D，连接 A1D，CD，因为ABC 是正三角形，所以 CDAB，又三棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，所以 C
14、DAA 1，因此 CD平面 A1AB1B，于是CA 1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角，由题设知 CA 1D45 ，所以 A1DCD AB ，32 3在 Rt AA1D 中，AA 1 ，A1D2 AD2 3 1 2所以 FC AA1 ，12 22故三棱锥 FAEC 的体积 V SAECFC .13 13 32 22 6128如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA .3导 学 号 92180527(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 ABEP 的大小解析 (1)证明：如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且BCD60知，BCD 是等边三角形因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD，又 ABCD，所以 BEAB，又因为 PA平面 ABCD，BE 平面 ABCD，所以 PABE .而 PAABA，因此 BE平面 PAB又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB(2)由(1)知，BE平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE.又 ABBE，所以PBA是二面角 ABE P 的平面角在 Rt PAB 中，tan PBA ，PBA60.PAAB 3故二面角 ABE P 的大小是 60.
