1、题型七 代数几何综合题,命题规律与解题策略)【命题规律】 代数几何综合，一般设计34问，由易到难有一定的坡度，或连续设问，或独立考查，最后一问较难动点探索问题，一般是涉及三角形相似、特殊四边形、特殊角直角( 或直角三角形)、等腰三角形、三角形(或多边形) 最大面积的探究问题，青海近几年第28题都是此类题型，难度较大，分值在12分左右【解题策略】学会用数形结合思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想来解决此类题,重难点突破)相似三角形存在性问题探究【例1】(2017新疆中考)如图，抛物线y x2 x2与 x轴交于点A，B，与y轴交于点C.12 32(1)试求A，B， C的坐标；(2)将ABC绕AB中
2、点M旋转180，得到BAD.求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)分别令y0，x0解得方程的根即可求A ，B，C的坐标；(2)由矩形的性质找到点D ，C 的关系即可；(3)要注意分情况讨论【答案】解：(1)当y0时，0 x2 x2，来源:学优高考网gkstk12 32解得：x 11，x 24，则A(1，0) ，B(4，0)当x0时，y2，故C(0，2)；(2)如答图，过点D作DEx轴于点E.来源:gkstk.Com将ABC绕AB中点M旋转180
3、得到BAD，DE2，AOBE1，OM ME1.5，D(3 ，2)；四边形ADBC是矩形来源:学优高考网gkstk理由：将ABC绕AB 中点M旋转180得到BAD，ACBD ，ADBC，四边形ADBC是平行四边形AC ，BC 2 ，AB5，12 22 5 22 42 5AC 2BC 2AB 2，ACB是直角三角形，ACB90，四边形ADBC是矩形；(3)存在点P的坐标为(1.5，1.25)或(1.5 ，1.25)或(1.5，5)或(1.5，5) 1(2017海南中考)抛物线yax 2bx3经过点A(1，0)和点 B(5，0) (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y x3相交于
4、C，D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与35x轴和直线CD交于点M，N.连接PC ，PD，如图，在点P运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连接PB ，过点C作CQPM，垂足为点Q ，如图，是否存在点 P，使得CNQ与PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由解：(1)抛物线yax 2bx3经过点A(1，0) 和点B(5，0)， 解得a b 3 0，25a 5b 3 0， ) a 35，b 185， )该抛物线对应的函数解析式为y x2 x3；35 185(2)点P是抛物线上的动点且位于
5、x轴下方，可设P (1t 5) 直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N，M(t，0)，N(t， 35t2 185t 3)， PN t3 .联立直线CD与抛物线解析式可得(t， 35t 3) 35 (35t2 185t 3) 35(t 72)2 14720 y 35x 3，y 35x2 185x 3， )解得 或 C(0 ，3) ，D .S PCD S PCN S PDN PN|xDx c| PNx 0，y 3) x 7，y 365， ) (7， 365) 12 72 72 35(t 72)2 14720 ，当t 时，PCD的面积有最大值 ，最大值为 ；2110(t 72)21 0294
6、0 72 1 02940存在理由：CQNPMB 90，当CNQ 与PBM 相似时，有 或 两种情况CQPNQCQ PMBMNQCQ BMPMM，垂足为 Q，Q(t，3)，且 C(0，3) ，N ，CQt，NQ t33 t， .P(t， 35t 3) 35 35 NQCQ 35，M(t，0) ， B(5，0)，BM5t，PM0 t2 t3.当 时，则P(t， 35t2 185t 3) (35t2 185t 3) 35 185 NQCQ PMBMM BM，即 t2 t3 (5t)，解得t 2或t5(舍去 )，此时P ；当 时，则BM PM，即535 35 185 35 (2， 95) NQCQ B
7、MPM 35t ，解得t 或t5(舍去) ，此时P .综上可知，存在满足条件的点P，其坐标为35( 35t2 185t 3) 349 (349， 5527)或 .(2， 95) (349， 5527)【方法指导】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在(1) 中注意待定系数法的应用，在(2) 中用P点坐标表示出PCD的面积是解题的关键， 在(2) 中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究【例2】(2017兰州中考
8、节选)如图，抛物线yx 2bx c与直线AB交于A(4，4)，B(0，4) 两点，直线AC：y x6交y轴于点C.点 E是直线AB上的动点，过点 E作EF x轴交AC于点F，交抛物线于点G.12(1)求抛物线yx 2bxc的解析式；(2)连接GB ，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)在y轴上存在一点H，连接 EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H的坐标【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；(3)先判断出要以点 A，E，
9、F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可【答案】解：(1)点A(4， 4)，B(0，4)在抛物线y x2bxc上， 16 4b c 4，c 4， ) 抛物线的解析式为yx 22x4；b 2，c 4， )(2)设直线AB 的解析式为 ykx n.将A( 4，4)，B(0，4)代入得 直线AB的解n 4， 4k n 4， ) k 2，n 4， )析式为y2x4.设E(m，2m 4) ，G(m，m 22m4) 四边形GEOB是平行四边形，EG OB4，m22m42m44，m2，G(2，4) ；(3)如答图，由(2) 知，直线AB的解析式为y2x4，设 E(a，2a4
10、) 直线AC：y x6，F(a， a12 126)设 H(0， p)，以点A， E，F，H 为顶点的四边形是矩形 ，ABAC，EF为对角线， (40) (a12 12a)， (4p) ，12 12(2a 4 12a 6)a2，p1，E( 2，0)，H(0，1) 2(2017天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax 22ax3a(a0)与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，经过点A的直线l ：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC.(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l的函数解析式；( 其中k，b用含a的式子表示)(3)点E
11、是直线 l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为 ，求a的值；54(4)设P是抛物线对称轴上的一点 ，点Q 在抛物线上，以点 A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由解：(1)当y0时，ax 22ax3a0，解得：x 11，x 23，A(1，0)，B(3，0) ，对称轴为直线x1； 1 32(2)直线l：ykxb过A( 1，0)，0kb，即kb，直线l ：ykxk.抛物线与直线l交于点A，D，ax 22ax3akxk，即ax 2(2ak)x3ak0. CD4AC ，点D 的横坐标为4，3 14，kaka，直线 l的函数解析式为yaxa；(3)如
12、答图，过E作EF y轴交直线l 于F ，设E(x ，ax 22ax3a) ，则F(x ，ax a)，EFax 22ax3aaxaax 23ax 4a，S ACE S AFE S CEF (ax23ax4a)(x1) (ax23ax4a)x (ax23ax 4a) a12 12 12 12 a，ACE的面积的最大值为 a.ACE 的面积的最大值为 ， a ，解得a ；(x 32)2 258 258 54 258 54 25(4)以点A，D，P ，Q为顶点的四边形能成为矩形理由：令ax 22ax 3a axa，即ax 23ax 4a0，解得：x 11，x 24，D(4，5a) 抛物线的对称轴为直线
13、x1，设P(1，m)若AD是矩形ADPQ的一条边，如答图，则由中点公式易得Q(4，21a) ，m 21a5a26a，则P(1，26a) 四边形ADPQ是矩形，ADP90，AD 2PD 2AP 2，5 2(5a) 23 2(26a5a) 2 22(26a) 2，即a 2 .a0，a ，P ；若AD 是矩形APDQ 的对角线，如答图，17 77 (1， 2677 )则易得Q(2 ， 3a)，m5a( 3a)8a，则P(1，8a)四边形APDQ是矩形，APD90，AP 2PD 2AD2，( 11) 2(8a) 2(1 4) 2(8a5a) 25 2(5a) 2，即a 2 .a0，a ，P(1，4)综
14、上所述，以14 12点A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形 ，点P的坐标为 或(1，4)(1， 2677 )【方法指导】(1)解方程即可得到结论；(2)根据直线l：ykxb过A(1，0)，得到直线l：ykxk，解方程得到点D 的横坐标为4，求得ka，得到直线l的函数解析式为yax a；(3)过E作 EFy轴交直线l于F，设E(x ，ax 22ax3a)，得到 F(x，ax a)，求出EFax 23ax4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；(4)令ax 22ax3a ax a，即ax 23ax4a 0，得到D(4，5a)，设P(1，m)分情况讨论：若AD是矩形ADPQ的一条边；若AD
15、是矩形 APDQ的对角线，列方程即可得到结论直角三角形存在性问题探究【例3】(2017内江中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bxc(a 0) 与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B 两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为 x1.(1)求抛物线的解析式；来源:学优高考网(2)点M 从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动 ，其中一个点到达终点时 ，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S ，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系 ，并求S 的最大值；(3)在点M 运动过程中 ，是否
16、存在某一时刻 t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由【解析】(1)把点A，B ，C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a，b，c的解析式，通过解方程组求得它们的值；(2) 设运动时间为t 秒利用三角形的面积公式列出S MBN 与t的函数关系式S MBN (t1) 2 .利910 910用二次函数的图象性质进行解答；(3)根据余弦函数，可得关于 t的方程，解方程，可得答案【答案】解：(1)点B 坐标为(4，0) ，抛物线的对称轴为直线x1，A(2，0)把点A( 2，0)，B(4，0)，C(0，3) 分别代入yax 2bxc(a0)，得 解得 该抛物线的解析式为y x
17、24a 2b c 0，16a 4b c 0，c 3， ) a 38，b 34，c 3， ) 38 34x3；来源:学优高考网gkstk(2)设运动时间为t s，则AM 3t，BNt.MB 63t. 由题意得，点C的坐标为(0，3) 在Rt BOC中，BC5.如答图，过点 N作NHAB于点H.NHCO ，BHNBOC， ，即 ，HN32 42HNOC BNBC HN3 t5 t.S MBN MBHN (63t) t t2 t (t1) 2 .当MBN存在时，0t2，当t 1时，S 35 12 12 35 910 95 910 910MBN最大 . 点M运动1 s 时 MBN的面积最大，最大面积是
18、 ；910 910(3)如答图，在RtOBC中，cosB .设运动时间为t OBBC 45s，则AM3t， BNt.MB63t.当MNB90时，cosB ，即 ，解得t ；当BMN90BNMB 45 t6 3t 45 2417时，cos B ，即 ，解得t .综上所述， t 或t 时，MBN为直角三角形MBNB 45 6 3tt 45 3019 2417 30193如图，已知抛物线yax 2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0) ，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到
19、点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x 1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点P 的坐标解：(1)依题意，得解得 b2a 1，a b c 0，c 3， ) a 1，b 2，c 3， )抛物线解析式为yx 22x3.对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0) ，B(3，0)把B(3，0)，C(0 ，3) 分别代入直线ymx n，得 解得 直线ymxn的解析式为yx3； 3m n 0，n 3， ) m 1，n 3， )(2)设直线BC与对称轴x1的交点为M，由两点之间线段最短可知此时MAMC的值最小把x1代入直线yx3得，y2，M( 1，2) ，
20、即当点M到点A的距离与到点C 的距离之和最小时M的坐标为( 1，2)；(3)设P( 1，t)，又B(3，0) ，C(0，3)，BC 218， PB2(13) 2t 24t 2，PC 2(1) 2(t 3) 2t 26t10.如答图，若点B为直角顶点，则BC 2PB 2PC 2.即：184t 2t 26t 10，解得t2；若点C为直角顶点，则BC 2PC 2PB 2.即：18t 26t 104t 2，解得t4；若点P为直角顶点，则PB 2PC 2BC 2.即：4t 2t 26t1018，解得 t1 ，t 2 .综上所述，P点的坐标为(1，2) 或(1，4)或3 172 3 172或 .( 1，
21、3 172 ) ( 1， 3 172 )【方法指导】先由对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0) ，C(0，3)两点，可求抛物线的解析式，再求点B 的坐标 ，直线解析式即可求；由抛物线的轴对称性质知道点A，B关于对称轴对称，故BC 与对称轴的交点即为M点，故求出BC 的长即可分类讨论点B ，P ，C 都可能为直角顶点图形面积存在性问题探究【例4】如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A ，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3) (1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动 ，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积【解析】(1)
22、由B ，C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)连接BC，则ABC的面积是不变的，过P作PMy轴，交BC于点M，设出P 点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积【答案】解：(1)把B ，C两点坐标代入抛物线解析式可得 解得9 3b c 0，c 3， ) b 2，c 3， )抛物线的解析式为yx 22x3；(2)如答图，连接BC，过P作与y轴平行的直线，交BC于点M ，交x轴于点H. 在yx 22x3中，令y0可得0x 22x3，解得x1或x3，A 点坐标为( 1，0)，AB3(1)4，且OC3，
23、S ABC ABOC12436.B(3，0)，C(0， 3) ，直线BC的解析式为yx3.设P点坐标为(x，x 22x3) ，则M点坐标为(x12，x3) P点在第四象限 ， PMx3(x 22x3) x23x，S PBC PMOH PMHB PM(OH12 12 12HB) PMOB PM，当 PM有最大值时，PBC 的面积最大 ，则四边形ABPC的面积最大PMx 23x12 32 ， 当x 时，PM max ，则S PBC ，此时P点坐标为 ，S 四边形ABPC S ABC S P(x 32)2 94 32 94 32 94 278 (32， 154)BC 6 ，即当P 点坐标为 时，四边
24、形ABPC的面积最大，最大面积为 .278 758 (32， 154) 7584如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax 2bx3(a 0)与x轴交于点A(2，0)，B(4，0) 两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动 ，其中一个点到达终点时 ，另一个也停止运动，当PBQ存在时，运动多少秒使PBQ 的面积最大 ，最大面积是多少？(3)当PBQ的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点M，使S CBM S PBQ 52，求M点坐标解：(1)yax 2bx3
25、经过A(2，0) ，B(4，0)， 解得4a 2b 3 0，16a 4b 3 0， ) a 38，b 34， )y x2 x3；38 34(2)设经过t s，此时 PB63t，BQt，B(4，0)，C(0，3) ，则BC5.过Q点作QKx轴于K点，如答图，可知：BKQBOC， ，即 ，KQ t.S BPQ BPKQ t(63t) (t1) 2 .当PBBKBO BQBC KQOC t5 KQ3 35 12 12 35 910 910Q存在时，0t2，当t1时 ，S PBQ 取最大值为 ；910(3)当S BPQ 取最大值 时，S CBM S PBQ 52，即S CBM .点M在抛物线上，且在B
26、C下方，设M910 94，0t4.过M点作y轴的平行线交BC于N点，交x轴于R点B(4，0)，C(0，3) ，直线BC 的(t， 38t2 34t 3)解析式为：y x3，N点坐标为 .SCMB S CMN S NMB MNOR MNBR MN(ORBR)34 (t， 34t 3) 12 12 12 MNOB， 4 t2 3t，解得：t 11，t 23.M点的坐标为 或12 94 12 34t 3 (38t2 34t 3) 34 (1， 278).(3， 158)【方法指导】将A，B两点坐标代入即可求出a，b.可作QKAB，并分别列出AP ，BQ，PB的参数方程，用三角函数得出KQ的参数长度，进而求出PBQ的面积函数，用水平底边与铅锤高的乘积的一般求解 (方法不唯一)
