1、第二十三讲 与圆有关的位置关系,考标完全解读)考点来源:学优高考网 gkstk 考试内容 考试要求点与圆的位置关系来源:gkstk.Com 了解直线与圆的位置关系 了解与圆的位置关系来源:学优高考网gkstk来源:gkstk.Com来源:学优高考网gkstk圆与圆的位置关系 了解切线的概念 掌握切线的判定 理解切线切线长定理 掌握三角形内心、外心的概念 了解三角形的内心和外心三角形内心、外心的性质 了解,感受宜宾中考)1(2011宜宾中考)如图，PA，PB是O 的切线，A ，B 为切点， AC是O 的直径，P 40，则BAC_20_.,(第1题图) ,(第2题图)2(2014宜宾中考)如图，已
2、知AB为O的直径，AB2，AD 和BE是O的两条切线，A ，B 为切点，过 圆上一点C 作O的切线CF，分别交AD，BE于点M ，N，连接AC，CB.若ABC 30，则AM _ _.333(2017宜宾中考)如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AD 平分CAE交O于点D，且AE CD，垂足为点E.(1)求证：直线CE 是O 的切线；(2)若BC3，CD3 ，求弦AD的长2解：(1)连结OD，AD平分EAC，OADEAD，OAOD，OADODA，EAD ODA ，OD AE ，AEDC，ODCE，CE 是O 的切线；(2)CDO ADB90，ODACDB OAD，C C，CDBCAD，
3、，CD 2CBCA，CDCA CBCD BDAD(3 )23CA，CA6，2ABCA BC3, ，BDAD CDCA 326 22设BD k，AD 2k，在RtADB中，2k 24k 23 2，k ，AD .262 6,核心知识梳理)点与圆的位置关系1点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外与其对应关系可简明如下：点与圆的位置关系 图形 d与r的大小关系点A在圆内dOAr【方法点拨】(1)点与圆的位置关系的数量特征，既是定义，也可作判定方法(2)其中，点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与定点的距离相等【针对练习】在ABC中，C90，ACBC4 c
4、m，D是AB的中点，以C为圆心，4 cm长为半径作圆，则A，B ， C，D 四点中，在圆内的点有 _2个_直线与圆的位置关系2直线与圆的三种位置关系，既可以由直线与圆的交点个数来定义，也可以由圆心到直线的距离的大小关系来定义直线与圆的位置关系 相交 相切 相离图形公共点个数 2 1 0圆心到直线的距离d与半径r的大小关系 d_ r d_ r d_ r3切线的判定与性质(1)切线的判定定理经过半径的外端并且_垂直_这条半径的直线是圆的切线【方法点拨】(1)若直线与圆只有一个公共点，则这条直线是圆的切线；(2) 连接圆心与直线的公共点即为半径，再证它们互相垂直，简称“连半径证垂直”；(3)当直线与
5、圆的公共点没有确定时，首先过圆心作出直线的垂线，再证垂线段的长等于半径，简称“作垂直证半径”【针对练习】矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作圆，则与圆相切的矩形的边共有_3条_(2)切线的性质定理圆的切线垂直于_经过切点的半径_推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心【方法点拨】(1)分析性质定理和两个推论的条件、结论间的关系，可知如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的两个，就可以推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心；(2)与圆的切线有关的辅助线作法：若一个圆有切线，则常过圆心作切线的垂线段为辅助线；若条件交代了切点，则连接圆心
6、和切点是最常见的辅助线【针对练习】已知AB是两个同心圆中大圆的弦，也是小圆的切线，设ABa，用a表示这两个同心圆中圆环的面积为_ a2_14(3)切线长定理切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_相等_，这一点和圆心的连线_平分_两条切线的夹角切线长定理的应用：如图，PA，PB与O 分别相切于A，B两点，则PAOPBO，PAPB ；APOBPO； OA2 AP2OP 2.【针对练习】等腰梯形的各边都与O 相切，O 的直径为 8 cm，梯形的腰长为10 cm，则等腰梯形的上底长为_4_ cm.三角形的内心和外心4三角形的外心：经过三角形的_三个顶点_的圆叫做三角形的外接圆，外接圆
7、的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形_三边垂直平分线_ 的交点，到三角形_三个顶点_的距离相等5三角形的内心：与三角形的_三边都相切_的圆叫做三角形的_内切圆_，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形_三个内角平分线_的交点，到三角形_三边_的距离相等【针对练习】正三角形的内切圆的面积与外接圆的面积之比为( B ) A15 B 14 C13 D12圆中常见辅助线的作法6(1)有弦，可作弦心距；(2)有直径，可作直径所对的圆周角，此时圆周角为直角；(3)有切线，可作过切点的半径；(4)两圆相交，可作公共弦；(5)两圆相切，可作切线；(6)有半圆，可作整圆,重点难点解析)点与圆、直线与圆的位置关
8、系【命题规律】考查点与圆、直线与圆的位置关系，关键是熟记两者关系中的数量间的关系【例1】已知O的半径r3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：若d5，则m 0；若d5，则m 1； 若1d5，则m3；若d1，则m2；若d1，则m4.其中正确命题的个数是 ( C )A1 B2 C 3 D5【解析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案【答案】C【针对训练】1如图所示，在直角坐标系中，M的圆心坐标为(m，0)，半径为2，如果M与y轴所在直线相切，那么m_2 _，如果M与y轴所在直线相交，那么m 的取值范围是_2m 2
9、_切线的性质和判定【命题规律】考查切线的性质与判定，常以填空、选择、解答题的形式出现【例2】(漳州中考)如图，AB为O的直径，点E在O 上，C为 的中点，过点C作直线CDAE于D，连结AC，BC.BE (1)试判断直线CD 与O的位置关系，并说明理由；(2)若AD2，AC ，求AB的长6【解析】(1)连结OC ，由C为 的中点，得到12，等量代换得到2ACO，根据平行线的性质得到BE OCCD，即可得到结论；(2)连结CE，由勾股定理得到CD ，根据切割线定理得到CD 2ADDAC2 AD2 2E，根据勾股定理得到CE ，由圆周角定理得到ACB90，即可得到结论CD2 DE2 3【答案】解：(
10、1)相切理由：连结OC，C为 的中点，12 ，BE OAOC，1ACO，2ACO ，AD OC，CDAD，OCCD，直线CD与O相切；(2)AB 是O的直径，ACB90.在ADC 和ACB中，由(1)可得12，ADCACB90，ACDACB.根据相似三角形的性质可得， ，ABAC ACADAB 3.AC2AD 62【针对训练】2(2017日照中考)如图，AB是O的直径，PA 切O于点A，连结PO并延长交O于点C，连结AC，AB10，P30，则 AC的长度是 ( A )A5 B5 C5 D.3 252,(第2题图) ,(第3题图)3(2017镇江中考)如图，AB是O的直径，AC与O相切，CO交O
11、于点D.若CAD 30，则BOD_120_4如图，在ABC中，以AC为直径作O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DEAB，垂足为E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF 是O的切线；(2)若CF5，cosA ，求BE 的长25解：(1)连结OD, D是BC 的中点，OD为ABC 的中位线，OD AB，又EF AB, ODEF，即直线EF是 O 的切线； (2)连结CG. AC是O 的直径，AGC90.在Rt ACG中，cosA ，令AC2r，则AG r，在Rt AEF中，cos A ，AF2r5, AGAC 25 45 AEAF 25AE (2r5)，25EGAE AG (2r
12、5) r2.25 45又CGAB, DEAB, CGEF.D是BC的中点， BEEG2.与切线相关的几何探究题【命题规律】这类题目将圆、三角形、四边形的知识综合起来，考查综合应用知识解决问题的能力，题目难度大，常为次压轴题【例3】(2016宜宾中考)如图，在APE中，PAE90 ，PO 是APE的角平分线，以O 为圆心、OA 为半径作圆交AE于点G.(1)求证：直线PE 是O的切线；(2)在图中，设PE 与O相切于点 H，连接AH，点D 是O 的劣弧 上的一点，过点D作O的切线，交PA于AH 点B ，交 PE于点 C，已知PBC 的周长为4，tanEAH .求EH 的长. 12【解析】(1)作
13、 OHPE ，由PO为APE的平分线得到APO EPO，判断出PAOPHO，得到OHOA ，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是O的切线；(2)先利用切线的性质和PBC 的周长为4，求出PA2，再用三角函数求出OA ，AG，然后用三角形相似，得到 AE2EH，用勾股定理求出EH.【答案】解：(1)过O点作OHPE ，垂足为H.又OP平分APE ，PAE90，OAOH，又OA为半径，直线PE是O的切线；(2)连接OH，GH.OA为半径，PAE90， PA 切O于点 A.PH 切 O于点H，PA PH，同理， BABD，CD CH，PAPHPBBAPC CHPB DBPCCDPB BCP
14、C4，PA PH2 ，OA OH，OAHOHA，AG为O的直径，AHGOHGOHAOHGOAH90.PE 切O 于H，OHE EHGOHG 90，EHG OAH. E E，EGH EHA， .GHAH EHEAtanEAH ， .12 GHAH EHEA 12设EHx，则AE2x，在Rt AEP中，AE 2AP 2PE 2，即(2x) 22 2(2x) 2，解得 x ，EH .43 43【针对训练】5(2017聊城中考)如图，O是ABC 的外接圆，O点在BC边上，BAC的平分线交O于点D，连结BD，CD.过点D作BC的平行线，与 AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是O的切线；(2)求证：
15、PBDDCA；(3)当AB 6，AC8时，求线段 PB的长解：(1)连结OD.圆心O在BC上，BC是O的直径，BAC90.AD平分BAC，BAC2DAC.又DOC2DAC，DOCBAC90，即ODBC.PDBC，ODPD.又OD是O的半径，PD是O的切线；(2)PDBC，P ABC.又ABCADC ，PADC.PBD ABD180，ACDABD 180，PBD ACD，PBDDCA；(3)ABC是直角三角形，BC 2AB 2AC 26 28 2100，BC10.OD垂直平分BC ，DB DC.BC是O的直径，BDC90.在Rt DBC 中， DB2DC 2BC 2，即2DC 2BC 2100.
16、DCDB5 .2PBD DCA， .PBDC BDAC即PB .DCBDAC 52528 2546(2015宜宾中考)如图，CE 是O 的直径，BD切O于点D，DEBO，CE的延长线交BD于点A.(1)求证：直线BC是O的切线；(2)若AE 2，tanDEO ，求AO的长2解：(1)连结OD.DEBO，DEO BOC，EDODOB.ODOE ， EDOOED，COBBOD.在DOB与COB中， OD OC， DOB COB，OB OB， )DOBCOB，OCBODB，BD切O于点D，ODBOCB90，ACBC，直线BC是O 的切线；(2)DEOBOC，tanDEO tanBOC ，2设OCr，
17、BC r，2由(1)证得DOBCOB，BDBC r，2由切割线定理得：AD2AEAC 2(22r)，AD2 ，1 rDEBO. ，ADBD AEOE ，21 r2r 2 rrr1，AO3. ,当堂过关检测)1已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为4 cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心，5 cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是( A )A相离 B 相切 C相交 D不能确定2在ABC中，C 90，AC4，AB5，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若C与边AB只有一个公共点，则R 的取值范围是( D )AR B3R4125C0R 3或R 4 D3 R4或R1253如图，ABC内接于O，BC 是O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC 到点D，连接OA，AD，使得FAC AOD，DBAF.(1)求证：AD是O的切线；(2)若O的半径为 5，CE2，求EF的长解：(1)BC是O的直径，BAF FAC90，DBAF，AODFAC，DAOD90，OAD90，AD是O的切线；(2)连接BF，FACAOD，ACEOCA， ，ACOC AEOA CEAC ，ACAE ，AC5 AE5 2AC 10CAECBF，ACEBFE， ， ，AECE BEEF 102 8EFEF .8105请 完 成 精 练 本 第 59页 作 业教后反思：_
