1、专题 12 探索性问题一、选择题1 （2017 年贵州省黔东南州第 10 题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b） n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角” 根据“杨辉三角”请计算（a+b） 20的展开式中第三项的系数为（ ）A2017 B2016 C191 D190【答案】D【解析】考点：完全平方公式2. （2017 年内蒙古通辽市第 10 题）如图，点 P在直线 AB上方，且 90P， ABC于 ，若线段 6AB， xC， ySPAB，则 与 x的函数关系图象大致是（ ）A B C
2、D 【答案】D考点：动点问题的函数图象 3 （2017 年四川省内江市第 12 题）如图，过点 A（2，0）作直线 l： 3yx的垂线，垂足为点 A1，过点 A1作 A1A2 x 轴，垂足为点 A2，过点 A2作 A2A3 l，垂足为点 A3，这样依次下去，得到一组线段：AA1， A1A2， A2A3，则线段 A2016A2107的长为（ ）A 20153() B 20163() C 20173() D 20183()【答案】B考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题4 （2017 年山东省日照市第 10 题）如图，BAC=60，点 O 从 A 点出发，以 2m/s 的速度沿BAC 的
3、角平分线向右运动，在运动过程中，以 O 为圆心的圆始终保持与BAC 的两边相切，设O 的面积为 S（cm 2） ，则O 的面积 S 与圆心 O 运动的时间 t（s）的函数图象大致为（ ）A B C D【答案】D试题分析：BAC=60，AO 是BAC 的角平分线，BAO=30，设O 的半径为 r，AB 是O 的切线，AO=2t，r=t，S=t2，S 是圆心 O 运动的时间 t 的二次函数，0，抛物线的开口向上，故选 D考点：动点问题的函数图象5 （2017 年山东省日照市第 11 题）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为（ ）A23 B75 C77 D139【答案
4、】B考点：规律型：数字的变化类6. （2017 年湖南省岳阳市第 7 题）观察下列等式： 12， 24， 38， 4216， 532，624， ，根据这个规律，则 123407的末尾数字是A 0 B 2 C.4 D 6【答案】B【解析】试题解析：2 1=2，2 2=4，2 3=8，2 4=16，2 5=32，2 6=64，20174=5061，（2+4+8+6）506+2=10122，2 1+22+23+24+22017的末位数字是 2，故选 B考点：尾数特征二、填空题1 （2017 年贵州省毕节地区第 20 题）观察下列运算过程：计算：1+2+2 2+210解：设 S=1+2+22+210，
5、2 得2S=2+22+23+211，得S=2111所以，1+2+2 2+210=2111运用上面的计算方法计算：1+3+3 2+32017= 【答案】20183.考点：规律型：数字的变化类2 （2017 年贵州省黔东南州第 16 题）把多块大小不同的 30直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为（0，1） ，ABO=30；第二块三角板的斜边 BB1与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交 x 轴于点 B2；第四块三角板的斜边 B2B3与第三块三角
6、板的斜边 B1B2C 垂直且交 y 轴于点B3；按此规律继续下去，则点 B2017的坐标为 【答案】 （0， 20173（ ） ）【解析】考点：规律型：点的坐标 3. （2017 年湖北省荆州市第 14 题）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图形中共有_个点.【答案】135【解析】试题分析：仔细观察图形：第一个图形有 3=31=3 个点，第二个图形有 3+6=3（1+2）=9 个点；第三个图形有 3+6+9=3（1+2+3）=18 个点；第 n 个图形有 3+6+9+3n=3（1+2+3+n）=3(1)2n个点；当 n=9 时，39102=135 个点，故答案为：13
7、5考点：规律型：图形的变化类 4. （2017 年山东省威海市第 16 题）某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.第一次拼成形如图 1 所示的图案，第二次拼成形如图 2 所示的图案，第三次拼成形如图 3 的图案，第四次拼成形如图 4 的图案按照只有的规律进行下去，第 n次拼成的图案用地砖 块.【答案】2n 2+2n考点：规律题目5. （2017 年山东省潍坊市第 17 题）如图，自左至右，第 1 个图由 1 个正六边形、6 个正方形和 6 个等边三角形组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11 个正方形和 10 个等边三角形组成；第 3 个图由 3 个正六边形、16 个正方形和 14 个等边三角
8、形组成；按照此规律，第 n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个. 【答案】9n+3考点：规律型：图形的变化类6. （2017 年湖南省郴州市第 16 题）已知 123455791,1026aaa ，则 8a 【答案】 1765.【解析】试题分析：由题意给出的 5 个数可知：a n= 21(),所以当 n=8 时，a 8=1765.考点：数字规律问题.7 （2017 年四川省内江市第 26 题）观察下列等式：第一个等式： 12213a；第二个等式： 2223113()2a；第三个等式： 33324()1；第四个等式： 444251()a；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式： a
9、6= = ；（2）用含 n 的代数式表示第 n 个等式： an= = ；（3） a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果） ；（4）计算： a1+a2+an【答案】 （1）623()， 671；（2） 213()n，12nn；（3） 4；（4）13()n【解析】考点：规律型：数字的变化类；综合题三、解答题1. （2017 年湖北省荆州市第 20 题） （本题满分 8 分）如图，在矩形 ABCD 中，连接对角线 AC、 BD，将ABC 沿 BC 方向平移，使点 B 移到点 C,得到 DCE.（1）求证： ACD EDC;（2）请探究 BDE 的形状，并说明理由. 【答案】 （1）证明
10、见解析（2）BDE 是等腰三角形【解析】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、平移的性质 2. （2017 年山东省威海市第 24 题）如图，四边形 ABCD为一个矩形纸片， 3AB， 2C，动点P自 D点出发沿 C方向运动至 点后停止. P以直线 为轴翻折，点 D落到点 1的位置.设x， A1与原纸片重叠部分的面积为 y.（1）当 x为何值时，直线 1AD过点 C？（2）当 为何值时，直线 过 B的中点 E？（3）求出 y与 x的函数关系式.【答案】 （1）当 x= 2134时，直线 AD1过点 C（2）当 x= 1023时，直线 AD1过 BC 的中点 E（3）当0x2 时
11、，y=x；当 2x3 时，y=24x【解析】试题解析：（1）如图 1，由题意得：ADPAD 1P，AD=AD 1=2，PD=PD 1=x，D=AD 1P=90，直线 AD1过 C，PD 1AC，在 RtABC 中，AC= 23+=1，CD 1= 32，在 RtPCD 1中，PC 2=PD12+CD12，即（3x） 2=x2+（ 2） 2，解得：x=34，当 x=213时，直线 AD1过点 C；（2）如图 2，（3）如图 3，当 0x2 时，y=x，如图 4，综合上述，当 0x2 时，y=x；当 2x3 时，y=24x考点：1、勾股定理，2、折叠的性质，3、矩形的性质，4、分类推理思想3. （2
12、017 年辽宁省沈阳市第 24 题）四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，点 E在边 AD所在的直线上，连接 CE，以 为边，作正方形 CEFG（点 ，点 F在直线 E的同侧） ，连接 BF（1）如图 1，当点 与点 A重合时，请直接写出 的长；（2）如图 2，当点 在线段 D上时， 1求点 F到 的距离求 B的长（3）若 310，请直接写出此时 AE的长【答案】(1)BF=4 5;(2)点 F到 AD的距离为 3；BF= 74；(3)AE=2+ 41或 AE=1.【解析】试题解析：(1)BF=4 5;(2) 如图，过点 F 作 FHAD 交 AD 的延长线于点 H，四边形 CEFG 是正方
13、形即点 F到 AD的距离为 3.延长 FH 交 BC 的延长线于点 K，DHK=HDC=DCK =90，四边形 CDHK 为矩形，HK=CD=4,FK=FH+HK=3+4=7 ECDFHEH=CD=AD=4AE=DH=CK=1BK=BC+CK=4+1=5,在 RtBFK 中，BF= 22754FKB(3)AE=2+ 41或 AE=1.考点：四边形综合题. 4. （2017 年湖南省岳阳市第 23 题） （本题满分 10 分）问题背景：已知 DF的顶点 在 CA的边 所在直线上（不与 A， 重合） D交 CA所在直线于点 ， 交 C所在直线于点 记 D的面积为 1S， 的面积为 2S（1）初步尝
14、试：如图，当 是等边三角形， 6， F，且 /， 2时，则 2S ；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 沿 A平移，使 4，再将 D绕点 旋转至如图所示位置，求 12S的值；（3）延伸拓展：当 CA是等腰三角形时，设 F（I）如图，当点 D在线段 上运动时，设 Da， b，求 12S的表达式（结果用 a， b和的三角函数表示） （II）如图，当点 在 的延长线上运动时，设 A， ，直接写出 12S的表达式，不必写出解答过程【答案】(1)12;(2)12；（3） 14（ab） 2sin2 14（ab） 2sin2（2）如图 2 中，设 AM=x，BN=yMDB=MDN+NDB=A+AMD，MDN=A，AMD=NDB，A=B，AMDBDN， AMDBN， 42xy，xy=8，S 1=2ADAMsin60= 3x，S 2=1DBsin60= 32y，S 1S2= 3x y= xy=12同法可证AMDBDN，可得 xy=ab，S 1=2ADAMsin= 12axsin，S 2=1DBBNsin= 12bysin，S 1S2=4（ab） 2sin2考点：几何变换综合题
