1、第三单元 函 数第 15 课时 二次函数综合题(建议答题时间：50 分钟)命题点 1 与一次函数结合1. 当 k 分别取1，2， 时，函数 y2 xk22( k1)x ，在2x2 时，y 都随 x 的增大而增大吗？请写出你的判断，并说明理由2. 已知函数 yk (x )(x2)(k0)2k(1)|k| 2，请画出符合条件的函数图象；(2)k 的值分别取 k1，k 2 时，得到两个函数 y1k 1(x )(x2)，2k1y2 (x )(x2)，其中 k1y2，试求 x 的取值范围命题点 2 与几何图形结合5(2017 天津) 已知抛物线 yx 2bx3(b 是常数) 经过点A( 1，0)(1)求
2、该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m，t) 为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为 P.当点 P落在该抛物线上时，求 m 的值；当点 P落在第二象限内，PA 2 取得最小值时，求 m 的值6. 如图，二次函数 y x2bxc 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为( 3， 0)，与 y 轴交于点 C，点 D(2，3)在二次函数的图象上(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数图象的对称轴上有一动点 P，求出 PAPD 的最小值；第 6 题图(3)若二次函数图象上有一动点 P，使ABP 的面积为 6，求 P点坐标7(2017 贵港) 如图，抛物线 ya(x1)(x 3)
3、与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，其顶点为 D.(1)写出 C，D 两点的坐标(用含 a 的式子表示 )；(2)设 SBCD ：S ABD k，求 k 的值；(3)当 BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式第 7 题图8. 在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22axa4(a0) 经过点 A(1， 0)，且与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 是顶点(1)填空： a_；顶点 D 的坐标为_ ；直线 BC 的函数表达式为_；(2)直线 x t 与 x 轴相交于一点当 t3 时得到直线 BN(如图)，点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点若COM
4、DBN，求出此时点 M 的坐标；当 1t3 时(如图)，直线 xt 与抛物线、BD 、BC 及 x 轴分别相交于点 P、 E、 F、 G，试证明线段 PE、 EF、 FG 总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为 ，求此时 t 的值35第 8 题图9. 如图，已知抛物线 y x2bxc 图象经过 A(1，0) ，12B(4，0)两点(1)求抛物线的解析式； (2)若 C(m，m1)是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段AB 上的 一个动点 (不与 A、 B 重合)，过点 D 分别作 DEBC 交 AC于 E， DF AC 交 BC 于 F.求证：四边形 DECF 是矩形； 试探究：
5、在点 D 运动过程中，DE、DF、 CF 的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况第 9 题图10. 如图，已知抛物线 yx 2bx c 与直线 yx 3 相交于坐标轴上的 A，B 两点，顶点为 C.(1)填空： b_，c _； (2)将直线 AB 向下平移 h 个单位长度，得直线 EF.当 h 为何值时，直线 EF 与抛物线 y x2bxc 没有交点？ (3)直线 x m 与ABC 的边 AB，AC 分别交于点 M，N.当直线xm 把ABC 的面积分为 12 两部分时，求 m 的值第 10 题图11. (2017 凉山州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax 2b
6、x c (a0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且OA 2，OB8，OC 6.(1)求抛物线的解析式；(2)点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当MBN 存在时，求运动多少秒使MBN 的面积最大，最大面积是多少？(3)在(2)的条件下， MBN 面积最大时，在 BC 上方的抛物线上是否存在点 P，使BPC 的面积是MBN 的面积的 9 倍？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 11 题
7、图答案1解：k 取 1 时，y 随 x 的增大而减小；k 取 2 时，y 随 x 的增大而增大；k 取 时， y 随 x 的增大而减小理由如下：2把 k1 代入 y2xk 22(k 1)x，得 y2x 1 ，即 y ，y 是 x 的反比例函数，2x所以在 x 2 时，y 随 x 的增大而减小；把 k2 代入 y2xk 22(k 1)x，得 y2x 23x，y 是 x 的二次函数，且开口向上，y2x 23x2(x )2 ，34 98对称轴为直线 x ，34在 x2 时， y 随 x 的增大而增大；把 k 代入 y2xk 22(k1)x，2得 y2( 1)x，y 是 x 的一次函数，2k0，k 1
8、0)个单位，再向上平移 42k1 2k1个单位后，再沿 x 轴翻折 (关于 x 轴对称)可得 y2 图象；(3)当 x0 时，y 14，y 24，y 1 与 y2 的交点分别为 (2，0)和(0，4)，当 y10.3解：(1)a3k ，b5k，c k1，抛物线 y3ax 22bcc 可化为y9kx 210kxk1(9x 210x 1)k1，令 9x210 x10，解得 x1 1，x 2 ，19图象必过(1，1) ，( ，1)，19对称轴为直线 x ；10k 29k 59(2)a ， c2b，13抛物线 y3ax 22bxc 可化为 yx 22bx2b对称轴为直线 x b，当b2 时，即 b2
9、，x2 时 y 取到最小值为 3.44b2b3，解得 b3；当20，0，必存在实数 x，使得相应的 y 的值为 1.4解：(1)当 k2 时，y 12x 23x 22( x )2 ，34 258顶点坐标为( ， )；34 258(2)y 1k(x2)( x )，1k该抛物线与 x 轴的交点为 (2，0) 、( ，0)，与 y 轴的交点为1k(0，2) ，而函数 y1 的图象不经过第一象限，点( ，0)必不在 x 轴的正半轴上，1k y2，(x 2)( x1)x2，即(x 2)(x2)0，解得：x2；当 k 时，15y 1y2， (x2)(x 5)x2，即(x 2)(x10)2，当 k 时，15
10、100，即 m0，t0，m 不合题意，舍去，2 142m 的值为 .2 1426解：(1)二次函数 yx 2bxc 的图象经过 A(3，0)，D( 2，3)， ，解得 ，9 3b c 04 2b c 3) b 2c 3)二次函数解析式为 yx 22x3.(2)二次函数图象的对称轴为 x1，D(2，3)，C(0，3)，C 、 D 关于直线 x1 对称，如解图，连接 AC，设 AC 与对称轴的交点为 P，此时 PAPDPA PC AC 3 .OA2 OC2 32 32 2(3)设点 P 坐标(m，m 22m3)，令 y0，即 x22x30，解得 x 3 或 1，点 B 坐标(1 ，0)，AB4，S
11、 PAB 6， 4|m22m3|6，12m 22m60 或 m22m0，m1 或1 或 0 或2，7 7点 P 坐标为(0 ，3) 或( 2，3)或(1 ，3) 或7(1 ，3) 7第 6 题解图7解：(1)y a( x1)(x 3)，令 x0 可得 y3a，C (0，3a)，ya(x1)( x3) a(x24x3)a( x2) 2a，D(2，a) ；(2)在 ya(x 1)(x 3)中，令 y0 可解得 x1 或 x3，A(1，0)，B(3 ，0)，AB3 12，S ABD 2aa，12如解图，设直线 CD 交 x 轴于点 E，设直线 CD 解析式为ykx b，第 7 题解图把 C、 D 的
12、坐标代入可 ，解得 ，b 3a2k b a) k 2ab 3a)直线 CD 解析式为 y2ax3a，令 y0 可解得 x ，32E( ，0)，32BE3 ，32 32S BCD SBEC S BED (3aa)3a，12 32S BCD S ABD (3 a)a3，k3；(3)B(3， 0)，C (0，3a)，D(2，a)，BC 23 2(3a) 29 9a2，CD 22 2(a3a)2416a 2，BD 2(3 2)2a 21a 2，BCD BCO90，BCD 为直角三角形时，只能有CBD90或CDB90两种情况，当CBD90时，则有 BC2BD 2CD 2，即99a 21a 2416a 2
13、，解得 a1(舍去 )或 a1，此时抛物线解析式为 y x24x3；当CDB90时，则有 CD2BD 2BC 2，即416a 21a 299a 2 解得 a (舍去 )或 a ，此时抛物线22 22解析式为 y x22 x ；22 2 322综上可知，当BCD 是直角三角形时，抛物线解析式为yx 2 4x3 或 y x22 x .22 2 3228解：(1)1，(1，4)，yx3；【解法提示】抛物线 yax 22axa4(a0) 经过点A( 1，0)，a2aa40，解得 a1；抛物线解析式为 y x22x3， 1，b2a 2 2 4，4ac b24a 4（ 1）3 44（ 1）顶点 D 的坐标
14、为：(1，4)；令 x0，得 y3，即点 C 的坐标为(0 ，3)，点 A(1 ，0)，对称轴为直线 x1，12(1) 3，点 B 的坐标为(3 ，0) ，设直线 BC 的解析式为 ykxb， ，解得 ，3k b 0b 3 ) k 1b 3)直线 BC 的解析式为 yx 3；(2)设点 M 的坐标为(m，m 22m3)，COMDBN，tanCOM tan DBN， ，解得 m ，m m2 2m 3 24 3m0，m ，3点 M( ， 2 )；3 3设直线 BD 的解析式为 ykxb， ，解得 ，3k b 0k b 4) k 2b 6)直线 BD 的解析式为：y2x 6；点 P(t， t22t3
15、)，点 E(t，2t6)，点 F(t，t3)，PE(t 22t3) (2t6)t 24t3，EF(2t6)( t3) t3， FGt3，EFFG.EFFGPE 2( t3)(t 24t3)( t3) 20，EFFGPE ，当 1t3 时，线段 PE，EF，FG 总能组成等腰三角形，由题意得 ，12PEEF 35即 ，12（ t2 4t 3） t 3 355t 226t330，解得 t3 或 ，1151t3，t .1159(1) 解： 因为抛物线与 x 轴交于(1，0)，(4，0) ，可以假设ya( x1)(x 4)，a ，12y (x1)( x4)，12即 y x2 x2；12 32(2)证明
16、：把 C(m，m 1) 代入 y x2 x2 得，12 32m1 m2 m2，12 32m 12，m 23，C 在第一象限， ，m 1，m 0m 1 0)m2(不符合题意，舍)，m3，C 的坐标是(3，2)，BCDE，DF AC，四边形 DECF 是平行四边形，AB 225， AC220，BC 25，AB 2AC 2BC 2，ACB90，BECF 是矩形；DE BC，AED ACB， ，EDBC ADAB同理，得 ，DFAC BDAB得 1，EDBC DFAC AD BDABAC2 ，BC ，CFED，5 5 1，ED5 DF25即 2EDDF2 ，5ED DFFC2 ，5DE 、DF、CF
17、的长度之和不变化，ED DF FC2 .510解：(1)直线 yx3 交坐标轴于 A，B 两点，A(0，3)，B(3 ，0)，把 A(0，3)，B(3 ，0)代入 yx 2bxc，得 ，解得 ，c 39 3b c 0) b 4c 3)故答案为4，3；(2)将直线 AB：y x3 向下平移 h 个单位长度，得直线EF，可设直线 EF 的解析式为 yx3h.把 yx3h 代入 yx 24x3，得 x24x3x 3h.整理得 x2 3xh0.直线 EF 与抛物线没有交点，(3) 241h94h0，解得 h .94当 h 时，直线 EF 与抛物线没有交点；94(3)yx 24x 3(x 2) 21，顶
18、点 C(2，1)设直线 AC 的解析式为 ymx n.则 ，解得 ，n 32m n 1) m 2n 3)直线 AC 的解析式为 y2x 3.如解图，设直线 AC 交 x 轴于点 D，则 D( ，0) ，BD ；32 32S ABC S ABD S BCD 3 13，12 32 12 32直线 x m 与线段 AB、AC 分别交于 M、 N 两点，则0m 2，M (m，m3)，N(m，2m3)，MN(m3) ( 2m3)m.直线 x m 把ABC 的面积分为 12 两部分，分两种情况讨论： 当 时，即 ，解得S AMNS ABC 13 12m23 13m ；2当 时，即 ，解得 m2 ；S AM
19、NS ABC 23 12m23 230m2，m 或 m2.2当 m 或 2 时，直线 xm 把ABC 的面积分为 12 两部2分第 10 题解图11解：(1)抛物线的解析式为 y x2 x6；38 94(2)设运动时间为 t 秒，则 AM3t，BNt，MB10 3t，在 RtBOC 中，BC 10，82 62如解图，过点 N 作 NHAB 于点 H，第 11 题解图NH CO，BHNBOC， ，即 ， HNOC BNBC HN6 t10HN t，35S MBN MBHN (103t ) t t23t (t )12 12 35 910 910 532 ，52当MBN 存在时，0t ， 103当
20、t 时，S MBN 最大，最大面积是 ，53 52即运动 秒时，使MBN 的面积最大，最大面积是 ；53 52(3)存在设直线 BC 的解析式为 ykxc(k 0)，把 B(8，0)，C(0，6)代入，得 ，解得 ，8k c 0c 6 ) k 34c 6)直线 BC 的解析式为 y x6，34点 P 在抛物线上，设 P(m， m2 m6) ，38 94如解图，过点 P 作 PEy 轴，交 BC 于点 E，第 11 题解图则 E 点的坐标为( m， m6) ，34EP m2 m6( m6) m23m，38 94 34 38当MBN 的面积最大时，S BPC 9S MBN ，452S BPC S CEP S BEP EPm EP(8 m)12 12 8EP124( m23m)38 m212m，32 m212m ，32 452解得 m13，m 25，当 m13 时， m2 m6 ，38 94 758当 m25 时， m2 m6 ，38 94 638P(3， )或(5， )758 638
