1、第十七讲 特殊的平行四边形,考标完全解读)考点 考试内容 考试要求矩形的定义来源:学优高考网gkstk来源:学优高考网 理解来源:学优高考网gkstk矩形的性质 掌握矩形来源:学优高考网矩形的判定 掌握菱形的定义 理解菱形的性质 掌握菱形菱形的判定 掌握正方形的定义 理解正方形的性质 掌握正方形正方形的判定 掌握,感受宜宾中考) 1(2017宜宾中考)如图，在矩形ABCD中BC8，CD6，将ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE 的长是 ( C )A3 B. C5 D. 245 8916,(第1题图) ,(第2题图)2(2016宜宾中考)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一
2、动点，矩形的两条边AB，BC 的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC 和 BD的距离之和是( A )A4.8 B 5 C6 D7.23(2013宜宾中考)矩形具有而菱形不具有的性质是( B )A两组对边分别平行B对角线相等C对角线互相平分D两组对角分别相等4(2014宜宾中考)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为12，则较长的对角线长度是 _5 _cm_.35(2015宜宾中考)如图，在菱形ABCD中，点P是对角线 AC上的一点，PEAB于点E.若PE3，则点P到AD的距离为_3_,(第5题图) ,(第6题图)6(2013宜宾中考)如图，在ABC中，ABC90，BD为AC
3、的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连结BG，DF. 若AG 13，CF6，则四边形BDFG的周长为 _20_7(2015宜宾中考)如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP ，CP的延长线分别交AD于点E，F，连结BD ，DP， BD与CF 相交于点H. 给出下列结论：ABEDCF； ；DP 2PHPB； .FPPH 35 S BPDS正 方 形 ABCD 3 14其中正确的是_(写出所有正确结论的序号),核心知识梳理)矩形的性质和判定1矩形的性质(1)定义：有一个角是_直角_的平行四边形叫矩形；(2)边：矩形的对
4、边_平行且相等_，邻边互相_垂直_；(3)角：矩形的四个角都是_直角_；(4)对角线：矩形的对角线_互相平分且相等_；(5)对称性：矩形既是_中心对称图形_又是_轴对称图形 _，有_2_条对称轴，对称中心是对角线的_交点_2矩形的判定(1)角：有_一个_角是直角的平行四边形是矩形；_三_ 个角都是直角的四边形是矩形；(2)对角线：对角线相等的_平行四边形_是矩形；对角线 _互相平分且相等_的四边形是矩形【温馨提示】矩形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四个角都是直角、对角线互相平分且相等等性质菱形的性质和判定3菱形的性质(1)定义：有一组邻边_相等_的平行四边形叫
5、菱形；(2)边：菱形的四条边都_相等_；(3)对角线：菱形的对角线_互相垂直平分_且每一条对角线都 _平分_一组对角；(4)对称性：菱形既是_中心对称_图形又是_轴对称_图形，有 _2_条对称轴，对称中心是对角线的_交点_4菱形的判定(1)边：有一组邻边_相等_的平行四边形是菱形；四条边都相等的 _四边形_是菱形；(2)对角线：对角线_互相垂直_的平行四边形是菱形；对角线互相平分且相等的 _四边形_是菱形；(3)对称性：菱形既是_中心对称图形_又是_轴对称图形 _，有_2_条对称轴，对称中心是对角线的_交点_【温馨提示】菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四条边
6、都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角等性质正方形的性质和判定5正方形的性质(1)定义：有一组邻边_相等_，并且有一个角是_直角_ 的平行四边形是正方形；(2)边：正方形的对边_平行_，四边都_相等_；(3)角：正方形的四个角都是_直角_；(4)对角线：正方形的对角线_互相垂直平分且相等_，每一条对角线都 _平分_一组对角；(5)对称性：正方形既是_中心对称图形_又是_轴对称图形 _，有_4_条对称轴，对称中心是对角线的_交点_6正方形的判定(1)边：有一组邻边_相等_的矩形是正方形；(2)角：有一角是_直角_的菱形是正方形；(3)对角线：对角线_互相垂直_的矩形是正方形；对角
7、线互相平分的 _菱形_是正方形【温馨提示】正方形具有矩形和菱形所具有的所有性质，因此正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系,重点难点解析)矩形、菱形、正方形的性质和判定【例1】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A对边平行且相等 B对角线互相平分C对角线互相垂直 D对角互补【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断【答案】C【针对训练】1(2017益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是( C )A对角线互相平分B对角线互相垂直C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形2下列命题中，真命题是( A )A对角线互相平分且相等的
8、四边形是矩形B对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C对角线互相平分且相等的四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是菱形【例2】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD 边上的中点，连结EF.若EF ，BD22，则菱形ABCD的面积为_【解析】根据EF是ACD的中位线，根据三角形中位线定理求出AC的长，然后根据菱形的面积公式求解【答案】2 2【针对训练】3如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CEBD，DEAC.若AC4，则四边形CODE的周长是_8_,(第3题图) ,(第4题图)4现有一张边长等于a(a16)的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿
9、45 角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 _正方形_( 填写图形的形状)(如图)，它的一边长是_8 _cm_2矩形、菱形、正方形的应用【例3】如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接 CE，CF.(1)求证：CECF ；(2)如图，若H为AB 上一点，连结CH，使CHB2ECB，求证：CHAHAB.【解析】(1)由菱形ABCD 中，点 E，F 分别为AB，AD的中点，易证得 BCE DCF(S.A.S.) ，则可得CE CF；(2)由平行线的性质，可得AGAB，GFCD，由全等三角形的对应角相等，可得BCEDCF ，然后由CHB2ECB，易证得G HCG，则可得CH
10、GH ，则可证得结果【答案】证明：(1)四边形ABCD是菱形，BD，ABBCCDAD.点E，F分别为AB，AD的中点，BE AB，DF AD.12 12BEDF.在BCE 和DCF中， BC DC， B C，BE DF， )BCE DCF(S.A.S.) ，CE CF；(2)延长BA 与CF，交于点G.四边形ABCD是菱形，BD，ABBCCDAD，AFBC，ABCD，GFCD.点F分别为AD的中点，且AGCD，AGDCAB.BCE DCF，ECBDCF.CHB2ECB ，CHB2G.CHBG HCG ， GHCG ，GHCH，CHAHAGAHAB.【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定
11、与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用【针对训练】5(2017贺州中考)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD平分ABC，ACBD，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD 3，BD2 ，求四边形ABCD的面积5解：(1)AB AD，ABDADB.BD平分ABC ，ABDCBD，ADBCBD.ACBD ，ABAD，BO DO，在AOD与COB中， AOD COB，OD OB， ADB CBD， )AODCOB，AOOC.四边形ABCD是平行四边形ACBD ，四边形ABCD是菱形；(2)四边形ABCD是菱形，
12、 OD BD ，12 5OC 2，AC4，CD2 OD2S 菱形ABCD ACBD4 .12 56(2017陕西中考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边 AD和CD上的点，且AECF，连结AF，CE 交于点G.求证：AGCG.证明：四边形ABCD是正方形，ADCD.AECF ，DEDF.在ADF 和CDE 中， AD CD， D D，DF DE， )ADF CDE(S.A.S.)，DAF DCE.在AGE 和CGF中， GAE GCF， AGE CGF，AE CF， )AGE CGF(A.A.S.) ，AGCG.矩形、菱形、正方形的探究【例4】(2017常州中考)如图，在四边形ABCD中
13、，如果对角线 AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，_( 填写图形名称)一定是等角线四边形；若M，N，P，Q分别是等角线四边形 ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，当对角线AC，BD还要满足_时，四边形MNPQ是正方形(2)如图，已知ABC 中， ABC 90，AB4，BC3，D为平面内一点若四边形ABCD是等角线四边形，且ADBD，则四边形ABCD的面积是_32 _；21设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由【解析】(1)只有矩形的对角线相等，所以
14、矩形是等角线四边形； 当ACBD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；(2)作DE AB于E.根据S 四边形ABCD S ADE S 梯形DEBC计算，求出相关线段即可； 如图，设AE与BD相交于点Q ，连接CE ，只要证明当ACBD且A ，C ，E共线时，四边形ABED的面积最大即可【答案】解：(1)矩形；ACBD；(2)32 ；21如答图中，设AE与BD相交于点 Q，连结CE ，作DHAE于H，BGAE 于G.则DHDQ ，BGBQ.四边形ABED是等角线四边形，AEBD，S 四边形ABED SABE S ADE AEDH AEBG AE(GB
15、DH) AE(BQQD) ，12 12 12 12即S 四边形ABED AEBD，12当G，H重合时，即BDAE时，等号成立AEBD，S 四边形ABED AE2，12即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，AEACCE，AE51，AE6，AE的最大值为6，当A，C，E共线时，取等号，四边形ABED的面积的最大值为 6218.12【点评】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，会求圆上一点到圆外一定点的距离的最大值或最小值，属于中考压轴题【针对训练】7(2017衢州中考)在直角坐标系中，过原点
16、O及点A(8 ，0)，C(0，6) 作矩形OABC，连结OB，点D为OB的中点，点E 是线段AB上的动点，连结DE，作DF DE，交OA于点F，连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t s.(1)如图，当t 3时，求DF的长；(2)如图，当点E在线段AB上移动的过程中，DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tanDEF的值；(3)连结AD，当AD将DEF 分成的两部分的面积之比为 12时，求相应的t的值解：(1)当t3时，点E 为AB 的中点A(8， 0)，C(0 ，6)，OA8，OC6.点D为OB的中点，DEOA ，DE
17、 OA4.12四边形OABC是矩形，OAAB，DEAB，OABDEA90.又DFDE，EDF90，四边形DFAE是矩形，DFAE3；(2)DEF 的大小不变理由如下：作DMOA于M，DNAB于N ，如答图：四边形OABC是矩形，OAAB，四边形DMAN是矩形，MDN90，DMAB，DNOA， ， .BDDO BNNA DOBD OMMA点D为OB的中点，M，N分别是OA，AB的中点，DM AB 3，DN OA4.12 12EDF90，FDMEDN.又DMF DNE 90，DMF DNE ， .DFDE DMDN 34EDF90，tanDEF ；DFDE 34(3)作DM OA于M，DNAB于N
18、，若AD将DEF的面积分成12的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；当点E到达中点之前时，如答图，NE3t，由DMF DNE ，得MF (3t)，34AF4MF t .34 254点G为EF的三等分点，G ，(3t 7112 ， 23t)设直线AD的表达式为ykxb，把A(8， 0)，D(4，3)代入得 8k b 0，4k b 3， )解得 k 34，b 6， )直线AD的表达式为y x6，34把G 代入，得t ；(3t 7112 ， 23t) 7541当点E越过中点之后，如答图，NEt3，由DMF DNE ，得MF (t3) ，34AF4MF t .34 254点G为EF的三
19、等分点，G ，(3t 236 ， 13t)代入直线AD的表达式y x6，得t ；34 7517综上所述，当AD将DEF分成的两部分的面积之比为12时，t的值为 或 .7541 7517,当堂过关检测)1.下列四边形中不一定为菱形的是( A )A对角线相等的平行四边形B每条对角线平分一组对角的四边形C对角线互相垂直的平行四边形D用两个全等的等边三角形拼成的四边形2如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使ABC60，则四边形ABCD的面积为_6 _3,(第2题图) ,(第3题图)3(2017辽阳中考)如图，在矩形ABCD中，ABC的平分线交 AD于点E，连结CE.若BC 7，AE 4，则CE _
20、5_4(2017青岛中考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E， O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF ，OE，OF.(1)求证：BCEDCF ；(2)当AB 与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由解：(1)四边形ABCD 是菱形，BD，ABBCDCAD.点E，O，F分别为 AB，AC，AD的中点，AEBEDFAF ，OF DC，OE BC，OEBC.12 12在BCE 和DCF中， BE DF， B D，BC DC， )BCE DCF(S.A.S.) ；(2)当AB BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由(1)得：AE OEOFAF，四边形AEOF是菱形ABBC，OEBC，OEAB，AEO90，四边形AEOF是正方形请 完 成 精 练 本 第 46页 作 业
