1、专题 09 三角形一、选择题1.（2017 重庆 A卷第 8题）若ABCDEF，相似比为 3：2，则对应高的比为（ ）A3：2 B3：5 C9：4 D4：9【答案】A【解析】试题解析：ABCDEF，相似比为 3：2，对应高的比为：3：2故选 A考点：相似三角形的性质.2. （2017 重庆 A卷第 11题）如图，小王在长江边某瞭望台 D处，测得江面上的渔船 A的俯角为 40，若 DE=3米，CE=2 米，CE 平行于江面 AB，迎水坡 BC的坡度 i=1：0.75，坡长 BC=10米，则此时 AB的长约为（ ） （参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84） A5.1
2、 米 B6.3 米 C7.1 米 D9.2 米【答案】A.【解析】试题解析：如图，延长 DE交 AB延长线于点 P，作 CQAP 于点 Q，CEAP，DPAP，四边形 CEPQ为矩形，CE=PQ=2，CQ=PE，i= ，140.753CQB设 CQ=4x、BQ=3x，由 BQ2+CQ2=BC2可得（4x） 2+（3x） 2=102，解得：x=2 或 x=2（舍） ，则 CQ=PE=8，BQ=6，DP=DE+PE=11，在 RtADP 中，AP= 13.1，1tant40DPAAB=APBQPQ=13.162=5.1，故选 A考点：解直角三角形的应用.3.（2017 甘肃庆阳第 6题）将一把直尺
3、与一块三角板如图放置，若1=45，则2 为（ ）A115 B120 C135 D145【答案】C【解析】试题解析：如图，由三角形的外角性质得，3=90+1=90+45=135，直尺的两边互相平行，2=3=135故选 C考点：平行线的性质；余角和补角4. （2017 甘肃庆阳第 8题） 已知 a，b，c 是ABC 的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）A2a+2b-2c B2a+2b C2c D0【答案】D【解析】试题解析：a、b、c 为ABC 的三条边长，a+b-c0，c-a-b0，原式=a+b-c+（c-a-b）=0故选 D考点：三角形三边关系5.（2017 广西贵港第
4、 11题）如图，在 中， ，将 绕顶点 逆时针旋转得到RtABC90ABC是 的中点， 是 的中点，连接 ，若 ，则线段 的最,ABCMP PM230， PM大值是 （ ）A B C. D 4321【答案】B【解析】试题解析：如图连接 PC在 RtABC 中，A=30，BC=2，AB=4，根据旋转不变性可知，AB=AB=4，AP=PB，PC= AB=2，12CM=BM=1，又PMPC+CM，即 PM3，PM 的最大值为 3（此时 P、C、M 共线） 故选 B考点：旋转的性质6.（2017 湖北武汉第 10题）如图，在 中， ，以 的一边为边画等腰三角形，使RtABC90ABC得它的第三个顶点在
5、 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）ABCA4 B5 C 6 D7【答案】C【解析】试题解析：以 B为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB于点 D，BCD 就是等腰三角形；以 A为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB于点 E，ACE 就是等腰三角形；以 C为圆心，BC 长为半径画弧，交 AC于点 F，BCF 就是等腰三角形；作 AC的垂直平分线交 AB于点 H，ACH 就是等腰三角形；作 AB的垂直平分线交 AC于 G，则AGB 是等腰三角形；作 BC的垂直平分线交 AB于 I，则BCI 是等腰三角形故选 C.考点：画等腰三角形.7.（2017 江苏无锡第 10题）如图，A
6、BC 中，BAC=90，AB=3，AC=4，点 D是 BC的中点，将ABD 沿AD翻折得到AED，连 CE，则线段 CE的长等于（ ）A2 B 54C 3D 75 【答案】D【解析】试题解析：如图连接 BE交 AD于 O，作 AHBC 于 H在 RtABC 中，AC=4，AB=3，BC= 234=5，CD=DB，AD=DC=DB= 52， 1BCAH= ABAC，AH= 25，AE=AB，DE=DB=DC，AD 垂直平分线段 BE，BCE 是直角三角形， 12ADBO= BDAH，OB= 5，BE=2OB= 24，在 RtBCE 中，EC= 222475()5BCE .故选 D考点：1.翻折变
7、换（折叠问题） ；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理8.（2017 甘肃兰州第 3题）如图，一个斜坡长 130m，坡顶离水平地面的距离为 50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )A. B. C. D.513123512132【答案】C【解析】试题解析：如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=130m，BC=50m，AC= =120m，221305ABCtanBAC= .故选 C考点：解直角三角形的应用坡度坡角问题9. （2017 甘肃兰州第 13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度 (顶端 到水平地面 的距离)，在ABBD凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 等高的台阶 ( 米，
8、 三点共线)，把一面镜子水BCDE0.5C=,C平放置在平台上的点 处，测得 米，然后沿直线 后退到点 处，这时恰好在镜子里看到凉亭G15C=CGE的顶端 ，测得 米，小明身高 米，则凉亭的高度 约为( )A3=.6EFABA. 米 B. 米 C. 米 D.10米8.599.5【答案】A.【解析】试题解析：由题意AGC=FGE，ACG=FEG=90，ACGFEG， ACGEFD 15.3AC=8，AB=AC+BC=8+0.5=8.5 米故选 A点：相似三角形的应用10.（2017 贵州黔东南州第 2题）如图，ACD=120，B=20，则A 的度数是（ ）A120 B90 C100 D30【答案
9、】C【解析】试题解析：A=ACDB=12020=100，故选：C考点：三角形的外角性质11.（2017 山东烟台第 12题）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD的高度，在水平底面 A处安置侧倾器得楼房 CD顶部点 的仰角为 045，向前走 20米到达 A处，测得点 的仰角为 05.67.已知侧倾器 AB的高度为 1.6米，则楼房 的高度约为（ ）（结果精确到 0.1米， 1.2）A 14.3米 B 1.34米 C. 7.35米 D 74.35米【答案】C【解析】试题解析：过 B作 BFCD 于 F，AB=AB=CF=1.6 米，在 RtDFB中，BF= ，tan67.5DF在 RtD
10、FB 中，BF=DF，BB=AA=20，BFBF=DF =20，tan67.5DFDF34.1 米，CD=DF+CF=35.7 米，答：楼房 CD的高度约为 35.7米，故选 C考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题12.（2017 四川泸州第 10题）已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50年）给出求其面积的海伦公式 S=，其中 p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202-1261）曾提()()pabpc2a出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 S= ，若一个三角形的三边长分221()abc别为 2，
11、3，4，则其面积是（ ）A. B. C. D. 1581543152152【答案】B.考点：二次根式的应用.13.（2017 浙江嘉兴第 2题）长度分别为 ， ， 的三条线段能组成一个三角形， 的值可以是（ ）27xxA B C D 4569【答案】C.【解析】试题解析：由三角形三边关系定理得 7-2x7+2，即 5x9因此，本题的第三边应满足 5x9，把各项代入不等式符合的即为答案4，5，9 都不符合不等式 5x9，只有 6符合不等式，故选 C考点：三角形的三边关系.二、填空题1.（2017 浙江宁波第 16题）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，从 滑行至 ，已知34AB米，则这名滑
12、雪运动员的高度下降了 米(参考数据：50AB=， ， )sin34.6 cos340.8 tan340.67【答案】280.【解析】试题分析：在 RtABC 中，sin34= ACBAC=ABsin34=5000.56=280 米.考点：解直角三角形的应用.2.（2017 甘肃庆阳第 16题）如图，一张三角形纸片 ABC，C=90，AC=8cm，BC=6cm现将纸片折叠：使点 A与点 B重合，那么折痕长等于 cm【答案】 cm154【解析】试题解析：如图，折痕为 GH，由勾股定理得：AB= =10cm，26+8由折叠得：AG=BG= AB= 10=5cm，GHAB，1AGH=90，A=A，AG
13、H=C=90，ACBAGH， ，ACBGH ，865GH= cm14考点：翻折变换3.（2017 广西贵港第 16题）如图，点 在等边 的内部，且 ，将线段PABC6,8,10PAB绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则 的值为 PC60Csin【答案】 35【解析】试题解析：连接 PP，如图，线段 PC绕点 C顺时针旋转 60得到 PC，CP=CP=6，PCP=60，CPP为等边三角形，PP=PC=6，ABC 为等边三角形，CB=CA，ACB=60，PCB=PCA，在PCB 和PCA 中PCBAPCBPCA，PB=PA=10，6 2+82=102，PP 2+AP2=PA 2，APP为直角三角形
14、，APP=90，sinPAP= 63105PA考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形4.（2017 贵州安顺第 13题）三角形三边长分别为 3，4，5，那么最长边上的中线长等于 【答案】2.5【解析】试题解析：3 2+42=25=52，该三角形是直角三角形， 5=2.512考点：勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线5.（2017 湖北武汉第 15题）如 图 ABC 中 ， AB=AC， BAC=120， DAE=60， BD=5， CE=8，则DE的长为 【答案】7.【解析】试题解析：AB=AC，可把AEC 绕点 A顺时针旋转 120得到AEB，如图，BE=EC=8，AE=AE，
15、EAB=EAC，BAC=120，DAE=60，BAD+EAC=60，EAD=EAB+BAD=60，在EAD 和EAD 中AE DEADEAD（SAS） ，ED=ED，过 E作 EFBD 于点 F，AB=AC，BAC=120，ABC=C=EBA=30，EBF=60，BEF=30，BF= BE=4，EF=4 ，123BD=5，FD=BD-BF=1，在 RtEFD 中，由勾股定理可得 ED= ，2（ 43） +1=7DE=7考点：1.含 30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质6.（2017 湖南怀化第 15题）如图， ， ，请你添加一个适当的条件：ACD=BEC，使得 .ABCE 【答案】CE=
16、BC本题答案不唯一【解析】试题解析：添加条件是：CE=BC，在ABC 与DEC 中， ，ACDBEABCDEC故答案为：CE=BC本题答案不唯一点：全等三角形的判定7.（2017 江苏无锡第 18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB 与 CD相交于 O，则 tanBOD 的值等于 【答案】3.【解析】试题解析：平移 CD到 CD交 AB于 O，如图所示，则BOD=BOD，tanBOD=tanBOD，设每个小正方形的边长为 a，则 OB= ，OD= ，BD=3a，2()52（ a)(2a作 BEOD于点 E，则 BE= ，3a2BDOFAOE
17、= ，2 23(5)aEtanBOE= ，3a2BOtanBOD=3.考点：解直角三角形8.（2017 江苏盐城第 12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则1= 【答案】120.【解析】试题解析：由三角形的外角的性质可知，1=90+30=120. 考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理9.（2017 甘肃兰州第 17题）如图，四边形 与四边形 相似，位似中心点是 ， ，则ABCDEFGHO35EA=.FGBC=【答案】 35【解析】试题解析：如图所示：四边形 ABCD与四边形 EFGH位似，OEFOAB，OFGOBC， ，35OEFAB GC考点：位似变换
18、10.（2017 贵州黔东南州第 12题）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，ACDF，请你添加一个适当的条件 使得ABCDEF【答案】A=D【解析】试题解析：添加A=D理由如下：FB=CE，BC=EF又ACDF，ACB=DFE在ABC 与DEF 中，ADCBFEABCDEF（AAS） 考点：全等三角形的判定11.（2017 山东烟台第 14题）在 ABCRt中， 09， 2AB， 3C，则 2sinA 【答案】 12【解析】试题解析：sinA= ，32BCAA=60，sin =sin30= 21考点：特殊角的三角函数值12. （2017 山东烟台第 16题）如图，在平面
19、直角坐标系中，每个小方格的边长均为 1. AOB与OBA是以原点 为位似中心的位似图形，且相似比为 2:3，点 BA,都在格点上，则点 的坐标是 .【答案】 （2， ）43【解析】试题解析：由题意得：AOB与AOB 的相似比为 2：3，又B（3，2）B的坐标是3 ，2 ，即 B的坐标是（2， ）2()3() 4考点：位似变换；坐标与图形性质13.（2017 四川泸州第 16题）在ABC 中，已知 BD和 CE分别是边 AC、AB 上的中线，且 BDCE，垂足为O若 OD=2cm，OE=4cm，则线段 AO的长度为 cm【答案】4 .5【解析】试题解析：连接 AO并延长，交 BC于 H，由勾股定
20、理得，DE= ，2=5OEDBD 和 CE分别是边 AC、AB 上的中线，BC=2DE=4 ，O 是ABC 的重心，5AH 是中线，又 BDCE，OH= BC=2 ，12O 是ABC 的重心，AO=2OH=4 .5考点：1.三角形的重心；2.勾股定理14.（2017 四川自贡第 14题）在ABC 中，MNBC 分别交 AB，AC 于点 M，N；若 AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为 【答案】1.【解析】试题解析：MNBC，AMNABC， ，即 ，AMNBC123WMN=1.考点：相似三角形的判定与性质.15.（2017 新疆建设兵团第 15题）如图，在四边形 ABCD中，AB=AD，C
21、B=CD，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论中：ABC=ADC；AC 与 BD相互平分；AC，BD 分别平分四边形 ABCD的两组对角；四边形 ABCD的面积 S= ACBD12正确的是 （填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】试题解析：在ABC 和ADC 中， ，ABDCABCADC（SSS） ，ABC=ADC，故结论正确；由可知：AC 平分四边形 ABCD的BAD、BCD，而 AB与 BC不一定相等，所以 BD不一定平分四边形 ABCD的对角；故结论不正确；ACBD，四边形 ABCD的面积 S=SABD +SBCD = BDAO+ BDCO= BD（AO+CO）= ACBD121
22、212故结论正确；所以正确的有：考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质16.（2017 江苏徐州第 13题） ABC中，点 ,DE分别是 ,ABC的中点， 7DE，则 BC 【答案】14.【解析】试题解析：D，E 分别是ABC 的边 AC和 AC的中点，DE 是ABC 的中位线，DE=7，BC=2DE=14考点：三角形中位线定理17. （2017 江苏徐州第 18题）如图，已知 1OB，以 为直角边作等腰直角三角形 1ABO.再以1OA为直角边作等腰直角三角形 21A，如此下去，则线段 nA的长度为 【答案】 2n【解析】试题解析：OBA 1为等腰直角三角形，OB=1，AA 1=O
23、A=1，OA 1= OB= ；2OA 1A2为等腰直角三角形，A 1A2=OA1= ，OA 2= OA1=2；OA 2A3为等腰直角三角形，A 2A3=OA2=2，OA 3= OA2=2 ；OA 3A4为等腰直角三角形，A 3A4=OA3=2 ，OA 4= OA3=4OA 4A5为等腰直角三角形，A 4A5=OA4=4，OA 5= OA4=4 ，2OA 5A6为等腰直角三角形，A 5A6=OA5=4 ，OA 6= OA5=8OA n的长度为 2n考点：等腰直角三角形18.（2017 浙江嘉兴第 15题）如图，把 个边长为 1的正方形拼接成一排，求得 ，n 1tanBAC， ，计算 ，按此规律，
24、写出 21tan3BAC31tan7BA4tanBACtanBAC（用含 的代数式表示） 【答案】 ， .1321n【解析】试题解析：作 CHBA 4于 H，由勾股定理得，BA 4= ，A 4C= ，27110BA 4C的面积=4-2- = ，3 CH= ，127解得，CH= ，则 A4H= = ，23CH17tanBA 4C= = ，1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，tanBA nC= .21考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质三、解答题1.（2017 浙江衢州第 23题）问题背景如图 1，在正方形 ABCD的内部，作DAE=ABF=BCG=CDH，根据
25、三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形 EFGH是正方形。类比研究如图 2，在正ABC 的内部，作BAD=CBE=ACF，AD，BE，CF 两两相交于 D，E，F 三点（D，E，F 三点不重合） 。（1）ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）DEF 是否为正三角形？请说明理由；（3）进一步探究发现，ABD 的三边存在一定的等量关系，设 aBD， bA， cB，请探索 a，b， c满足的等量关系。【答案】 （1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c 2=a2+ab+b2试题解析： （1）ABDBCECAF；理由如下：ABC 是
26、正三角形，CAB=ABC=BCA=60，AB=BC，ABD=ABC2，BCE=ACB3，2=3，ABD=BCE，在ABD 和BCE 中，1=2ABCDEABDBCE（ASA） ；（2）DEF 是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADB=BEC=CFA，FDE=DEF=EFD，DEF 是正三角形；（3）作 AGBD 于 G，如图所示：DEF 是正三角形，ADG=60，在 RtADG 中，DG= b，AG= b，123在 RtABG 中，c 2=（a+ b） 2+（ b） 2，c 2=a2+ab+b2考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.2.（2017 山东德州第 21题）如图所示
27、，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路 10m的 A处，测得一辆汽车从 B处行驶到 C处所用的时间为 0.9秒.已知B=30，C=45（1）求 B，C 之间的距离；（保留根号）（2）如果此地限速为 80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由.（参考数据： 3=1.7, 2.4）【答案】 （1）(10 3+10)m；（2）超速.【解析】试题分析：（1）利用B=30，C=45，AD=10，求出 BD=10 3,DC=10,从而得出 BC=10 3+10(2)利用 3=.7, 21.4，求出 BC27,再求出 v=108千米/小时80 千米/小时，故超速。试题解析：
28、（1）如图，过点 A作 ADBC 于点 D，则 AD=10m在 RtACD 中，C=45RtACD 是等腰直角三角形CD=AD=10m在 RtABD 中，tanB= ADBB=30 310= BD=10 mBC=BD+DC=(10 3+10)m (2)这辆汽车超速.理由如下.由（1）知 BC=（10 3+10）m，又 1.7 BC=27m汽车速度 v= 270.9=30（m/s）又 30 m/s=108km/h，此地限速为 80 km/h10880这辆汽车超速.考点：三角函数的应用3.（2017 重庆 A卷 24题）在ABC 中，ABM=45，AMBM，垂足为 M，点 C是 BM延长线上一点，
29、连接AC（1）如图 1，若 AB=3 ，BC=5，求 AC的长；2（2）如图 2，点 D是线段 AM上一点，MD=MC，点 E是ABC 外一点，EC=AC，连接 ED并延长交 BC于点 F，且点 F是线段 BC的中点，求证：BDF=CEF【答案】(1) ；（2）证明见解析.13【解析】试题分析：（1）先由 AM=BM=ABcos45=3可得 CM，再由勾股定理可求出 AC的长；（）延长 EF到点 G，使得 FG=EF，证 BMDANC 得 AC=BD，再证 BFGCFE 得 BG=CE，G=E,从而得 BD=BG=CE，即可得BDG=G=E.试题解析：（1）ABM=45，AMBM，AM=BM=
30、ABcos45=3 =3，2则 CM=BCBM=52=2，AC= ；2231AMC（2）延长 EF到点 G，使得 FG=EF，连接 BG由 DM=MC，BMD=AMC，BM=AM，BMDAMC（SAS） ，AC=BD，又 CE=AC，因此 BD=CE，由 BF=FC，BFG=EFC，FG=FE，BFGCFE，故 BG=CE，G=E，所以 BD=BG=CE，因此BDG=G=E考点:1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.4. （2017 甘肃庆阳第 21题）如图，已知ABC，请用圆规和直尺作出ABC 的一条中位线 EF（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析【解析】试题分析：作线段 AB
31、的垂直平分线得到 AB的中点 E，作 AC的垂直平分线得到线段 AC的中点 F线段 EF即为所求试题解析：如图，ABC 的一条中位线 EF如图所示，方法：作线段 AB的垂直平分线得到 AB的中点 E，作 AC的垂直平分线得到线段 AC的中点 F线段 EF即为所求考点：作图复杂作图；三角形中位线定理5. （2017 甘肃庆阳第 22题）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 A，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量如图，测得DAC=45，DBC=65若 AB=132米，求观景亭 D到南滨河路 AC的距离约
32、为多少米？（结果精确到 1米，参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14）【答案】观景亭 D到南滨河路 AC的距离约为 248米【解析】试题分析：过点 D作 DEAC，垂足为 E，设 BE=x，根据 AE=DE，列出方程即可解决问题试题解析：过点 D作 DEAC，垂足为 E，设 BE=x，在 RtDEB 中，tanDBE= ，BDBC=65，DE=xtan65 又DAC=45，AE=DE132+x=xtan65，解得 x115.8，DE248（米） 观景亭 D到南滨河路 AC的距离约为 248米考点：解直角三角形的应用6.（2017 湖北武汉第 18题）如图，点 在一
33、条直线上， ，,CFEBCFDBEA写出 与 之间的关系，并证明你的结论,CEBFDAEA【答案】证明见解析：【解析】试题分析：通过证明 CDFABE，即可得出结论试题解析：CD 与 AB之间的关系是：CD=AB，且 CDAB证明：CE=BF，CF=BE在 CDF 和 BAE 中CF=BEDACDFBAECD=BA，C=BCDBA考点：全等三角形的判定与性质.7. （2017 湖南怀化第 6题）如图，点 在一条直线上， ，,CFEBCFDBEA写出 与 之间的关系，并证明你的结论,CEBFDAEA【答案】证明见解析：【解析】试题分析：通过证明 CDFABE，即可得出结论试题解析：CD 与 AB之间的关系是：CD=AB，且 CDAB证明：CE=BF，CF=BE在 CDF 和 BAE 中CF=BEDACDFBAECD=BA，C=BCDBA考点：全等三角形的判定与性质.8.（2017 江苏无锡第 24题）如图，已知等边ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作ABC 的外心 O；（2）设 D是 AB边上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHI，使点 F，点 H分别在边 BC和 AC上
