1、第三章 3.3 3.3.3 基础巩固一、选择题1已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,6)，B (4,3)，C(2，3)，则点 A 到 BC 边的距离为( )A B92 922C D4255 3答案 B解析 BC 边所在直线的方程为 ，即 xy 10；则 dy 3 3 3 x 42 4 .|21 61 1|2 9222两直线 3xy 30 与 6xmy 10 平行，则它们之间的距离为 ( )A4 B21313C D52613 72010答案 D解析 3xy 30 变形为 6x2y60，可知 m2，则 d .|1 6|62 22 710203若点 A(3 ，4) ，B(6,3)到直线 l：a
2、xy10 的距离相等，则实数 a 的值为( )A B79 13C 或 D 或79 13 79 13答案 C解析 由题意及点到直线的距离公式得 ，解得 a 或 .| 3a 4 1|a2 1 |6a 3 1|a2 1 13 794若点 P 在直线 3xy 5 0 上，且点 P 到直线 xy 10 的距离为 ，则点 P 的2坐标为( )A(1,2) B(2,1)C(1,2) 或(2 ，1) D(2,1)或( 1,2)答案 C解析 设点 P 的坐标为(x 0，y 0)，则有Error!，解得Error!或Error!.5与直线 2xy 10 的距离为 的直线方程为( )55A2xy0 B2x y20C
3、2x y0 或 2xy 20 D2xy0 或 2xy20答案 D解析 根据题意可设所求直线方程为 2xy C0(C 1)，因为两直线间的距离等于，所以 ，解得 C0 或 C2，所以所求直线方程为 2xy0 或55 |C 1|22 12 552xy20.故选 D6(2013广东改编)直线 l 垂直于直线 yx1，原点 O 到 l 的距离为 1，且 l 与 y 轴正半轴有交点，则直线 l 的方程是( )Axy 0 Bx y102Cx y10 Dxy 02答案 A分析 所求直线 l 与直线 yx1 垂直，可以直接设直线 l 的方程为 yx b，与y 轴正半轴有交点，确定截距范围，再利用原点到直线的距
4、离等于 1 求参数，得直线方程解析 因为直线 l 与直线 yx1 垂直，所以直接设直线 l 的方程为 yx b，又 l与 y 轴正半轴有交点，知 b0，即 xy b0( b0)的距离 1，求得 b (b|0 0 b|12 12 2舍去 )，所以所求直线 l 的方程为 xy 0.2 2二、填空题7两条直线 l1：3x 4y10 和 l2：5x 12y10 相交，则其顶点的角平分线所在直线的方程为_.答案 7x4y 90,8x14y10解析 设 P(x，y )是所求直线上的任意一点，则点 P 到 l1，l 2 的距离相等，即 ，整理，得所求直线的方程为 7x4y90,8x14y10.|3x 4y
5、1|32 42 |5x 12y 1|52 1228过点 A(3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_.答案 3xy 100解析 当原点与点 A 的连线与过点 A 的直线垂直时，距离最大 k OA ，所13求直线的方程为 y13( x3)，即 3xy100.三、解答题9已知正方形的中心为直线 2xy20 和 xy10 的交点，其一边所在直线的方程为 x3y50，求其它三边的方程解析 由Error!解得Error!即该正方形的中心为(1,0)所求正方形相邻两边方程 3xyp0 和 x3yq0.中心(1,0) 到四边距离相等， ， ，| 3 p|10 610 | 1 q|10 610解得
6、p13，p 29 和 q15，q 27，所求方程为 3xy 30,3x y90，x3y70.10求经过点 P(1,2)的直线，且使 A(2,3)，B(0 ，5)到它的距离相等的直线方程分析 解答本题可先设出过点 P 的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线 l 与直线 AB 的位置关系，再求 l 方程事实上，l AB 或 l 过 AB 中点时，都满足题目的要求解析 方法 1：当直线斜率不存在时，即 x1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，即直线方程为 y2k (x1) ，由条件
7、得 ，解得 k4，|2k 3 k 2|k2 1 |5 k 2|k2 1故所求直线方程为 x1 或 4xy 20.方法 2：由平面几何知识知 lAB 或 l 过 AB 中点k AB 4，若 lAB，则 l 的方程为 4x y20.若 l 过 AB 中点 (1，1)，则直线方程为 x1，所求直线方程为 x1 或 4xy 20.规律总结：针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量有时也可利用平面几何知识先判断直线 l 的特征，然后由已知直接求出直线 l 的方程能力提升一、选择题1P，Q 分别为 3x4y120 与 6x8y 60 上任一点，则| PQ
8、|的最小值为( )A B95 185C3 D6答案 C解析 |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离在直线 3x4y120 上取点(4,0) ，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为 3.2过两直线 x y10 和 xy 0 的交点，并与原点的距离等于 1 的直线3 3 3共有( )A0 条 B1 条C2 条 D3 条答案 B解析 联立方程组Error!解得Error!即交点坐标为( ， )，它到原点的距离恰好等于12 321，故满足条件的直线共有 1 条3到两条直线 l1：3x 4y50 与 l2：5x 12y130 的距离相等的点 P(x，y )必定满足方程( )Ax4y40B7x
9、 4y0Cx 4y40 或 4x8y 90D7x4y0 或 32x56y 650答案 D解析 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线由公式可得 ，即 ，化简得|3x 4y 5|32 42 |5x 12y 13|52 122 3x 4y 55 5x 12y 13137x4y0 或 32x56y650.4点 P(x，y)在直线 xy 40 上，则 x2y 2 的最小值是 ( )A8 B2 2C D162答案 A解析 x 2y 2 表示直线上的点 P(x，y) 到原点距离的平方，原点到直线 xy 40 的距离为 2 ，| 4|2 2x 2y 2 最小值为 8.故选 A二
10、、填空题5已知点 A(1,1)，B(2,2) ，点 P 在直线 y x 上，则当| PA|2| PB|2 取得最小值时点 P12的坐标为_.答案 ( ， )95 910解析 设 P(2t，t)，则|PA| 2| PB|2(2t1) 2(t1) 2(2t 2) 2(t2)210t 218t1010(t 2 t 1)10(t )2 ，当 t 时，| PA|2|PB 2|取得最小值，即95 910 1910 910P( ， )95 9106已知平面上一点 M(5,0)，若直线上存在点 P 使| PM|4，则称该直线为“切割型直线” ，下列直线是“切割型直线”的是_.答案 解析 根据题意，看所给直线上
11、的点到定点 M 的距离能否取 4.可通过求各直线上的点到 M 的最小距离，即点 M 到直线的距离来分析d 3 4，故直线上不存在5 12 2点到 M 距离等于 4，不是“切割型直线 ”；d24，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点 M 的距离等于 4，是“切割型直线” ；d 4，直线上存在一点，2032 42使之到点 M 距离等于 4，是“ 切割型直线” ；d 4，故直线上不存在到 M 距115 1155离等于 4 的点，不是“切割型直线” ，故填.三、解答题7过点(2,3)的直线 l 被两平行直线 l1：2x5y90 与 l2：2x5y70 所截线段AB 的中点恰在直线 x4y 1 0
12、 上，求直线 l 的方程解析 设线段 AB 的中点 P 的坐标为( a，b)，由点 P 到直线 l1，l 2 的距离相等，得 ，整理得 2a5b10.又点 P 在直线 x4y10 上，所以|2a 5b 9|22 52 |2a 5b 7|22 52a4b10.解方程组Error!，得Error!，即点 P 的坐标为( 3，1) 又直线 l 过点(2,3) ，所以直线 l 的方程为 ，即 4x5y7 0.y 13 1 x 32 38在ABC 中，A(3,2) ，B(1,5)，点 C 在直线 3xy 30 上，若ABC 的面积为10，求点 C 的坐标解析 由题知|AB| 5，3 12 2 52S ABC |AB|h10，h4.12设点 C 的坐标为(x 0，y 0)，而 AB 的方程为 y2 (x3)，即 3x4y170.34Error!解得Error!或Error!点 C 的坐标为(1,0)或( ，8)53
