1、二次函数的应用（代数）一、选择题1. （2011 广西梧州，11，3 分）2011 年 5 月 22 日29 日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y= x2+bx+c 的一部分（如图 5） ，其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1m，球落地点14A 到 O 点的距离是 4m，那么这条抛物线的解析式是（A）y= x2+ x+1 （B）y = x2+ x1 14 34 14 34（C）y = x2 x+1 （D）y= x2 x114 34 14 34A xOBy图 5【答案】A2. （2011 青海西宁，7，3 分）西宁中心广场有各种
2、音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 米，此时距喷水管的水平距离为 米，在如图 3 所示的坐标系中，这个喷12泉的函数关系式是Ay=（x ） 2+3 By=（x+ ） 2+3 12 12Cy=12（x ） 2+3 Dy=12（x+ ） 2+312 12【答案】C3. 学优中考网 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10二、填空题1.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10三、解答题1. （2011 黑龙江省哈尔滨市，24，6 分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60cm，菱形的面积 S（单位：cm ）随其中一条对2角线的长 x（
3、单位：cm）的变化而变化。（1）请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ；（2）当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？【参考公式：当 时，二次函数 （a0）有最小（大）值a2bcbaxy2】a4bc2【答案】解：（1） x3021x6021）（S（2） -a 3xS 有最大值 021ab）（S 的最大值为 4502143ac42）（ ）（当 x 为 30cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积是 450cm2。2. （ 2011 湖北随州， 23，12 分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：
4、每投入 x 万元，可获得利润（万元） 当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产216041Px的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润（万元）299410106Qxx若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？根据、，该方案是否具有实施价值？【答案】解：当 x
5、=60 时，P 最大且为 41，故五年获利最大值是 415=205 万元前两年：0x50，此时因为 P 随 x 增大而增大，所以 x=50 时，P 值最大且为 40 万元，所以这两年获利最大为 402=80 万元后三年：设每年获利为 y，设当地投资额为 x,则外地投资额为 100x，所以 y=PQ= + = =216041x29416005x2165，表明 x=30 时，y 最大且为 1065，那么三年获利最大为 10653=3495235万元，故五年获利最大值为 803495502=3475 万元有极大的实施价值3. （2011 天津，24, 8 分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提
6、供了一种分析问题的方法，你可以照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可.某商品现在的售价为每件 35 元，每天可卖出 50 件.市场调查反映：如果调整价格每降价1 元，每天可多卖出 2 件.请你帮助分析当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价 元，每天的销售额为 元.xy（）分析：根据问题中的数量关系，用含 的式子填表：x原价 每件降价 1 元 每件降价 2 元 每件降价 元x每件售价（元） 35 34 33 每天销量（件） 50 52 54 （） （由以上分析，用含 的式子表示 ，并求出问题的解）xy答案：（）
7、35-x；50+2x. （）根据题意，每天的销售额 ，(35)02)yx（0x35）配方得： 当 x=5 时，y 取最大值 1800.2(5)180yx答：当每件商品降价 5 元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为 1800 元.学优中考网 4. （2011 广东佛山，24，10）商场对某种商品进行市场调查，1 至 6 月份该种商品的销售情况如下:xy6194O销售成本 p(元/千克)与销售月份 x 的关系如图所示：销售收入 q（元/千克)与销售月份 x 满足 q=- x+1532销售量 m(千克）与销售月份 x 满足 m=100x+200. 试解决以下问题：(1)根据图形，求与 p 与 x
8、 之间的函数关系式：(2)求该种商品每月的销售利润 y(元) 与销售月份 X 的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大？【答案】解：(1)根据图形可知；p 与 x 之间的关系符合一次函数 .故可设为 p=kx+b并有 解得946kb10k故 p 与 x 的函数关系式为 p=-x+10(1) 根据题意，月销售利润 y=(q-p)m=（- x+15）- （-x+10）(100x+200)32化简得 y=-50x+400x+10000所以 4 月份销售利润最大。5. （2011 黑龙江省哈尔滨市，24，6 分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60cm，菱
9、形的面积 S（单位：cm ）随其中一条对2角线的长 x（单位：cm）的变化而变化。（1）请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ；（2）当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？【参考公式：当 时，二次函数 （a0）有最小（大）值a2bcbaxy2】a4bc2【答案】ODAB C解：（1） x3021x6021）（S（2） -a 3S 有最大值 021abx）（S 的最大值为 4502143ac42）（ ）（当 x 为 30cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积是 450cm2。6. （2011 湖北省随州市，23，14 分）我市某镇的一种特
10、产由于运输原因，长期只能在当地销售。当地政府对该特产的销售投资收益为：每投产 x 万元，可获得利润 P= （x60） 2+41（万元） 。当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其10规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投产 x 万元，可获得利润 P= （100x ） 2+ （100x ）10994+160（万元） 。(1)若不进行开发，求 5
11、 年所获利润的最大值是多少？学优中考网 （2）若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1） 、 （2） ，该方案是否具有实施价值？【答案】（1）若不进行开发，每年投产 60 万元时，可获利润最大，为 41 万元。5 年所获利润的最大值为 415=205 万元。（2）按规划实施，前 2 年每年所获利润最大为 （5060） 2+41=40 万元，所以前两10年最大所获利润为 80 万元。后 3 年中，每年在外地销售，由 P= （100x） 2+ （100x）+160=9594（x ） 2+1091364可知，当投资 万元时，可获利润最大，为 万元，约 1033 万
12、元。其余的 1000136= 万元在本地销售，可获利润约 32 万元。即最大为 1065 万元。所以 3 年共获328利润 3195 万元。5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是 3195+80100=3175 万元。（3）该方案具有实施价值。7. （2011 江苏徐州，25,8 分）某网店以每件 60 元的价格购进一批商品，若以单价 80 元销售，每月可售出 300 件.调查表明：单价每上涨 1 元，该商品每月的销售量就减少 10 件.（1）请写出每月销售该商品的利润 y（元）与单价上涨 x（元）间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？【答案】 （1）
13、y=（x60） 30010（x80） =（x60） （30010x+800）=（x60） （110010x）= 201760即 y= 21（2）y= = .x2(85)60x因为100，所以当 x=85 时，y 有最大值， =6250.y最 大 值即单价定为 85 元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为 6250 元.8. （2011 辽宁沈阳，23，12 分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为 10 元/件。出厂价为12 元/件，年销售量为 2 万件。今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场。若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加 0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂
14、价相应提高 0.5x 倍。则预计今年年销售量增加 x 倍（本题中0 x1）（1）用含 x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为 元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为 元（2）求今年这种玩具每件的利润 y 元与 x 之间的函数关系式；（3）设今年这种玩具的年销售利润为 w 万元，求当 x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价每件玩具的成本）年销售量【答案】 （1）（107x）,(126x)（2）y=(126x )（107x ）=2x（3）w=2(1 x)(2x )=2x 22x4w =2(x 0.5) 24.520，ox1w 有最大
15、值，当 x=0.5 时，最大值为 4.5（万元）答：当 x=0.5 时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是 4.5 万元。9. （ 2011 湖北鄂州， 23，12 分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润（万元） 当地政府拟在“十二 五”规划中加快开发该特产216041P的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销
16、售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润（万元）299410106Qxx若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？根据、，该方案是否具有实施价值？【答案】解：当 x=60 时，P 最大且为 41，故五年获利最大值是 415=205 万元前两年：0x50，此时因为 P 随 x 增大而增大，所以 x=50 时，P 值最大且为 40 万元，所以这两年获利最大为 402=80 万元后三年：设每年获利为 y，设当地投资额为 x,则外地投资额为 100x，所以 y=PQ= + = =216041x29416005
17、x2165，表明 x=30 时，y 最大且为 1065，那么三年获利最大为 10653=3495235万元，故五年获利最大值为 803495502=3475 万元有极大的实施价值10 （2011 山东青岛，22，10 分） （本小题满分 10 分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是 60 元.根据市场调查，在一段时间内，销售单价是 80 元时，销售量是 200 件，而销售单价每降低 1 元，就可多售出 20 件.（1）写出销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）写出销售该品牌童装获得的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装销售
18、单价不低于 76 元，且商场要完成不少于 240 件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元？学优中考网 【答案】解：（1）由题意，得:y=200+（80x）20= 20x+1800；答：y 与 x 之间的函数关系式是 y=20x+1800.（2）由题意，得：w=(x60)(20x+1800)= 20x 2+3000x108000.答：w 与 x 之间的函数关系式是 w=20x 2+3000x108000.（3）由题意，得： ，20184076x解得 .768xw=20x 2+3000x108000对称轴为 x= ，又 a03075当 时，w 最大 =(7660)(2076+18
19、00)=4480.768x答：这段时间商场最多获利 4480 元.11. (2010 乌鲁木齐，19，12 分)某商场销售一种进价为 20 元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量 （台）与销售单价 （元）满足 ，设销售这种台灯每天的x280wx利润为 （元）.y（1）求 与 之间的函数关系式；x（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得 150 元的利润，应将销售单价定为多少元？【答案】解：（1）y=(x -20)(-2x+80)=2x2+120x-1600（2）y=-2x 2+12-1600=-2(x-30)2+
20、200当 x=30 元时，最大利润 y=200 元.（3）由题意，y=150，即-2(x-30) 2+200+150，解得 x1=25，x 2=35又销售量 w=-2x+80 随单价 x 的增大而减小，故当 x=25 时，既能保证销售量大，又可以每天获得 150 元的利润.12. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践 应用（2011 湖南岳阳，26,10 分）探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上 横截面为抛物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为 10m，隧道顶部最高处距地面 6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请
21、你求出抛物线的解析式（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部在竖直方向上的高度差至少为 0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽 3m，最高 3.5m 的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题：请予解答：如图，在抛物线内作矩形 ABCD，使顶点 C、D 落在抛物线上，顶点 A、B 落在 x轴上，设矩形 ABCD 的周长为 L，求 L 的最大值如图，过原点作一条 y=x 的直线 OM，交抛物线于点 M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线 OM 上一动点，过 P 点作 x 轴
22、的垂线交抛物线于点 Q问在直线 OM 上是否存在点 P，使以 P、N、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）把点（0，0） ， （5，6.25） ， （10，0）分别代入 ，得 acbxay20.25，b2.5，c0。所以， ， （0x10）xy5.2.（2）根据题意，把 x=53=2 代入 ，得 y4，而xy5.23.5+0.54。所以恰好能让最宽 3m，最高 3.5m 的两辆厢式货车居中并列行驶。（3）设 A（5-x，0） ，B （5+x ，0）则由抛物线析式，可得 C（5+x，0.25x2+6.25）D （5-x，0.25x
23、 2+6.25） ，L=2x+2（0.25x 2+6.25） ，29)(1x所以，最大值为， 9存在：因为 N（5，5） ，设 P（t ，t） ，Q（t， ） ，tt5.2.0若QNP=90 度，则 QP 是底，则 ，解得， ，所以2)5.0(10,421tP（4，4）或 P（10，10）且易得满足条件QNP=90 度。图5 106.250yxACDB图5 106.250yxPMQN图5 106.250yx（第 26 题图）学优中考网 若PQN=90 度，则把 Y=5 代入 ，得 X ，此时，P（xy5.2.05， ）或（ ， ）5513. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 2021.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.5253.54.55.56.57.58.5960.学优中考网 学;优中?考 ，网 学)优 中考:，网
