1、第二章测评 A(基础过关卷)(时间:90 分钟 满分:100 分 )一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等比数列a n中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3为( )A.4 B. C. D.2解析:由 =a3a9,得 a3=4.答案:A2.数列a n的前 n 项和 Sn=2n2-3n(nN *),则 a4等于( )A.11 B.15 C.17 D.20解析:a 4=S4-S3=20-9=11.答案:A3.在等差数列a n中,其前 n 项和为 Sn,S10=120,则 a1+a10的值是( )A.12 B.2
2、4 C.36 D.48解析:S 10= =120,解得,a 1+a10=24.答案:B4.设 an=-n2+10n+11,则数列 an前 n 项的和最大时 n 的值为( )A.10 B.11 C.10 或 11 D.12解析:由 an0,得 -n2+10n+110,即 1n11.又 a11=0,前 10 项或前 11 项和最大 .答案:C5.已知数列a n是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2,且 S5=30,则 S8=( )A.31 B.32 C.33 D.34解析:设等差数列a n的公差为 d,则有 解得 d=- ,a1= ,所以 S8=8a1+ d=8 +28 =32.答案:B
3、6.等比数列a n的各项均为正,a 3,a5,-a4成等差数列,S n 为 an的前 n 项和,则 等于( )A.2 B. C. D.解析:设等比数列a n的公比为 q,则有 q0,又 a3,a5,-a4成等差数列,a 3-a4=2a5,a 1q2-a1q3=2a1q4,即 1-q=2q2,解得 q=-1(舍去 )或 q= ,q= , =1+q3=1+ .答案:C7.如果 f(n+1)= (n=1,2,3,),且 f(1)=2,则 f(101)等于( )A.49 B.50 C.51 D.52解析:f(n+1) = =f(n)+ ,f(n+1) -f(n)= ,即数列f( n)是首项为 2,公差
4、为 的等差数列.通项公式为 f(n)=2+(n-1) n+ .f(101)= 101+ =52.答案:D8.若数列a n满足 an+1=1- ,且 a1=2,则 a2 015等于( )A.-1 B.2 C. D.解析:a n+1=1- ,a1=2,a 2=1- ,a3=1-2=-1,a4=1- =2.由此可见,数列a n的项是以 3 为周期重复出现的,a 2 015=a6713+2=a2= .答案:D9.已知数列a n中,a 3=2,a7=1,又数列 是等差数列,则 a11等于( )A.0 B. C. D.-1解析:设数列b n的通项 bn= ,因为b n为等差数列,b 3= ,b7= ,公差
5、 d= ,b 11=b3+(11-3)d= +8 ,即得 1+a11= ,a11= .答案:B10.若数列a n是等差数列,a 10,a2 009+a2 0100,a2 009a2 0100 成立的最大自然数 n 是( )A.4 017 B.4 018C.4 019 D.4 020解析:由 a2 009+a2 0100,a2 009a2 0100 得 a2 0090,a2 010|a2 010|,S 4 017= =4 017a2 0090,S4 018= 0,S4 019= =4 019a2 0100,故选 B.答案:B二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填
6、在题中的横线上)11.数列a n满足 an=4an-1+3,a1=0,则此数列的第 5 项是 . 答案:25512.已知数列a n中,a n=23n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn= . 解析:易知数列a n是等比数列 ,它的偶数项也构成等比数列,且首项为 6,公比为 9.新数列前 n 项和 Sn= .答案:13.有三个数成等比数列,其和为 21,若第三个数减去 9,则它们成等差数列,这三个数分别是 .解析:设三个数为 a,b,c,由题意可知解得 b=4,a=1,c=16 或 b=4,a=16,c=1.答案:16,4,1 或 1,4,1614.已知 an=2n-1(nN
7、*),把数列 an的各项排成如图所示的三角数阵,记 S(m,n)表示该数阵中第 m 行中从左到右的第 n 个数 ,则 S(10,6)对应数阵中的数是 . 13 57 9 1113 15 17 19解析:设 S(10,6)是数列 an中的第 M 个数,则 M=1+2+3+9+6= +6=51,S(10,6)=a 51=251-1=101.答案:10115.已知函数 f(x)= ,那么 f(1)+f(2)+f(2 009)+f +f +f = . 解析:f(n) +f= =1(n=2,3,4,).又 f(1)= ,f(1)+f (2)+f(2 009)+f +f +f =f(1)+ +=f(1)+
8、2 008=2 008.5.答案:2 008.5三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6 分) 已知等差数列 an的公差不为零,a 1=25,且 a1,a11,a13成等比数列.(1)求a n的通项公式;(2)求 a1+a4+a7+a3n-2.解:(1)设a n的公差为 d.由题意, =a1a13,即(a 1+10d)2=a1(a1+12d),于是 d(2a1+25d)=0.又 a1=25,所以 d=0(舍去)或 d=-2.故 an=-2n+27.(2)令 Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知 a3n-2=-6n+31,故a
9、 3n-2是首项为 25,公差为-6 的等差数列.从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n.17.(6 分) 数列a n满足 a1=1,an+1= (nN *).(1)证明:数列 是等差数列;(2)求数列a n的通项公式 an.(1)证明:由已知可得 ,即 +1,即 =1.数列 是公差为 1 的等差数列.(2)解:由(1)知 +(n-1)1=n+1,a n= .18.(6 分) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,).(1)求数列a n的通项公式;(2)当 bn=lo (3an+1)时,求证:数列 的前 n 项和
10、 Tn= .(1)解:由已知 (n2),得 an+1= an(n2).数列a n是以 a2为首项,以 为公比的等比数列.又 a2= S1= a1= ,a n=a2 (n2).a n=(2)证明:b n=lo (3an+1)=lo =n. .T n= + + =1-.19.(7 分) 设 Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 a10,2an-a1=S1Sn,nN *.(1)求 a1,a2,并求数列a n的通项公式;(2)求数列na n的前 n 项和.解:(1)令 n=1,得 2a1-a1= ,即 a1= .因为 a10,所以 a1=1.令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2.当 n2 时,由 2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1两式相减得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1.于是数列a n是首项为 1,公比为 2 的等比数列.因此 an=2n-1.所以数列a n的通项公式为 an=2n-1.(2)由(1)知,na n=n2n-1.记数列n2 n-1的前 n 项和为 Bn,于是 Bn=1+22+322+n2n-1,2Bn=12+222+323+n2n.-得-Bn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n.从而 Bn=1+(n-1)2n.
