1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系A 组1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )A.异面 B.平行C.相交 D.以上都有可能解析:如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 AD1在平面 AA1D1D 中,直线 BB1,BC1分别在平面BB1C1C 中,但 AD1BC 1,AD1与 BB1异面,又直线 AB 在平面 ABCD 中,显然 AD1AB=A.答案:D2.若直线 a,b,c 满足 ab,bc,则 a 与 c 的关系是( )A.异面 B.平行C.垂直 D.相交但不垂直解析: ab, a 与 c 所成的角就是 b 与 c 所成的角, bc, ac.答案:C3.分别和
2、两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ( )A.相交 B.异面C.异面或相交 D.平行解析:如图有两种情况.答案:C4.若AOB=A 1O1B1,且 OAO 1A1,OA 与 O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )A.OB O1B1且方向相同B.OBO 1B1C.OB 与 O1B1不平行D.OB 与 O1B1不一定平行解析:如图 ,AOB=A 1O1B1,且 OAO 1A1,但 OB 与 O1B1不平行,故排除 A,B;如图 ,AOB=A 1O1B1,且 OAO 1A1,此时 OBO 1B1,故排除 C.图 图 答案:D5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中
3、点,所组成的四边形是( )A.梯形 B.矩形C.平行四边形 D.正方形答案:D6.直线 a,b 不在平面 内,a,b 在平面 内的射影是两条平行直线,则 a,b 的位置关系是 .答案:平行或异面7.若AOB=120,直线 aOA,a 与 OB 为异面直线,则 a 和 OB 所成的角的大小为 .解析: aOA,根据等角定理,又 异面直线所成的角为锐角或直角, a 与 OB 所成的角为 60.答案:608.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线 EF与 GH 所成的角为 . 解析:如图,连接 A1B,BC1,A1C1,则 E
4、FA 1B,GHBC 1,所以 A1B 与 BC1所成的角即为 EF与 GH 所成的角.因为A 1BC1是等边三角形,所以 A1B 与 BC1所成的角为 60,即 EF 与 GH 所成的角为 60.答案:609.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别为棱 CC1,BB1,DD1的中点,试证明BGC=FD 1E.证明: F 为 BB1的中点, BF= BB1. G 为 DD1的中点, D1G= DD1.又 BB1DD1, BFD1G. 四边形 D1GBF 为平行四边形 . D1F GB,同理 D1EGC.又 BGC 与FD 1E 的对应边方向相同, BGC=FD 1E.10.空
5、间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB 与 CD 成 30角,E,F 分别为 BC,AD 的中点,求 EF 和AB 所成的角.解:取 BD 的中点 G,连接 EG,FG, E,F 分别为 BC,AD 的中点, EG CD,GF AB. EG 与 GF 所成的角即为 AB 与 CD 所成的角. AB=CD, EFG 为等腰三角形 .又 AB 与 CD 所成角为 30, EGF=30或 150. GFE 就是 EF 与 AB 所成的角, EF 与 AB 所成角为 75或 15.B 组1.下列选项中,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点 ,则直线 PQ 与RS 是异面直线
6、的一个图是( )解析:易知选项 A,B 中 PQRS,选项 D 中 RS 与 PQ 相交 ,只有选项 C 中 RS 与 PQ 是异面直线.答案:C2.已知异面直线 a,b 分别在平面 , 内,且 =c,那么直线 c 一定( )A.与 a,b 都相交B.只能与 a,b 中的一条相交C.至少与 a,b 中的一条相交D.与 a,b 都平行解析:如图,a与 b 异面,但 ac,故 A 错;a 与 b 异面,且都与 c 相交,故 B 错;若 ac,bc ,则ab,与 a,b 异面矛盾,故 D 错.答案:C3.已知在空间四边形 ABCD 中,M ,N 分别为 AB,CD 的中点,则下列判断正确的是( )A
7、.MN (AC+BD) B.MN (AC+BD)C.MN= (AC+BD) D.MN (AC+BD)解析:取 BC 的中点 Q,则 MNMQ+NQ= .答案:D4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与 BD1异面的棱有 条. 解析:由异面直线的定义,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与 BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共 6 条.答案:65.如图,已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,A 1A=AB,E,F 分别是 BD1和 AD 中点,则异面直线CD1,EF 所成的角的大小为 . 解析:取 CD1的中点 G,连接 EG,DG
8、. E 是 BD1的中点, EGBC,EG= BC. F 是 AD 的中点,且 ADBC,AD=BC, DF BC,DF= BC, EG DF,EG=DF, 四边形 EFDG 是平行四边形 , EFDG , DGD 1(或其补角 )是异面直线 CD1与 EF 所成的角.又 A1A=AB, 四边形 ABB1A1,四边形 CDD1C1都是正方形,且 G 为 CD1的中点, DGCD 1, D 1GD=90, 异面直线 CD1,EF 所成的角为 90.答案:906.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论: ABEF; AB 与 CM 所成的角为 60; EF 与 MN 是异面直线; M
9、NCD.以上结论中正确结论的序号为 . 解析:把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,ABEF ,EF 与 MN 是异面直线,ABCM,MNCD,只有 正确.答案: 7.如图,ABC 和ABC的对应顶点的连线 AA,BB,CC交于同一点 O,且.(1)求证:ABAB ,ACAC,BCBC;(2)求 的值.(1)证明: AABB=O,且 , ABAB.同理 ACAC,BCBC.(2)解: ABAB ,ACAC,且 AB 和 AB,AC 和 AC方向相反, BAC= BAC.同理ABC= ABC,ACB=ACB , ABCABC,且 , .8.如图,空间四边形 ABCD 的对棱 AD,BC 成 60的角,且 AD=BC=a,平行于 AD 与 BC 的截面分别交 AB,AC,CD,BD 于点 E,F,G,H.E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大?最大面积是多少?解: AD 与 BC 成 60角, HGF=60或 120.设 AE AB=x,则 =x.又 BC=a, EF=ax.由 =1-x,得 EH=a(1-x). S 四边形 EFGH=EFEHsin60=axa(1-x) a2(-x2+x)= a2 .当 x= 时,S 最大值 = a2,即当 E 为 AB 的中点时,截面的面积最大,最大面积为 a2.
