1、3.3.2 简单的线性规划问题1.z=x-y 在 的线性约束条件下 ,取得最大值的可行解为 ( )A.(0,1) B.(-1,-1)C.(1,0) D.解析:可以验证这四个点均是可行解 ,当 x=0,y=1 时,z=-1;当 x=-1,y=-1 时,z=0;当 x=1,y=0 时,z=1;当 x= ,y= 时,z=0.排除选项 A,B,D,故选 C.答案:C2.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则 m 的值为( )A.- B.C. D.解析:观察平面区域可知直线 y=-mx+z 与直线 AC 重合,则 解得 m= .答案
2、:B3.若 A 为不等式组 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A. B.1 C. D.2解析:如图所示,区域 A 表示的平面区域为OBC 内部及其边界组成的图形,当 a 从-2 连续变化到 1 时扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域.S 四边形 ODEC=SOBC-SBDE=2- .答案:C4.如果点 P 在平面区域 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,那么|PQ|的最小值为( )A. -1 B. -1C.2 -1 D. -1解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分 (包括边界),点 P 到 Q 的
3、最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径 1,|PQ|min= -1= -1.答案:A5.若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 则实数 m 的最大值为( )A.-1 B.1 C. D.2解析:可行域如图中阴影部分所示 ,由 得交点 P(1,2).当直线 x=m 经过点 P 时,m取到最大值 1.答案:B6.已知变量 x,y 满足 则 z=x+y-2 的最大值为 . 解析:作出可行域,如图所示的阴影部分 ,由图知,目标函数 z=x+y-2 在点 A 处取最大值.又 A(1,2),z max=1+2-2=1.答案:17.已知 x,y 满足约束条件 则 z=x-y 的取值范围为
4、 . 解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示 .由图知,-z 是直线 y=x-z 在 y 轴上的截距,当直线 y=x-z 经过点 A(2,0)时,-z 取最小值,此时 x=2,y=0,则 z 的最大值是 x-y=2-0=2;当直线 y=x-z 经过点 B(0,1)时,-z 取最大值,此时x=0,y=1,则 z 的最小值是 x-y=0-1=-1,所以 z=x-y 的取值范围为 -1z2.答案:-1,28.设 m1,在约束条件 下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为 . 解析:在平面直角坐标系中作出 yx,x+y1 和目标函数取得最大值时的位置 x+5y=4.求出 A点坐标 .
5、y=mx 过点 A,所以 m=3.答案:39.设 z=2y-2x+4,式中 x,y 满足 求 z 的最大值和最小值.解:作出满足条件 的可行域如图:作直线 l:2y-2x=t,当 l 过点 A(0,2)时,z max=22-20+4=8;当 l 过点 B(1,1)时,z min=21-21+4=4.所以,z 的最大值为 8,最小值为 4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/ 分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是 0.3 万元和
6、0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是 x 分钟、y 分钟,总收益为 z 万元,由题意得:目标函数为 z=3 000x+2 000y.作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图:作直线 l 即 3x+2y=0.平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过点 M 时,目标函数取得最大值.由 解得 即 M(100,200).则 zmax=300x+200y=700 000(元),即该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司收益最大,最大收益是 70 万元.
