1、专训 5 利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题航行路线问题1如图，某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时再测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由(第 1 题)来源:gkstk.Com来源:gkstk.Com工程规划问题2A，B 两市相距 150
2、 千米，分别从 A，B 处测得国家级风景区中心 C 处的方位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心、 45 千米为半径的圆， tan 1.627，tan 1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接 A，B 两市的笔直高速公路问连接 A，B 两市的笔直高速公路会穿过风景区吗？请说明理由(第 2 题)来源:gkstk.Com拦截问题3 【中考荆门】如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的 B 处沿南偏西 60方向前进实施拦截，红方行驶 1 000 米到达 C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45方向前进了相同的距离，刚好在
3、D 处成功拦截蓝方，求拦截点 D 处到公路的距离 (结果不取近似值)(第 3 题)来源:学优高考网 gkstk台风影响问题4如图所示，在某海滨城市 O 附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东 20方向 200 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向北偏西 65的 PQ 方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为 60 km，且圆的半径以 10 km/h 的速度不断扩大(1)当台风中心移动 4 h 时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到_km ；当台风中心移动 t h 时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 _km.(2)当台风中心移动到与城市 O 距离最近时
4、，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由( 参考数据： 1.41， 1.73)2 3(第 4 题)答案1解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险理由如下：如图，过点 C 作 CDAM 于点 D.依题意，知 AB24 12(海里) ，3060CAB906030，CBD903060.在 RtDBC 中， tan CBD tan 60 ，CDBDBD CD.在 RtADC 中，tan CADtan 30 ，33 CDADAD CD.3又ADABBD， CD12 CD，解得 CD6 海里333 36 9，若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险3点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形
5、的数学模型该货船有无触礁危险取决于岛 C 到航线 AB 的距离与 9 海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛 C 到航线 AB 的距离(第 1 题)(第 2 题)来源:gkstk.Com2解：不会穿过风景区理由如下：如图，过 C 作 CDAB 于点 D，根据题意得：ACD ，BCD ，则在 RtACD 中，ADCD tan ，在 RtBCD 中，BDCD tan .ADDBAB，CDtan CDtan AB，CD 50(千米)ABtan tan 1501.627 1.373 15035045，连接 A，B 两市的笔直高速公路不会穿过风景区3解：如图，过 B 作 AB 的垂线，过 C 作 A
6、B 的平行线，两线交于点 E；过 C 作 AB的垂线，过 D 作 AB 的平行线，两线交于点 F，则EF90，拦截点 D 处到公路的距离 DABECF.在 RtBCE 中，E90，CBE 60，BCE 30，BE BC 1 000500(米)；12 12在 RtCDF 中，F90，DCF45，CD1 000 米，CF CD500 (米)22 2DABECF(500 500 )米，2即拦截点 D 处到公路的距离是 (500500 )米2(第 3 题)(第 4 题)4解：(1)100；(6010t)(2)不会，理由如下：过点 O 作 OHPQ 于点 H，如图在 RtPOH 中，OHP90 ，OPH 65 2045，OP 200 km，OHPHOPsin OPH200sin 45100 141(km)2设经过 x h 时，台风中心从 P 移动到 H.台风中心移动速度为 20 km/h，20x100 ，x5 .2 2此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为 60105 130.5( km)2台风中心在整个移动过程中与城市 O 的最近距离 OH141 km，而台风中心从 P 移动到 H 时受侵袭的圆形区域半径约为 130.5 km，130.5 km141 km，因此，当台风中心移动到与城市 O 距离最近时，这股台风不会侵袭这座海滨城市
