1、1.2 应用举例第 1 课时 解三角形在实际应用中的举例1.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在 C 北偏东 30,B 在 C 南偏东 60,则 A,B 之间距离为( )A. a km B. a kmC.a km D.2a km解析:在ABC 中,AC=BC=a km,ACB=90,AB= a km.答案:A2.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40,灯塔B 在观察站 C 的南偏东 60,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A.北偏东 10 B.北偏西 10C.南偏东 10 D.南偏西 10解析:如图,由题意
2、,知 AC=BC,ACB=80,CBA=50,+CBA=60.=10, 即 A 在 B 的北偏西 10.答案:B3.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取 A,B 两点(点 A,B 与树根部在同一直线上), 从A,B 两点分别测得树尖的仰角为 30,45,且 A,B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( )A.(30+30 )m B.(30+15 )mC.(15+30 )m D.(15+3 )m解析:设树高为 h,则由题意得 h-h=60,h= =30( +1)=30 +30(m).答案:A4.如图,货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角( 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平
3、角)为 140的方向航行.为了确定船的位置,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110,航行 h 到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是( )A.10 km B.10 km C.15 km D.15 km解析:在ABC 中,BC=40 =20(km),ABC=140-110=30 ,ACB= (180-140)+65=105,则 A=180-(30+105)=45.由正弦定理,得AC= =10 (km).答案:B5.如图所示,在地面上共线的三点 A,B,C 处测得一建筑物的仰角分别为 30,45,60,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为
4、 ( )A.15 m B.20 mC.25 m D.30 m解析:设建筑物的高度为 h m,由题图知,PA=2h m,PB= h m,PC= h m,在PBA 和PBC 中,分别由余弦定理,得 cosPBA= ,cosPBC= .PBA+PBC=180,cosPBA+cosPBC=0.由,解得 h=30 或 h=-30 (舍去),即建筑物的高度为 30 m.答案:D6.海上有 A,B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角,从 B 岛望 C 岛和 A岛成 75的视角 ,则 B,C 间的距离为 海里. 解析:如图,ACB=180-(75+60)= 45,BC= s
5、in 60= =5 (海里).答案:57.如图,某人于地面上 C 处观察一架迎面飞来的飞机在 A 处的仰角为 30,过一分钟后到 B 再测得仰角为 45,如果该飞机以每小时 450 km 的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为 km. 解析:如题图,DCA=60,DCB=45,设飞机高为 h km,则 BD=h km,AD= h km.又 AB=450 =7.5(km),由 AD-BD=AB 得 h-h=7.5.h= .答案:8.一只蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转 105,爬行 10 cm 捕捉到另一只小虫,这时它向右转 135爬行回它的出发点,那么 x= . 解析:如
6、图所示,设蜘蛛原来在 O 点,先爬行到 A 点,再爬行到 B 点,易知在AOB 中,AB=10 cm,OAB= 75,ABO= 45,则AOB= 60.由正弦定理知:x= (cm).答案:9.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 倍,问甲船应按什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?解:设甲沿直线与乙船同时到 C 点,则 A,B,C 构成一个ABC.如图,设乙船速度为 v,则甲船速度为 v,到达 C 处用时为 t.由题意 BC=vt,AC= vt,ABC= 120.在ABC 中,由余弦定理AC2=
7、AB2+BC2-2ABBCcos 120,3v 2t2=a2+v2t2+avt,2v 2t2-avt-a2=0.解得 vt=- (舍)或 vt=a.BC=a,在ABC 中,AB=BC=a,BAC=ACB=30.答:甲船应按北偏东 30的方向去追乙船,此时乙船行驶了 a 海里.10.某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南偏东 60相距 20( +1) n mile 的海面上有一台风中心,影响半径为 20 n mile,正以每小时 10 n mile 的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且( +1)h 后开始影响基地持续 2 h.求台风移动的方向.解:如图所示,设预报时台风中心为 B,开始影响基地时台风中心为 C,基地刚好不受影响时台风中心为 D,则 B,C,D 在一条直线上 ,且 AD=20,AC=20.由题意 AB=20( +1),DC=20 ,BC=( +1)10 .在ADC 中,DC 2=AD2+AC2,DAC=90,ADC= 45.在ABC 中,由余弦定理得cosBAC= .BAC=30.又B 位于 A 南偏东 60,60+30+90=180,D 位于 A 的正北方向.又ADC=45,台风移动的方向为向量 的方向,即北偏西 45方向.
