1、第一章测评 B(高考体验卷)(时间:90 分钟 满分:100 分 )一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014 江西高考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则 的值为( )A.- B. C.1 D.解析:3a=2b,由正弦定理得 . . =2 -1=2 -1= -1= .答案:D2.(2014 江西高考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c2=(a-b)2+6,C= ,则ABC的面积是( )A.3 B. C. D.3解析:在ABC 中
2、,由已知条件及余弦定理可得 c2=(a-b)2+6=a2+b2-2abcos ,整理得 ab=6,再由面积公式 S= absin C,得 SABC= 6sin .故选 C.答案:C3.(2014 课标全国高考)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= ,则 AC=( )A.5 B. C.2 D.1解析:由题意知 SABC= ABBCsin B,即 1 sin B,解得 sin B= .B=45或 B=135.当 B=45时,AC 2=AB2+BC2-2ABBCcos B=12+( )2-21 =1.此时 AC2+AB2=BC2,ABC 为直角三角形,不符合题意;当 B=135时,AC
3、2=AB2+BC2-2ABBCcos B=12+( )2-21 =5,解得 AC= .符合题意.故选 B.答案:B4.(2014 四川高考)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )A.240( -1)m B.180( -1)mC.120( -1)m D.30( +1)m解析:如图,作 ADBC,垂足为 D.由题意,得 DC=60tan 60=60 (m),DB=60tan 15=60tan(45-30)=60 =60=(120-60 )m.所以 BC=DC-DB=60 -(120-60 )=120 -
4、120=120( -1)(m),故选 C.答案:C5.(2013 课标全国高考)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则ABC 的面积为( )A.2 +2 B. +1C.2 -2 D. -1解析:A=-( B+C)=- ,由正弦定理得 ,则 a= ,S ABC= absin C= 2( ) +1.答案:B6.(2013 辽宁高考)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 ab,则B=( )A. B. C. D.解析:根据正弦定理:asin Bcos C+c sin Bco
5、s A= b 等价于 sin Acos C+sin Ccos A= ,即 sin(A+C)= .又 ab,A+C= ,B= .故选 A.答案:A7.(2013 山东高考)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= ,则 c=( )A.2 B.2 C. D.1解析:由正弦定理 得: ,又B=2A , ,cos A= , A=30,B=60, C=90,c= =2.答案:B8.(2013 天津高考)在ABC 中,ABC= ,AB= ,BC=3,则 sinBAC=( )A. B. C. D.解析:在ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCc
6、osABC=2+9-2 3 =5,即得AC= .由正弦定理 ,即 ,所以 sinBAC= .答案:C9.(2013 课标全国高考)已知锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( )A.10 B.9 C.8 D.5解析:由 23cos2A+cos 2A=0,得 cos2A= .A ,cos A= .cos A= ,b=5 或 b=- (舍) .故选 D.答案:D10.(2012 湖南高考)在ABC 中,AC= ,BC=2,B=60,则 BC 边上的高等于( ).A. B. C. D.解析:在ABC 中,由余弦定理可知
7、:AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 7=AB2+4-22AB .整理得 AB2-2AB-3=0.解得 AB=-1(舍去)或 AB=3.故 BC 边上的高 AD=ABsin B=3sin 60= .答案:B二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.(2014 天津高考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为 . 解析:由 2sin B=3sin C,结合正弦定理得 2b=3c,又 b-c= a,所以 b= c,a=2c.由余弦定理得 co
8、s A= =- .答案:-12.(2014 广东高考)在ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b,则= . 解析:因为 bcos C+ccos B=2b,所以由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即 sin(B+C)=2sin B,所以 sin(-A)=2sin B,即 sin A=2sin B.于是 a=2b,即 =2.答案:213.(2014 福建高考)在ABC 中,A=60,AC= 4,BC=2 ,则ABC 的面积等于 . 解析:由题意及余弦定理得 cos A= ,解得 c=2.所以 S= bcsi
9、n A= 42sin 60=2 .故答案为 2 .答案:214.(2014 课标全国高考)已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC 面积的最大值为 . 解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b )c.a=2,a 2-b2=c2-bc,即 b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得 cos A= .sin A= .由 b2+c2-bc=4,得 b2+c2=4+bc.(b-c) 20,b 2+c22bc,即 4+bc2bc, bc4.S ABC= bcsin A ,即(S ABC)max=
10、 .答案:15.(2014 山东高考)在ABC 中,已知 =tan A,当 A= 时,ABC 的面积为 . 解析:由 =tan A,可得| | |cos A=tan A.因为 A= ,所以 | | | ,即| | |= .所以 SABC= |sin A= .答案:三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6 分)(2014 安徽高考)设ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.(1)求 a 值;(2)求 sin 的值.解:(1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos
11、 B.由正弦定理、余弦定理得 a=2b .因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 .(2)由余弦定理得 cos A= =- .由于 0c.已知=2,cos B= ,b=3.求:(1)a 和 c 的值;(2)cos(B-C)的值.解:(1)由 =2,得 cacos B=2.又 cos B= ,所以 ac=6.由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B.又 b=3,所以 a2+c2=9+22=13.解 得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.因 ac,所以 a=3,c=2.(2)在ABC 中,sin B= ,由正弦定理,得 sin C= sin B= .因 a=bc,所以 C 为锐
12、角,因此 cos C= .于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= .18.(6 分)(2014 浙江高考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 ab,c= ,cos2A-cos2B= sin Acos A- sin Bcos B.(1)求角 C 的大小;(2)若 sin A= ,求ABC 的面积.解:(1)由题意得= sin 2A- sin 2B,即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B,sin =sin ,由 ab,得 AB,又 A+B(0,),得 2A- +2B- =,即 A+B= ,所以 C= .(2)由
13、c= ,sin A= ,得 a= .由 ac,得 AC,从而 cos A= ,故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= .所以ABC 的面积为 S= acsin B= .19.(7 分)(2014 湖南高考)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= .(1)求 cosCAD 的值;(2)若 cosBAD=- ,sinCBA= ,求 BC 的长.解:(1)如题图,在ADC 中,由余弦定理,得 cosCAD= .故由题设知,cosCAD= .(2)如题图,设BAC=,则 =BAD-CAD.因为 cosCAD= ,cosBAD=- ,所以 sinCAD= ,sinBAD= .于是 sin =sin(BAD- CAD)=sinBADcosCAD- cosBADsin CAD= .在ABC 中,由正弦定理, .故 BC= =3.
