1、第 7 讲 分式方程考点 1 分式方程及解法分式方程的概念 分母里含有 的方程叫做分式方程.分式方程的解法 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以 ，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.考点 2 分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组) 的应用题不一样的是：要检验 ，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否 .分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分
2、母为 0，分式方程也无解 .命题点 1 分式方程的解法例 1 (2014呼和浩特)解方程： - =0.23x21x【思路点拨】先确定最简公分母 x(x+2)(x-2)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验.【解答】方法归纳：解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解.1.(2015原创)把分式方程 = 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )24x1A.x B.2x C.x+4 D.x(x+4)2.(2014台州)将分式方程 1- = 去分母，得到正确的整式方程是 ( )3A.1-2x
3、3 B.x-1-2x3C.1+2x3 D.x-1+2x33.(2014重庆 B 卷)分式方程 = 的解是( )41xA.x1 B.x-1 C.x3 D.x-34.(2014连云港)解方程： +3= .2x1x命题点 2 分式方程的应用例 2 (2014襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站 A，B 两站相距 360 km，一列动车与一列特快列车分别从 A、 B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快 54 km/h.当动车到达 B 站时，特快列车恰好到达距离 A 站135 km 处的 C 站.求动车和特快列车的平均速度各是多少？【思路点拨】设特快列车的平均速度为 x km/h，则动车的平均速
4、度为(x+54)km/h，依题意有等量关系：动车行驶360 km 所用时间特快列车行驶(360-135)km 所用时间.列方程求解即可.【解答】方法归纳：列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，从而得到等量关系式，进而引进未知数，列出方程解决问题.利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案.1.(2014莱芜)已知 A、C 两地相距 40 千米，B、C 两地相距 50 千米，甲乙两车分别从 A、B 两地同时出发到 C 地.若乙车每小时比甲车多行驶 12 千米，则两车同时到达 C 地.设乙车的速度为 x 千米/ 小时，依题意列方程正确的是( )A. =
5、 B. =40x5124012x5C. = D. =2.(2013大连)某超市购进 A、B 两种糖果，A 种糖果用了 480 元，B 种糖果用了 1 260 元，A 、B 两种糖果的重量比是 13，A 种糖果每千克的进价比 B 种糖果每千克的进价多 2 元.A 、B 两种糖果各购进多少千克?3.(2014东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.根据市政建设的需要，须在 40 天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程.经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的 2 倍，若甲、
6、乙两工程队合作只需 10 天完成.甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天 ?1.(2013山西)解分式方程 + =3 时，去分母后变形为( )21xA.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3(1-x) D.2-(x+2)=3(x-1)2.(2014孝感)分式方程 = 的解为( )x3A.x=- B.x= C.x= D.x=16213563.(2015原创)邱老师和黄老师住在同一个小区，离学校 3 000 米，某天早晨，邱老师和黄老师分别于 7 点 10 分、7 点 15 分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知黄老师骑车的速度是邱老师的 1.2
7、倍，则邱老师骑车的速度是( )A.80 米 /分 B.100 米/ 分 C.120 米/分 D.200 米/分4.(2014无锡)方程 = 的解是 .2x15.(2013广安)解方程 -1= ，则方程的解是 .43x6.(2014巴中)若分式方程 - =2 无解，则 m 的值是 .17.(2013盘锦)小成每周末要到距离家 5 千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用 10 分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的 2 倍.设骑自行车的速度为 x 千米/时，根据题意列方程为 .8.解分式方程：(1)(2014盐城) ；31x(2)(2014聊城) + =-1.2x21649.(2015东营
8、模拟)如图，点 A、B 在数轴上，它们所对应的数分别是 -3 和 1-x2-x，且点 A、B 到原点的距离相等，求 x 的值.10.(2014娄底)娄底到长沙的距离约为 180 千米，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比小张晚出发 1 小时，最后两车同时到达，已知小轿车的速度是大货车的速度的 1.5 倍.(1)求小轿车和大货车的速度各是多少？(列方程解答)(2)当小刘出发时，小张离长沙还有多远？来源:gkstk.Com11.(2014徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用 360 元钱购买门票.下面是两个小伙伴的对话：根据对话中的信息，请你求出小伙伴们的人数.12.
9、(2014威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用 700 元购进甲、乙两种粽子 260 个，其中甲种粽子比乙种粽子少用 100 元.已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高 20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？13.(2014自贡)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要 40 分钟完成.现在李老师与工人王师傅共同整理 20 分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了 20 分钟才完成任务.(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过 30 分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
10、来源:gkstk.Com14.(2014荆门)已知：点 P(1-2a，a-2)关于原点的对称点在第一象限内，且 a 为整数，则关于 x 的分式方程2 的解是( )1xaA.5 B.1 C.3 D.不能确定15.(2013枣庄)对于非零的两个实数 a，b，规定 = - ，若 =1，则 x 的值为( )b1a21xA. B. C. D.-56543616.(2014达州)某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 8 000 元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用 17 600 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但单价贵了 8 元.商家销售这种衬衫时每件定价都是 1
11、00 元，最后剩下 10 件按 8 折销售，很快售完.在这两笔生意中，商家共盈利多少元？17.(2013娄底)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12 趟可完成，需支付运费 4 800 元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的 2 倍，且乙车每趟运费比甲车少 200 元.(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？来源:学优高考网参考答案考点解读未知数 整式 最简公分母 不为 0 两 符合题意各个击破例 1 方程两边同乘 x(x+2)(x-2),去分母，得 3(x-2)-(x+2)=0，
12、来源:gkstk.Com去括号，得 3x-6-x-2=0，移项，得 3x-x=6+2，合并，得 2x=8，系数化为 1，得 x=4.检验，当 x=4 时，x(x+2)(x-2)=480 ，x=4 是原方程的解.题组训练 1.D 2.B 3.C4.2+3(x-2)=x-1，2+3x-6=x-1，2x=3，x= .32经检验，x= 是原方程的解.例 2 设特快列车的平均速度为 x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，根据题意，得= .解得 x=90.36054x13x经检验，x=90 是这个分式方程的解，且符合题意 .x+54=144.答：动车和特快列车的平均速度分别为 144 km
13、/h 和 90 km/h.题组训练 1.B2.设 A 种糖果购进 x 千克，则 B 种糖果购进 3x 千克，根据题意，得- =2.解得 x30.480x1263经检验，x30 是原方程的解，且符合题意.3x90.答：A 种糖果购进 30 千克，B 种糖果购进 90 千克.3.设甲工程队单独完成此项工程需 x 天，则乙工程队单独完成此项工程需 2x 天.由题意得+ = .解得 x=15.1x20经检验，x=15 是原方程的解 .2x=30.答：甲工程队单独完成此项工程需 15 天，乙工程队单独完成此项工程需 30 天.整合集训1.D 2.B 3.B 4.x=2 5.x=- 6.-1 7. - =
14、 53x52168.(1)分式两边同乘(x+1)(x-1),去分母，得 3(x+1)2(x-1).解得 x-5.检验，当 x-5 时，(x+1)(x-1)=240.来源: 学优高考网原分式方程的解是 x-5.(2)分式两边同乘(x+2)(x-2)去分母，得-(2+x) 2+16=-(x2-4)，解得 x=2.经检验，当 x=2 时，x 2-4=0.原方程无解.9.依题意可得 =3，解得 x= .15经检验，x= 是原方程的解.52x 的值为 .10.(1)设大货车的速度为 x 千米/ 时，小轿车的速度为 1.5x 千米/时，则- =1.解得 x=60.180.5经检验，x=60 是方程的解，且
15、符合题意 .1.5x=90.答：大货车的速度为 60 千米/ 时，小轿车的速度为 90 千米 /时.(2)180-60=120(千米).答：当小刘出发时，小张离长沙还有 120 千米.11.设共有 x 个小伙伴，依题意，得0.6= .解得 x=8.360272经检验，x=8 是原方程的解，且符合题意.答：共有 8 个小伙伴.12.设乙种粽子的单价为 x 元，则+ =260.解得 x=2.5.0312x4经检验，x=2.5 是原方程的解，且符合题意. =100, =160.0x0答：乙种粽子的单价是 2.5 元，甲、乙两种粽子分别购买了 100 个、160 个.13.(1)设王师傅单独整理这批实
16、验器材需要 x 分钟完成，则( + )20+ =1.解得 x=80.140x20经检验得 x=80 是原分式方程的解，且符合题意 .答：王师傅单独整理这批实验器材需要 80 分钟完成.(2)设李老师要工作 m 分钟，则+ 1.解得 x25.4038答：李老师至少要工作 25 分钟.14.C 15.A16.设第一批进货的单价为 x 元，则第二批进货的单价为(x+8)元，由题意，得2 = .解得 x=80.x17 608经检验，x=80 是原分式方程的解，且符合题意 .则第一次进货 100 件，第二次进货的单价为 88 元，第二次进货 200 件.总盈利为：(100-80)100+(100-88)
17、(200-10)+10(1000.8-88)=4 200(元).答：在这两笔生意中，商家共盈利 4 200 元.17.(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运 x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运 2x 趟，依题意，得+ =1.解得 x=18.12x经检验 x=18 是原方程的解，且符合题意.2x=36.答：甲车单独运完此堆垃圾需 18 趟，乙车需 36 趟.(2)设甲车每趟需运费 a 元，则乙车每趟需运费(a-200) 元，依题意，得12a+12(a-200)=4 800.解得 a=300.a-200=100.单独租用甲车的费用=30018=5 400(元)，单独租用乙车的费用=10036=3 600(元).5 4003 600，单独租用乙车合算.
