1、第 2 章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)课时达标训练一、基础过关1已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5，则该样本的标准差为 ( )A1 B. C. D22 3答案 B解析 样本容量 n5 (12345)3，x15s151 32 2 32 3 32 4 32 5 32 .22在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据，则 A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A众数 B平均数 C中位数 D标准差答案 D解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时
2、不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变3若样本 1x 1,1x 2,1x 3， ，1x n的平均数是 10，方差为 2，则对于样本2x 1,2x 2，2x n，下列结论正确的是( )A平均数是 10，方差为 2B平均数是 11，方差为 3C平均数是 11，方差为 2D平均数是 10，方差为 3答案 C解析 若 x1，x 2，x n的平均数为 ，方差为 s，那么 x1a，x 2a，x na 的平x均数为 a，方差为 s.x4下表是某班 50 名学生综合能力测试的成绩分布表，则该班成绩的方差为( )分数 1 2 3 4 5人数 5 10 10 20 5A. B1.36 C2 D4
3、345答案 B解析 平均成绩 15210 3 10420 55 3.2，方差 s2 5(13.2)x150 150210 (23.2) 210(33.2) 220(43.2) 25 (53.2) 21.36.5抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环) ，结果如下：运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_ 答案 2解析 甲 (8791908993) 90，x15乙 (8990918892) 90，x15s (8790) 2(91 90)
4、2(9090) 2(8990) 2(9390) 24，2甲15s (8990) 2(90 90) 2(9190) 2(8890) 2(9290) 22.2乙156已知样本 9,10,11，x，y 的平均数是 10，方差是 4，则 xy_.答案 91解析 由题意得Error!即Error!解得Error!，或Error!.所以 xy91.7(1)已知一组数据 x1，x 2，x n的方差是 a，求另一组数据 x12，x 22，x n2 的方差；(2)设一组数据 x1，x 2，x n的标准差为 sx，另一组数据 3x1a,3x 2a，3x na的标准差为 sy，求 sx与 sy的关系解 (1)设 x
5、1，x 2，x n的平均数为 ，则有xa (x1 )2(x 2 )2( xn )21n x x xx 12，x 22，x n2 的平均数为 2，则这组数据的方差 s2xx1 2 x 22 xn 2 x 22n a .x1 x2 xn x2n(2)设 x1，x 2，x n的平均数为 ，则 3x1a,3x 2a，3x na 的平均数为 3 a.x xsy s2y1n3x a 3x1 a2 3x a 3xn a21n32x x12 x xn2 3s x，s y3s x.9s2x二、能力提升8如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 A和 B，样本x x方差分别为 s 和
6、 s ，则 ( )2A 2BA. A B，s s B. Asx x 2A 2B x x 2A 2BC. A B，s s .2A 2B9.如图是 2012 年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为 ( )A84,4.84 B84,1.6C85,1.6 D85,0.4答案 C解析 由题意得 (8484868487) 85.x15s2 (8485) 2(84 85) 2(8685) 2(8485) 2(8785) 2 (11114) 15 151.6.8510为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取
7、5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_答案 10解析 设 5 个班级中参加的人数分别为 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知 7，x1 x2 x3 x4 x55(x17) 2(x 2 7)2(x 37) 2(x 47) 2( x57) 220，五个整数的平方和为 20，则必为 0119920，由|x 7|3 可得 x10 或 x 4.由|x 7|1 可得 x8 或 x 6.由上可知参加的人数分别为 4,6,7,8,10，故最大值为 10.11对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6
8、次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31乙 33 29 38 34 28 36(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？解 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些乙发挥比较稳定，总体情况比甲好(2) 甲 33.x27 38 30 37 35 316乙 33.x33 29 38 34 28 366s (2733) 2(38 33) 2(3033) 2(3733) 2(3533)
9、 2(31 33) 215.67.2甲16s (3333) 2(29 33) 2(3833) 2(3433) 2(2833) 2(36 33) 212.67.2乙16甲的极差为 11，乙的极差为 10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适12为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换已知某校使用的100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：天数 151180 181210 211240 241270 271300 301330 331360 361390灯管数 1 11 18 20 25 16 7 2(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；(2)若定期更换，可选择多长时间统
10、一更换合适？解 (1)各组的组中值分别为 165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为1651%19511%22518%25520% 28525% 31516%3457%3752%267.9268(天) （2） 1(165268) 2 11(195268) 218 (225268) 220(255268)1100225 (285268) 216 (315268) 27(345268) 22(375268) 22 128.60.故标准差为 46.2 128.60估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268 天，标准差约为 46 天，故在 22
11、2 天到 314 天之间统一更换较合适三、探究与拓展13师大附中三年级一班 40 人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：统计量组别 平均成绩 标准差第一组 90 6第二组 80 4求全班学生的平均成绩和标准差解 设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i1,2，20) ，第二组 20 名学生的成绩为 yi(i1,2，20) ，依题意有 (x1x 2 x20)90，x120 (y1y 2 y 20)80，故全班平均成绩为y120(x1 x2x 20y 1y 2y 20)140 (90208020)85；140又设第一组学生成绩的标准差为 s1，第二组学生成绩的标准差为 s2，则s (x x x 20 2)，21120 21 2 20 xs (y y y 20 2)2120 21 2 20 y(此处， 90， 80)，又设全班 40 名学生的标准差为 s，平均成绩为 ( 85)，故有x y zzs2 (x x x y y y 40 2)140 21 2 20 21 2 20 z (20s 20 220s 20 240 2)140 21 x 2 y z (624 290 280 2285 2)51.12即 s .51所以全班同学的平均成绩为 85 分，标准差为 .51
